Ham so mu va hamso luy thua

Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan Đ1.. Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.Dạng toán 4: Tính đạo hàm của

chơng 2 - hàm số luỹ thừa,

hàm số mũ và hàm số lôgarit

A Kiến thức cần nhớ

I luỹ thừa

Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a ạ 0, n = 0 hoặc n là một số

nguyên âm, luỹ thừa bậc n của a là số an xác định bởi:

a0 = 1,

an = với n nghuyên âm

Định nghĩa 2: (Căn bậc n): Với n nguyên dơng căn bậc n của số thực a là số

thực b (nếu có) sao cho bn = a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

Đ Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu

Đ Khi n là số chẵn, mỗi số thực dơng a có đúng hai căn bậc n là hai số đốinhau Căn có giá trị dơng kí hiệu là (còn gọi là căn số học bậc n củaa), căn có giá trị âm kí hiệu là và -

Định nghĩa 3: (Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dơng và r là một

số hữu tỉ Giả sử r = , trong đó m là một số nguyên còn n làmột số nguyên dơng Khi đó, luỹ thừa của a với với sô mũ r là số

Định lí 1: Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

1 Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n

2 Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n

(1) Khi a > 1 thì logab > logac Û b > c.

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0 Û b > 1

(2) Khi 0 < a < 1 thì logab > logac Û b < c

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0 Û b < 1

(3) logab = logac Û b = c

Các quy tắc tính lôgarit

Định lí 2: Với a dơng khác 1 và các số dơng b, c, ta có:

(1) logab + logac = loga(bc),

Trờng hợp chỉ có bc > 0 thì loga(xy) = logaẵbẵ + logaẵcẵ.(2) logab - logac = loga ,

trờng hợp chỉ có bc > 0 thì loga = logaẵbẵ - logaẵcẵ.(3) logaba = alogab,

Trờng hợp b ẻ và a = 2k, k ẻ Z thì logaba = alogaẵbẵ

Hệ quả: Với n nguyên dơng thì

loga = -logab; loga = logab

Đổi cơ số của lôgarit

b Với mọi x ẻ , ta có (ex)' = ex và (ax) = ax.lna

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x ẻ J, ta có

(eu)' = u'.eu và (au) = u'.au.lna

Xét hàm số y = ax, 0 < a ạ 1, ta có các tính chất sau:

1 Liên tục trên

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x

Đ Với a > 1 thì > Û x1 > x2, tức là hàm số đồng biến.

Đ Với 0 < a < 1 thì > Û x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến

3 Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

Đ Luôn cắt trục Oy tại A(0; 1)

Đ Nằm ở phía trên trục hoành

Đ Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang

IV Hàm số lôgarit

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a ạ 1) có dạng y = logax

Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a = 1

b Với mọi x ẻ (0; +Ơ), ta có (lnx)' = và (logax)' =

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x ẻ J, ta có

(lnu)' = và (logau)' = .Xét hàm số y = logax, với 0 < a ạ 1, ta có các tính chất sau:

1 Hàm số liên tục trên D = (0, + Ơ) và tập giá trị I =

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x

Đ Với a > 1 thì logax1 > logax2 Û x1 > x2, tức là hàm số đồng biến

Đ Với 0 < a < 1 thì logax1 > logax2 Û x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến

3 Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

Đ Luôn cắt trục Oy tại A(1; 0)

Đ Nằm ở bên phải trục tung

Đ Nhận trục tung làm tiệm cân đứng

Đ Nếu a nguyên âm hoặc a = 0 thì hàm số có tập xác định là *

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a Hàm số y = xa có có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và:

(xa)' = a.xa - 1

b Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) > 0 trên J thì:

(ua)' = a.u'.ua - 1, với mọi x ẻ J

F

Chú ý: 1 Với n là số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn - 1 với mọi x ạ 0; và nếu u =

u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) ạ 0 trên J thì (un)' = n.u'.un - 1, vớimọi x ẻ J

2 Ta có:

( )' = ,với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x ạ 0 nếu n lẻ.

