GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC (Discrete mathematics) Th.s Bùi Anh Kiệt Th.s Trương Quốc Bảo.

Do đó, theo đ nh lý trên s không có chu trình Euler trong đ th này... Khi đó G có chu trình Hamilton... Mâu thu n này đã.

N m 2003

r i r c, khi nghiên c u các quá trình h u h n M t trong nh ng nguyên nhân ch y u làm

t ng t m quan tr ng c a toán r i r c là vi c l u tr và x lý thông tin trên máy tính đi n t mà

b n ch t là các quá trình r i r c Ba l nh v c có nhi u ng d ng c a toán h c r i r c là lý thuy t t h p, hàm đ i s logic (đ i s Boole) và lý thuy t đ th Các v n đ v lý thuy t t

h p, hàm đ i s logic (đ i s Boole) s đ c trình bày trong các giáo trình khác Trong ph m

vi giáo trình này chúng tôi ch trình bày l nh v c có th xem là quan tr ng nh t và có nhi u

ng d ng nh t c a toán h c r i r c là Lý thuy t đ th

Lý thuy t đ th đ c khai sinh k t công trình nghiên c u v bài toán “7 cây c u

K ö nigsberg” c a nhà toán h c Leonhard Euler (1707 - 1783) đ c công b vào n m 1736

T đó đ n nay, đã có nhi u nhà toán h c trên th gi i nghiên c u làm cho lý thuy t đ th

ngày càng phong phú và có nhi u ng d ng trong các l nh v c khác nhau nh m ng đi n t ,

lý thuy t mã, v n trù h c, kinh t h c, c bi t, trong kho ng vài ch c n m tr l i đây, cùng

v i s ra đ i c a máy tính đi n t và s phát tri n nhanh chóng c a Tin h c, Lý thuy t đ th

càng đ c quan tâm nhi u h n, đ c bi t là các thu t toán và ng d ng trên đ th Hi n nay, môn h c này đã đ c xem là ki n th c c s c a khoa h c máy tính

Giáo trình này đ c biên so n t bài gi ng c a các tác gi trong các n m qua

Tr ng i h c C n th và các trung tâm đào t o liên k t trong vùng ng b ng sông C u long, nh m đáp ng nhu c u tài li u tham kh o và h c t p b ng ti ng Vi t c a sinh viên ây

là giáo trình dành cho sinh viên s ph m Toán Tin, Toán nên h u h t các v n đ đ c trình bày đ u đ c ch ng minh ch t ch , rõ ràng ng th i, c ng kèm theo m t s thu t toán và các ng d ng th c t c ng nh ng d ng trên máy tính Các sinh viên chuyên ngành Lý Tin, Tin h c và i n t c ng có th s d ng giáo trình này nh m t tài li u tham kh o h u ích

N i dung c a giáo trình bao g m các n i dung c b n nh t c a lý thuy t đ th có kèm các bài t p áp d ng và đ c chia làm 04 ch ng:

Ch ng 1: Trình bày các thu t ng , đ nh ngh a và khái ni m c b n c a đ th nh đ

th vô h ng, có h ng, các lo i đ th , đ ng đi, chu trình, tính liên thông, ph ng pháp

t ng quát đ gi i quy t m t bài toán b ng lý thuy t đ th ,

Ch ng 2: Trình bày các bài toán v đ ng đi Euler, Hamilton, các gi i thu t tìm

đ ng đi ng n nh t nh Dijkstra, Heterdetmin cùng m t s ví d ng d ng

Ch ng 3: Trình bày các v n đ liên quan đ n đ th ph ng và bài toán tô màu đ th cùng m t s ng d ng

Ch ng 4: Kh o sát t ng quát v c u trúc cây và các v n đ liên quan, đ c bi t là cây

nh phân M t s ng d ng c a cây trong tin h c c ng đ c trình bày nh các phép duy t cây, cây bi u th c s h c, ký pháp ngh ch đ o Ba Lan (RPN), các thu t toán tìm cây ph t i ti u,

