Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 1 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số th.

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 1

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x

Tập xác định của hàm số côsin là 

  kí hiệu là tan

  kí hiệu là cot

y x tuần hoàn với chu kì T  2; hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T; hàm

số y cotx tuần hoàn với chu kì T.

2) Chú ý

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

● Hàm số y f1 x tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số yf2 x tuần hoàn với chu kì T2

thì hàm số y f1 x f2 x tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung m, n, nên là T0mT1nT2 với m,n là 2

số tự nhiên nguyên tố cùng nhau )

III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số ysinx

● Tập xác định D  , có nghĩa và xác định với mọi x  ;

● Tập giá trị T   1;1, có nghĩa   1 sinx 1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sinxk2 sinx với k  ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

● Tập xác định D  , có nghĩa và xác định với mọi x  .

● Tập giá trị T   1;1, có nghĩa   1 cosx 1;

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cosxk2 cosx với k  ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

k2 ; k2,k  ;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tanxk  tanx với k  ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , ;

3 2

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tanxk  tanx với k  ;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k  ; k , k  ;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3 2

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 4

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số

1 Phương pháp

Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau

 y u x  có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và ( )  u x  0

( )

u x y

Như vậy, ys in u  x , ycosu x  xác định khi và chỉ khi u x xác định  

 ytanu x  có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và  

 cosu x  0   ,

yc x  xác định  2 2

4x 0x 4  2 x2

Vậy Dx| 2 x2  c) Ta có: 1 s inx    1 2 s inx 0

Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D  

x y

x 



1.tan 1

 xác định  1

3 Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số 2021

Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx0xk, k  Vật tập xác định D\k,k .

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin

cos 1

x y

Hàm số xác định khi và chỉ khi cosx 1 0cosx 1 xk2 ,  k  Vậy tập xác định D\k2 , k 

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số cos

sin

2

x y

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2

1  sin x 0 và tan x xác định 2

sin 1

2 cos 0

x

x x k k x

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin  x  0 sinx 1.  *

Mà   1 sinx 1 nên  * sin 1 2 ,

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Hàm số xác định khi và chỉ khi .cos cos 1 2

- Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì ( )f x là hàm không chẵn và không lẻ trên D;

- Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì ( )f x là hàm không chẵn và cũng không

x y

A y sin x B y cos x C y tan x D y cot x

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D   Do đó  x D   x D.

Bây giờ ta kiểm tra f  x f x  hoặc f   x f x .

 Với yf x   sinx Ta có f   x sin  x sinx   sinx

     Suy ra hàm số y cos sinx x là hàm số lẻ

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sin 2 x B yxcos x C y cos cot x x D tan .

sin

x y x



Lời giải Chọn D

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

 D y x sin x

Lời giải Chọn A

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A y sin cos 2 x x B sin 3 cos

2

y x  x  C 2

tan tan 1

x y

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

O Xét đáp án B, ta có   sin 3 cos sin 3 sin sin 4

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D là hàm số lẻ

Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A y cot 4 x B sin 1.

cos

x y

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

sin

x y x



Lời giải Chọn C

Viết lại đáp án A là sin cos

2

y x x



 

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 14

Lời giải Chọn C

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 10: Cho hàm số f x  sin 2x và   2

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 15

Lời giải Chọn A

Viết lại đáp án B là sin 1 sin cos .

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

    Vậy y sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số y sinx đối xứng qua gốc tọa độ O.

B Đồ thị hàm số y cosx đối xứng qua trục Oy.

C Đồ thị hàm số y tanx đối xứng qua trục Oy.

D Đồ thị hàm số y tanx đối xứng qua gốc tọa độ O.