3 Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiệnu(x) > 0 với mọi x thuộc J khi n chẵn, u(x) ạ 0 với mọi x thuộc J khi n

lẻ thì:

( )' =

VI Các dạng cơ bản của phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit

1 Phơng trình mũ cơ bản có dạng ax = m, trong đó a > 0 và m là số đãcho

Ta phải có điều kiện x > 0 và 0 < a ạ 1

Với mọi m phơng trình luôn có nghiệm duy nhất x = am

Ta có các kết quả:

logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x) > 0

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x) Û f(x) > g(x) > 0

Với 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x) Û 0 < f(x) < g(x)

một số phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit

a Phơng pháp đa về cùng cơ số

b Phơng pháp đặt ẩn phụ

c Phơng pháp lôgarit hóa: Ta có thể giải một phơng trình có hai vế

luôn dơng bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

d Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ1 hàm số mũ và hàm số lôgarit

Dạng toán 1: Giới hạn của hàm số mũ và lôgarit

Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Dạng toán 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và

hàm số hợp của chúng

Phơng pháp

Sử dụng các kết quả trong phần kiến thức cơ bản cần nhớ

Thí dụ 1 Chứng minh rằng hàm số y = ln thoả mãn hệ thức xy' + 1 =

Dạng toán 5: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

và lôgarit Các bài toán liên quan

Thí dụ 3 Cho hàm số (Cm): y = xemx

1 Với m = -2:

a Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số (C).

b Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình xe-2x = a

c Tìm b để phơng trình sinx.e-2sinx = b có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; p].

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x = 1.

(2) Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực y = -Ơ, y = 0

1/2e

1/e2

0Kết luận:

Đ Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên

Đ Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm

b Số nghiệm của phơng trình xe-2x = a là số giao điểm của đồ thị (C) với

đờng thẳng y = a Ta có:

Đ Với a ≤ 0, phơng trình có nghiệm duy nhất

Đ Với 0 < a < , phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Đ Với a = , phơng trình có nghiệm duy nhất x =

Đ Với a > , phơng trình vô nghiệm

c Đặt t = sinx, 0 Ê t Ê 1, phơng trình có dạng te-2t =

b (1)

Nhận xét rằng với mỗi t0ẻ[0; 1) thì:

sinx = t0 phơng trình này có 2 nghiệm thuộc khoảng [0; p]

Vậy, điều kiện là đờng thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] tại đúngmột điểm:

a Hàm số đồng biến trên khi:

y' ≥ 0 với mọi xẻ Û mx + 1 ≥ 0 với mọi xẻ Û m = 0

b Hàm số có cực trị khi:

Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất Û m ạ 0

c Hàm số có cực tiểu khi (1) có nghiệm duy nhất và qua đó y' đổi dấu

Nhận xét: Trong lời giải trên:

Đ Với phơng trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c đểbiến đổi phơng trình về dạng:

(ca)f(x) = (cb)g(x) Û caf(x) = cbg(x) Û af(x) = bg(x),

Đ Với phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta sử dụng kết quả

“Nếu a, b, c, d nguyên và phơng trình có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự là ớc của d và a" để đoán nhận đợc

nghiệm x = , từ đó phân tích phơng trình trở thành:

(3x - 2)(x2 - 2x - 2) = 0

Thí dụ 2 Giải các phơng trình sau:

Nhận xét: Trong lời giải trên ở câu a), chúng ta đã sử dụng kết quả trong chú

ý ở cuối dạng 1 để tránh phải kiểm tra điều kiện x3 - 4x2 + 2x + 6

2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 2 Û log3[1 + log2(1 + 3log2x)] = 1

Û 1 + log2(1 + 3log2x) = 3 Û log2(1 + 3log2x) = 2 Û 1 + 3log2x = 4

Û log2x = 1 Û x = 2

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2

F

Nhận xét: Trong lời giải trên:

Đ ở câu a), chúng ta đã sử dụng phơng pháp phân tích thànhnhân tử để chuyển phơng trình về dạng tích Và từ đó,nhận đợc hai phơng trình mũ dạng 2

Đ ở câu b), chúng ta đã sử dụng phơng pháp biến đổi dần đểloại bỏ đợc lôgarit Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh đợcphải đặt điểu kiện có nghĩa cho phơng trình

Dạng toán 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình mũ và lôgarit

Phơng pháp

Phơng pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để

chuyển phơng trình ban đầu thành một phơng trình hoặc hệ phơng trìnhvới một (hoặc nhiều) ẩn phụ

1 Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau đối với phơng trình mũ:

Mở rộng: Với phơng trình mũ có chứa các nhân tử a2f, b2f, (a.b)f ,

ta thực hiện theo các bớc sau:

- Chia hai vế của phơng trình cho b2f > 0 (hoặc a2f,(a.b)f)

- Đặt t = , điều kiện hẹp t > 0

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trờng hợp đặt t = af(x) vì:

Đ Nếu đặt t = ax thì t > 0 là điều kiện đúng

Đ Nếu đặt t = thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất

điều kiện cho t phải là t ³ 2 Điều này đặc biệt quan trong cho lớpcác bài toán có chứa tham số

2 Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau đối với phơng trình lôgarit:

Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x > 0 thì = tk, logxa = với 0 <

Đ Với câu a) chúng ta cần tới phép biến đổi 4x = 22x và 2x + 1 =2.2x để định hớng cho ẩn phụ t = 2x.