Cu i m i ch ng có ph n bài t p giúp sinh viên rèn luy n và ki m tra l i nh ng ki n

th c đã đ c h c M t s v n đ trong ph n lý thuy t c ng còn đ m xem nh ph n bài t p

t gi i c a sinh viên

Do gi i h n v m t th i gian (giáo trình đ c gi ng d y trong 45 ti t) nên chúng tôi

ch đ c p đ n các v n đ c b n nh t c a lý thuy t đ th Các v n đ m r ng và chuyên sâu

c a lý thuy t c a lý thuy t đ th s đ c trình bày thêm trong quá trình gi ng d y trên l p và xem là các v n đ m cho sinh viên t h c, nghiên c u thêm khi làm ti u lu n, lu n v n t t nghi p

Tuy đã h t s c c g ng, song v i qu th i gian và ki n th c h n ch ch c ch n giáo trình v n còn nh ng v n đ khi m khuy t, chúng tôi r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n quý báu c a quý th y cô, b n bè đ ng nghi p và các em sinh viên đ giáo trình đ c hoàn thi n h n

Th.S Tr ng Qu c B o

C n th , tháng 12 n m 2003

N u c nh e t ng ng v i 2 đ nh v, w thì ta nói v và w là 2 đ nh k (hay 2 đ nh liên

k t) (adjacent) v i nhau Ta c ng nói c nh e t i hay liên thu c (incident) v i các đ nh v và w

Ký hi u e = vw hay v e w (ho c e = vw; e = wv) C nh vv t ng ng v i 2 đ nh trùng nhau g i là m t vòng hay khuyên (loop) t i v

Hai c nh phân bi t cùng t ng ng v i m t c p đ nh đ c g i là 2 c nh song song (paralleledges) hay c nh b i th không có c nh song song và c ng không có vòng đ c

g i là đ n đ th (simple graph) Ng c l i là đa đ th (multigraph)

th mà m i c p đ nh c a nó đ u k nhau đ c g i là đ th đ y đ (Complete graph) n đ th đ y đ bao g m n đ nh đ c ký hi u: Kn

th G' = (V',E') đ c g i là m t đ th con (subgraph) c a đ th G = (V,E) n u V'

⊂ V; E' ⊂ E

th có s đ nh và s c nh h u h n đ c g i là đ th h u h n (finite graph), ng c

l i đ c g i là đ th vô h n (Infinite graph)

Trong giáo trình này, chúng ta ch kh o sát các đ th h u h n

Ví d 2: th G có: V = {u, v, x, y}

E = {uv, uv, ux, vx, xy, yy}

c bi u di n hình h c nh sau:

Trang 1

- Ma tr n liên k t hay li n k (adjacency matrix)

- Ma tr n liên thu c (incidence matrix)

có ma tr n li n k là:

Ng i ta còn dùng ma tr n liên thu c đ bi u di n đ th Cho G = (V,E) là m t đ th

v i v1, v2, , vn là các đ nh và e1, e2, , em là các c nh c a G Khi đó ma tr n liên thu c c a

G theo th t trên c a V và E là m t ma tr n M = (mij)n x m v i:

mij = 1 n u c nh ej n i v i đ nh vi

0 n u c nh ej không n i v i đ nh vi

Ü Chú ý: Các ma tr n liên thu c c ng có th đ c dùng đ bi u di n các c nh b i và khuyên (vòng) Các c nh b i (song song) đ c bi u di n trong ma tr n liên thu c b ng cách dùng các c t có các ph n t gi ng h t nhau vì các c nh này đ c n i v i cùng m t c p các

1 1

1 1 0

0 0 0 0v

2 0

1 1 1

0 1 1 0v

3 0

0 0 1

1 0 0 0v

4 0

0 0 0

0 0 1 1v

5 0

0 0 0

- nh có b c 0 g i là đ nh cô l p (isolated vertex)

- nh có b c 1 g i là đ nh treo (pendant vertex)

- C nh t i đ nh treo g i là c nh treo (pendant edge)