Lời giải Chọn A

Ta kiểm tra được hàm số y sinx là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy

 Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản

o Phương trình bậc hai: ax2bx c   có nghiệm x   khi và chỉ khi 0 0

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) ysinx cosx ; b) y 3 sin 2xcos 2x

Lời giải Chọn A

Ta có   1 sinx  1   3 3 sinx  3   5 3 sinx  2 1

1

5

M y

Ta có   1 cos 2x  1   3 3 cos 2x  3   2 3 cos 2x  5 8

Ta có   1 sinx  1    1 sinx   1    3 3 sinx  3

Ta có y  5 4 sin 2 cos 2x x  5 2 sin 4x

Mà   1 sin 4x  1   2 2 sin 4x  2    3 5 2 sin 4x 7

y  y

        nên y có 5 giá trị nguyên

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  2 sin 2016 x 2017

A m  2016 2. B m   2. C m  1. D m  2017 2.

Lời giải Chọn B

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Ta có   1 cosx 1

Ta có 1cosx 1 nhỏ nhất khi và chỉ chi cos x lớn nhất  cosx 1

Ta có sin cos 2 sin

Ta có sin 2017 cos 2017 2 sin 2017

Áp dụng công thức sin sin 2 cos sin

Ta có y sin 4x cos 4xsin 2x cos 2xsin 2x cos 2x  cos 2 x

Mà   1 cos 2x  1    1 cos 2x  1    1 y 1

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là  1 Đẳng thức xảy ra  cos 2x  1 2xk2 x k  k .

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  1 2 cos 3 x

Lời giải Chọn B

Ta có   1 cos 3x  1   0 cos 3x   1    0 2 cos 3x   2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2  2.

Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6

Ta có y sin 2x 2 cos 2 xsin 2x cos 2x cos 2 x  1 cos 2x

Ta có y 8 sin 2x 3 cos 2x 8 sin 2x 3 1  2 sin 2x 2 sin 2x 3.

Ta có 12 sin 5 cos 13 12sin 5cos

Ta có 4 sin 2 3cos 2 5 4sin 2 3cos 2

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

cos 2 sin 2 1 sin 2 sin 2

 2 2

sin x 2 sinx 3 sinx 1 4.

Dấu ''  '' xảy ra sin 1 2  .

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 23

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 7  3 cos 2x.

A M  10, m 2. B M 7, m 2. C M  10, m 7. D M  0, m 1.

Lời giải Chọn B

Câu 26: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được

cho bởi một hàm số 4 sin  60 10

Câu 27: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) của mực

nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

  Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. t 13 (giờ) B t 14 (giờ) C t 15 (giờ) D. t 16 (giờ)

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 24

Dạng 4 Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số

1 Phương pháp

 Hàm số y .sin(ax b ) ( a0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2

a



 

 Hàm số y .cos(axb) ( a0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2

a



 

 Hàm số y  tan(axb) ( a0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì

a



 

 Hàm số y .cot(ax b ) ( a0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì

a



 

 Hàm số yf1 x tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y f2 x tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số yf1 x f2 x tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung m, n, nên là T0mT1nT2 với m,n là 2

số tự nhiên nguyên tố cùng nhau )

 Nếu hàm số y f x  tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y f x c(c là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T

2 Ví dụ mẫu Câu 1: Tìm chu kì của hàm số 3sin

2

x

y 

Lời giải:

Câu 2: Tìm chu kì của hàm số cot 3 6 y  x         Lời giải:

Câu 3 : Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: ycos2x 1 Lời giải:

Câu 4: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: sin 2 cos 2 5 5 y  x  x     Lời giải:

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 25

Câu 5: Tìm chu kì tuần hoàn Tcủa hàm số sin3 sin5 2 2 x x y   Lời giải:

3 Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì 2 

B Hàm số y cosx tuần hoàn với chu kì 2 

C Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì 2 

D Hàm số y cotx tuần hoàn với chu kì .

Lời giải Chọn C

Vì hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì .

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y sinx B y x sinx C yxcos x D y sinx.

x



Lời giải Chọn A

Hàm số y x sinx không tuần hoàn Thật vậy:

 Tập xác định D  

 Giả sử f x T f x ,  x D

x T sinx T x sin , x x D

T x T x x

       *

Cho x 0 và x, ta được

sin sin 0 0

T x

T  T 





2T sinT sin  T 0 T 0

        Điều này trái với định nghĩa là T 0 Vậy hàm số y x sinx không phải là hàm số tuần hoàn

Tương tự chứng minh cho các hàm số yxcosx và y sin x

x

 không tuần hoàn

Câu 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Hàm số y sinaxb tuần hoàn với chu kì T 2

Hàm số y cosaxb tuần hoàn với chu kì T 2

  tuần hoàn với chu kì T 4 

Câu 6: Tìm chu kì T của hàm số 1sin 100 50 .

Hàm số y cos 2x tuần hoàn với chu kì 1 2 .

Hàm số y cos 3x tuần hoàn với chu kì 1 2 .

Câu 9: Tìm chu kì T của hàm số 3 cos 2 1 2 sin 3

Hàm số y 3 cos 2 x 1 tuần hoàn với chu kì 1 2 .

y x       tuần hoàn với chu kì T4 

Câu 10: Tìm chu kì T của hàm số sin 2 2 cos 3

Hàm số sin 2

3

y   x  tuần hoàn với chu kì 1

2 2

    tuần hoàn với chu kì T2 

Câu 11: Tìm chu kì T của hàm số y tan 3 x.

Hàm số y tanaxb tuần hoàn với chu kì T

Hàm số y cotaxb tuần hoàn với chu kì T

Suy ra hàm số y tan 3x cotx tuần hoàn với chu kì T .Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Câu 13: Tìm chu kì T của hàm số cot sin 2

Hàm số cot

3

x

y  tuần hoàn với chu kì T1 3 

Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T2.Suy ra hàm số cot sin 2

3

x

y  x tuần hoàn với chu kì T 3 

Câu 14: Tìm chu kì T của hàm số sin tan 2

y    x  tuần hoàn với chu kì T4 

Câu 15: Tìm chu kì T của hàm số 2

2 cos 2017.

y x

Lời giải Chọn C

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 29

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T.

Câu 16: Tìm chu kì T của hàm số 2 2

Ta có 2.1 cos 2 3.1 cos 6 13 cos 6 2 cos 2 5 

Ta có tan 3 1 cos 4 12 tan 3 cos 4 1 

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T.

Dạng 5 Đồ thị của hàm số lượng giác

1 Phương pháp 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v  k T i .0

về bên trái và phải

song song với trục hoành Ox (với i

là véc tơ đơn vị trên trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 30

b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y f x( a) bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu a

Tịnh tiến theo vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy



8

 và sau đó tịnh tiến cho các

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên miền 0;6

1 / 3 giá trị của hàm số y = cos trên đoạn 0;6 là:

3

Do chu

x Bảng

ở bốn phương án A, B, C,D

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

https://shope.ee/1VOJU6RnNZPage 33

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  1 sin 2 x B y cos x C y  sin x D y  cos x

Lời giải Chọn B

Ta thấy tại x 0 thì y 1 Do đó loại đáp án C và D

Ta thấy:

Tại x 0 thì y 0 Do đó loại B và C

Tại x thì y  1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa

Câu 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê

ở bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Ta thấy:

Tại x 0 thì y 1 Do đó ta loại đáp án B và D

Tại x 3 thì y 1 Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn

Câu 4: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê

 thì y 1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn

Câu 5: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê

ở bốn phương án A, B, C,D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y sin x B y sinx. C y sinx. D y  sin x

Lời giải Chọn D

Ta thấy tại x 0 thì y 0 Cả 4 đáp án đều thỏa

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác

Ta thấy tại x 0 thì y  1. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn

Câu 7: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê

ở bốn phương án A, B,C,D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y sinx. B y sin x. C y cosx. D y cosx.

Lời giải Chọn A

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn

Ta thấy tại x 0 thì y 0 Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn

Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê

ở bốn phương án A, B, C,D

Hàm s ố l ượ ng giác và ph ươ ng trình l ượ ng giác