Đ Với câu b) các em học sinh cần biết cách mở rộng phơng phápcho dạng phơng trình:

a1ax + a2bx + a3cx = 0, với a.b = c2.Rồi thực tập bằng cách giải phơng trình:

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 2 hoặc x = log32 - 1

b Viết lại phơng trình dới dạng:

Thí dụ 3 Giải các phơng trình sau:

a b log9x27 - log3x3 + log9243 = 0

? Giải

a Điều kiện x > 0

Biến đổi phơng trình về dạng:

(3log3x)2 - 20 log3x + 1 = 0 Û 9log3x - 10log3x + 1 = 0

Đặt t = log3x, ta biến đổi phơng trình về dạng:

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 3 hoặc x =

Nhận xét: Nh vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã đợc làm quen với dạng

đặt ẩn phụ cơ bản của phơng trình lôgarit Và ở đó:

Đ Với câu a), các em học sinh dễ nhận thấy ẩn phụ t = log3x Tuynhiên, rất nhiều em biến đổi nhầm

Đ Với câu b), chúng ta cần sử dụng công thức đổi cơ số để làmxuất hiện ẩn phụ

Thí dụ 4 Giải các phơng trình sau:

a b

? Giải

a Điều kiện:

Û x ẻ (0; +Ơ)\{ } (*)Biến đổi phơng trình về dạng:

Đặt t = log2x, ta biến đổi phơng trình về dạng:

Û t2 + 3t -4 = 0 Û Û Û

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 2 hoặc x = .

Nhận xét: Với câu b) các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ

bằng cách chia hai vế của phơng trình (*) cho

Thí dụ 5 Giải phơng trình lg2x - lgx.log2(4x) + 2log2x = 0

Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phơng pháp đặt ẩn phụ kiểu này là

chúng ta có thể sử dụng ngay các hằng số hoặc các tham số trong

phơng trình để làm ẩn phụ, phơng pháp này có tên gọi là "Phơng pháp hằng số biến thiên".

Dạng toán 3: Phơng pháp lôgarit hóa giải phơng trình mũ và lôgarit

Phơng pháp

Ta có thể giải một phơng trình có hai vế luôn dơng bằng cách lấy lôgarit hai

vế theo cùng một cơ số thích hợp

Cụ thể:

af(x) = bg(x) Û logaaf(x) = logabg(x) Û f(x) = g(x).loga b

hoặc logbaf(x) = logbbg(x) Û f(x).logba = g(x)

hoặc logcaf(x) = logcbg(x) Û f(x).logca = g(x).logcb

a Ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phơng trình, ta đợc:

b Điều kiện x ạ 0 Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phơng trình, ta đợc:

Û

Û

Đ Với câu b) các em học sinh sẽ nhận thấy tính linh hoạt trong việc

sử dụng các phép biến đổi đại số trớc khi thực hiện phéplôgarit hóa hai vế của một phơng trình để giảm thiểu tínhphức tạp

Thí dụ 2 Giải các phơng trình sau:

a = 81x b x6 = 5-5

? Giải

a Điều kiện x > 0

Lấy lôgarit cơ số 3 cả hai vế của phơng trình, ta đợc:

log3 = log3(81x) Û 2 -log3x = 4 + log3x Û log3x = -1 Û x = 3-1

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 3-1

b Điều kiện 0 < x ạ 1

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế của phơng trình, ta đợc:

log5(x6 ) = log55-5 Û log5x6 + log5 = -5

Û 6log5x - logx5 = -5

Đặt t = log5x, ta biến đổi phơng trình về dạng:

6t - = -5 Û 6t2 + 5t - 1 = 0 Û Û Û

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 5-1 hoặc x =

Dạng toán 4: Phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải

ph-ơng trình mũ và lôgarit

Phơng pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phơng

trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a, b)

Phơng pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 4: Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phơng trình

Tính chất 2 Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc

là một hàm giảm trong khoảng (a; b) thì phơng trình f(x) = g(x) có nhiều nhấtmột nghiệm thuộc khoảng (a; b) (do đó nếu tồn tại x0ẻ(a; b): f(x0) = g(x0) thì

