TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics

Nguyên lý cộng, nhân Công việc A có 2 phương pháp Khi đó số cách làm công việc A là n+m  Công việc A cần thực hiện 2 bước Khi đó số cách làm công việc A là n.m... Tổ hợp Hoán vị và c

Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông

Bộ môn Khoa học máy tính

TOÁN RỜI RẠC

(Discrete Mathematics)

 An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn Để

chọn 1 cái áo thì An có mấy cách?

3 + 5 = 8 (cách)

 Ví dụ: Giá trị k bằng bao nhiêu khi thực

hiện các đoạn chương trình sau:

Nguyên lý cộng, nhân

 Công việc A có 2 phương pháp

Khi đó số cách làm công việc A là n+m

 Công việc A cần thực hiện 2 bước

Khi đó số cách làm công việc A là n.m

Nguyên lý bù trừ (2)

24 HS học tiếng Pháp, 26 học sinh học tiếngAnh, 15 học sinh học tiếng Anh và tiếng Pháp

Hỏi lớp có bao nhiêu người?

 Giải.

 Gọi A là số học sinh học Tiếng Pháp

 B là số học sinh học Tiếng Anh

  Số học sinh của lớp là |A U B| Theo nguyên lý bù trừ ta có

|A U B|= |A|+|B| -|A ∩ B|=24+26-15=35

Nguyên lý bù trừ (3)

 Ví dụ: Có bao nhiêu xâu bit nhị phân có độ dài bằng 8 bit được bắt đầu bằng bit 1 hoặc kết thúc bằng hai bit 00 ?

 Giải.

Xâu bit có độ dài bằng tám và có bit 1 đầu tiên?

Xâu bit có độ dài bằng tám và kết thúc bằng hai bit00?

Xâu bit có độ dài bằng 8 bắt đầu bằng bit 1 và kếtthúc bằng hai bit 00?

27 + 26 - 25=128 + 64 – 32 =160

Bài toán

Có phân biệt thứ tự không?

Tổ hợp Hoán vị và chỉnh hợp

Ko Có

Lấy hết phần tử ra không? Chọn rồi được chọn lại ko?

Tổ hợp lặp

Tổ hợp

Có Ko

)! 1 (

!

)! 1 (

k

n

C n k k

! ( )!





k n

n A

n C

k n k

Hoán vị (2)

 Ví dụ: Một thương nhân định đi bán hàng tại 8 thành phố Anh ta bắt đầu cuộc hành trình của mình từ một thành phố nào đó, nhưng có thể đến bảy thành phố khác theo bất kì thứ tự nào mà anh ta muốn Hỏi anh ta có thể đi qua tất cả các thành phố còn lại theo bao nhiêu lộ trình khác nhau ?

 Đáp án:

7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040

Hoán vị (3)

 Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái {A, B, C, D, E, F, G, H} có chứa xâu ABC ?

 Đáp án:

720 1

* 2

* 3

* 4

* 5

* 6

!

6

P

*( 1) *( 2) ( 1), ( )

k n

Chỉnh hợp (2)

 Ví dụ: Cho X ={a,b,c} Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb.

 Đáp án:

120 4

* 5

*

6

! 3

! 3

* 4

* 5

* 6

! 3

! 6 3

A

Chỉnh hợp (3)

 Ví dụ: Có 8 vận động viên tham gia thi chạy xe

người để trao giải nhất, nhì và ba nếu tất cả cáckết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?

 Đáp án:

336 6

* 7

*

8

! 5

! 5

* 6

* 7

* 8 )!

3 8

0  n 

n

C Cn k  Cn n k

Tổ hợp (2)

3 6

6! 6 *5* 4 *3!

6 *5* 4 120 3! 3!

1 1 1

6 * 5 * 4 6*5*4 120

Tổ hợp (3)

người để trao giải nhất, nhì và ba nếu tất cả cáckết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?

 Đáp án:

336 6

* 7

*

8

! 5

! 5

* 6

* 7

* 8 )!

3 8

Tổ hợp (4)

 Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4} Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}

 Một lớp có 30 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn?

 Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30.

)!

10 30

(

! 10

! 30

10 30





C

Tổ hợp (5)

 Ví dụ: Một nhóm 30 người được đào tạo

để trở thành nhà du hành vũ trụ thực hiện chuyến bay đầu tiên tới sao Hỏa Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn một phi đội gồm

6 người cho nhiệm vụ đó (giả sử rằng cả sáu người đều làm cùng một công việc)?

593775

! 24

* 1

* 2

* 3

* 4

* 5

* 6

! 24

* 25

* 26

* 27

* 28

* 29

* 30

! 24

Tổ hợp (6)

 Ví dụ: Xác định số các xâu bit có độ dài n

và chứa đúng r bit 1.

 Đáp án: Các vị trí của r bit 1 trong xâu bit

độ dài n là không quan trọng Do đó, số các xâu này đúng bằng tổ hợp chập r của

n phần tử, tức là r

nC

Tổ hợp (7)

để triển khai môn toán rời rạc tại một trường đại

thành viên

 Đáp án:

27720

! 7

Tổ hợp (8)

 Định lý nhị thức (Nhị thức Newton): Cho x và

 Ví dụ: Tìm triển khai của biểu thức (x + y)4

5200300 13!12!

25

25 0

25!

13!12!