đó là nghiệm duy nhất của phơng trình f(x) = g(x))

Thí dụ 1 Giải các phơng trình sau:

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của phơng trình vì log22 + log33 = 2, đúng.Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0

Thí dụ 2 Giải các phơng trình sau:

b 3x = 4 - x b log3x = 4 - x

? Giải

a Nhận xét rằng:

Đ Vế trái của phơng trình là một hàm đồng biến

Đ Vế phải của phơng trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phơng trình vì:

31 = 4 - 1 Û 3 = 3, đúng

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Nhận xét rằng:

Đ Vế trái của phơng trình là một hàm đồng biến

Đ Vế phải của phơng trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Nhận xét rằng x = 3 là nghiệm của phơng trình vì:

log33 = 4 - 3 Û 1 = 1, đúng

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3

Thí dụ 3 Giải phơng trình 31 - x - log2x - 1 = 0

? Giải

Điều kiện x > 0

Viết lại phơng trình dới dạng:

Nhận xét rằng:

Đ Vế trái của phơng trình là một hàm nghịch biến

Đ Vế phải của phơng trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

sax + b + acx = say + b + acy (3)Xét hàm số f(t) = sat + b + act là hàm đơn điệu trên R

Khi đó (3) đợc viết lại dới dạng:

f(x) = f(y) Û x = y

Khi đó (2) có dạng:

sax + b - dx - e = 0 (4)Dùng phơng pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

2 Để sử dụng đợc phơng pháp trên cần phải khéo léo biến đổi

ph-ơng trình ban đầu về dạng thoả mãn điều kiện (*)

6x + 3x = 6y + 3y (3)Xét hàm số f(t) = 6t + 3t là hàm đơn điệu trên R

Khi đó (3) đợc viết lại dới dạng:

Khi đó ta thực hiện:

Đặt y = f(x), khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ:

(I)Cộng theo vế hai phơng trình của (I), ta đợc:

VÝ dô sau sÏ minh ho¹ cô thÓ d¹ng ph¬ng tr×nh kiÓu nµy.

ThÝ dô 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh log2[3log2(3x - 1) - 1] = x

log2(3y - 1) + y = log2(3x - 1) + x (3)XÐt hµm sè f(t) = log2(3t - 1) + t, ta cã:

Nhận xét: Trong lời giải trên:

Đ ở câu a), chúng ta sử dụng ngay phép thế y = x-3 vào phơngtrình thứ nhất của hệ để nhận đợc một phơng trình mũ dạng:

[u(x)]f(x) = [u(x)]g(x) Û

Đ ở câu b), để tờng minh chúng ta có thể trình bày theo cách:Biến đổi phơng trình thứ nhất của hệ về dạng:

(1)Biến đổi phơng trình thứ hai của hệ về dạng:

(2)Thay (2) vào (1), ta đợc:

Nhận xét: Trong lời giải trên:

Đ ở câu a), bằng việc sử dụng công thức biến đổi tổng của hailogarit cùng cơ số (trong đó 1 = log44) chúng ta nhận đợc dạngVi-ét cho hai ẩn x, y

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phơng pháp thế nh sau:

Rút y = 20 - x từ phơng trình thứ nhất của hệ thay vào phơngtrình thứ hai, ta đợc:

log4x + log4(20 - x) = 1 + log49 Û log4[x(20 - x)] = log436

Û x(20 - x) = 36 Û x2 - 20x + 36 = 0

Đ ở câu b), chúng ta đã sử dụng phép mũ hoá để nhận đợc tíchcủa hai toán tử 4-2x và 4-2y, từ đó sử dụng hệ quả của định lí Vi-

ét Đây chính là sự khác biệt mà các em học sinh cần lu ý chohai dạng hệ phơng trình ở a) và b)

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phơng pháp thế nh sau:

Rút y = 1 - x từ phơng trình thứ nhất của hệ thay vào phơngtrình thứ hai, ta đợc:

Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; ) và (10; 1).

b Điều kiện x, y > 0 Biến đổi hệ về dạng:

Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:

Đ ở câu a), chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0)theo cách:

Vậy, phơng trình (*) đợc viết dới dạng:

Thí dụ 2 (ĐHQG Hà Nội - 1995): Giải hệ phơng trình:

log2(x + 1) + x = log2y + y - 1 Û log2(x + 1) + x + 1 = log2y + y

Xét hàm số f(t) = log2t + t là hàm đồng biến với t > 0, do đó phơng trình