Tam giác Pascal

1 Tìm triển khai của biểu thức (x + y)9; (x - y)15;

(-5x + y)9; (-5 + y)7

2 Tính hệ số x22y33 trong khai triển (x + y)55 ;

(2x -3y)55 ; (7x - y)55 ; hệ số y33 của (2 - 5y)55;

hệ số x22 của (2x - 5)55

Bài tập

Hoán vị lặp (1)

 Định nghĩa. Cho n đối tượng trong đó có ni đốitượng loại i giống hệt nhau (i =1, 2, …, k ; n1+

n2+…+ nk= n) Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đốitượng đã cho gọi là một hoán vị lặp của n

!

!

!

! )

, , ,

(

2 1

2 1

k

k n

n n

n

n n

n n

Hoán vị lặp (2)

bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từSUCCESS?

Hoán vị lặp (3)

lập từ các số {1, 2, 3} sao cho trong đó có haichữ số giống nhau?

 Đáp án:

18

! 2

!

3

* 2

Chỉnh hợp lặp

 Định nghĩa: Có n phần tử khác nhau, mỗi cáchlấy k phần tử từ n phần tử có lặp, có kể thứ tự

được gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n

được bao nhiêu xâu có độ dài n?

 Đáp án: Theo qui tắc nhân, vì có 26 chữ cái và vì

Tổ hợp lặp (1)

 Định nghĩa. Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau (trong đó mỗi loại vật

có thể được chọn lại nhiều lần ) được gọi

)!

1 (

k n

Cn k k

Tổ hợp lặp (2)

quả từ đĩa này nếu giả sử rằng thứ tự các quảđược chọn không quan trọng

2 táo, 1 cam, 1 lê 2 cam, 1 táo, 1 lê 2 lê, 1 táo, 1 cam

Tổ hợp lặp (3)

một két đựng tiền gồm những tờ có mệnh giá là

tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có

ít nhất 5 tờ

Tổ hợp lặp (4)

462

! 6

Khái niệm Hệ thức truy hồi

 Hệ thức truy hồi đối với dãy {an} là công thức

đứng trước an

 Điều kiện đầu a0, a1, a2, …, an-1

 Mọi số nguyên n ≥ n0, n0 ≥ 0

 Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của

hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi đã cho

Ví dụ Hệ thức truy hồi (1)

 Cho dãy {an} thỏa mãn hệ thức truy hồi an=

an-1 + an-2 với n=2, 3, 4, … giả sử a0=3, a1=5 Tìm a2 và a3?

 Đáp án:

a2 = a1 + a0 = 5 + 3 = 8

a3 = a2 + a1 = 8 + 5 = 13

Ví dụ Hệ thức truy hồi (2)

 Hãy xác định xem dãy {an}?

an=3n (n ≥ 0) là lời giải của hệ thức truy hồi an= 2an-1-an-2, với n = 2, 3, 4, … hay không?

 Đáp án:

an=2an-1-an-2= 2[3(n-1)] – 3(n-2)=3n

Vậy an=3n ( n ≥ 0) là lời giải của hệ thức truy hồi an= 2an-1-an-2

Ví dụ Hệ thức truy hồi (3)

 Hãy xác định xem dãy {an}?

an=2n (n ≥ 0) là lời giải của hệ thức truy hồi an= 2an-1-an-2, với n = 2, 3, 4, hay không?

 Đáp án:

an=2an-1-an-2 = 2*2n-1 - 2n-2 = 2n-2(4-1)=3*2n-2

a0 = 1; a1 = 2; a2 = 4; 2a1 – a0 =2*2 – 1 = 3 khác a2

 Vậy an=2n ( n ≥ 0) không phải là lời giải

của hệ thức truy hồi a = 2a -a

Ví dụ Hệ thức truy hồi (4)

 Hãy xác định xem dãy {an}?

 an=5 (n ≥ 0) là lời giải của hệ thức truy hồi

an= 2an-1-an-2, với n = 2, 3, 4, hay không?

 Đáp án:

an=2an-1-an-2 = 2*5 - 5 = 5 = an

Vậy an=5 (n ≥ 0) là lời giải của hệ thức truy hồi

a n = 2a n-1 -a n-2

Mô hình hoá bài toán bằng Hệ thức truy hồi

Tính lãi gộp

 Một người gửi 10.000 đô vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm Sau 30 năm tài khoản anh ta có bao nhiêu tiền?

 Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm

 Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n 

1 năm cộng lãi suất của năm thứ n

 Xét với n=3,4, 5…: thoả hệ thức truy hồi

) 2 (

) 1 (

1

0 )

n khi n

F n

F n

F

Tháp Hà Nội (1)

Xâu nhị phân (1)

có hai bit 0 liên tiếp Có bao nhiêu xâu như thế

 Hệ thức truy hồi: an = an-1 + an-2 ?

Xâu nhị phân (2)

 Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n và không

có hai bit 0 liên tiếp Theo nguyên lý cộng:

 an= số xâu có độ dài n-1, không có hai bit 0 liêntiếp và kết thúc bằng bit 1 (an-1 xâu bit) +

 số xâu có độ dài n-1, không có hai bit 0 liên tiếp

và kết thúc bằng bit 0  bit thứ n-1 là 1 số xâu

có độ dài n-2, không có hai bit 0 liên tiếp và kếtthúc bằng bit 10 (an-2 xâu bit)

 Hệ thức truy hồi: an = an-1 + an-2 , n>=3

Bài tập Hệ thức truy hồi (1)

hệ thức truy hồi và điều kiện đầu sau:

Bài tập Hệ thức truy hồi (2)

 2 Dãy {an } có là nghiệm của hệ thức truy hồi

an=8an-1-16an-2 hay không nếu:

Bài tập Hệ thức truy hồi (3)

truy hồi