- th mà m i đ nh đ u là đ nh cô l p g i là đ th r ng (null graph)

Ví d 9: Cho đ th sau:

ef

i

i 2deg

4 Ch ng minh - gi i bài toán b ng ph ng pháp đ th

ch ng minh (gi i) bài toán b ng đ th ta th c hi n theo các b c sau:

Ü B c 1: Xây d ng đ th G = (V, E) mô t đ y đ các thông tin c a bài toán, trong đó:

+ M i đ nh v∈V bi u di n cho m t đ i t ng nào đó c a bài toán

+ M i c nh n i 2 đ nh và s bi u di n cho m i quan h gi a hai đ i

Ví d 10: Ch ng minh r ng trong m t cu c h p tùy ý có ít nh t 02 đ i bi u tham gia

tr lên, luôn luôn có ít nh t hai đ i bi u mà h có s ng i quen b ng nhau trong các đ i bi u

+ C nh: Trong đ th G các đ nh và đ c n i v i nhau b ng m t c nh n u hai

đ i bi u và quen nhau V y, m i quan h gi a 02 đ i t ng đây là m i quan h quen

bi t M i c nh n i 2 đ nh và trong G n u hai đ i bi u và quen nhau

i

v v j i

+ Theo đ nh lý 1.2 ta có trong G t n t i ít nh t 02 đ nh có cùng b c ngh a là luôn luôn

có ít nh t hai đ i bi u mà h có s ng i quen b ng nhau trong các đ i bi u đã đ n d h p

Ví d 11: Ch ng minh r ng s ng i mà m i ng i đã có m t s l l n b t tay nhau trên trái đ t này là m t con s ch n

(Xem nh bài t p - Sinh viên t ch ng minh)

Ü V y Cn có:

+ S đ nh: V = n≥3+ B c c a đ nh deg( )v i =2; ∀v i∈V

+ S c nh: = *2n−1

n E

M t đ th G đ c g i là đ th l ng phân (bipartie graph) n u t p h p các đ nh V

c a G có th phân thành 2 t p h p không r ng V1 và V2, V1 V2 = ∅ sao cho m i c nh c a G

n i m t đ nh c a V1 v i m t đ nh c a V2

Trang 7

là không ph i là đ th l ng phân vì n u ta chia các đ nh c a nó thành 2

ph n r i nhau thì m t trong 2 ph n này ph i ch a 2 đ nh N u đ th là l ng phân thì các

đ nh này không th n i v i nhau b ng m t c nh Nh ng trong K3 m i đ nh đ c n i v i đ nh

khác b ng m t c nh

1 nh ngh a

Các đ th G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) đ c g i là đ ng c u v i nhau n u có m t song ánh f: V1 → V2 sao cho n u a và b là li n k trong V1 thì f(a) và f(b) li n k trong V2; ∀

d' e'

G và H có cùng s c nh, s đ nh nh ng H có đ nh e' b c 1, trong khi đó G không có

đ nh nào b c 1 i u ki n c n không th a ⇒ G và H không đ ng c u

→ab

b a

nh ngh a: Cho G là đ th có h ng, b c vào c a đ nh v, ký hi u: deg−(v) (ho c din(v)) là s c nh có đ nh cu i là v.

V

i

i out V

Ví d 23: Có m t nhóm g m 09 đ i bóng bàn thi đ u vòng tròn m t l t H i sau khi

có k t qu thi đ u c a t t c các đ i có th có tr ng h p b t k đ i nào trong 09 đ i này

c ng đ u th ng đúng 05 đ i khác trong nhóm đ c không? (L u ý trong thi đ u bóng bàn không có tr n hòa)

(Xem nh bài t p - Sinh viên t ch ng minh)

1 ng đi

nh ngh a: ng đi (path) có đ dài n t vo đ n vn v i n là m t s nguyên d ng, trong m t đ th vô h ng là m t dãy các c nh liên ti p vov1, v1v2, , vn−1vn nh vođ c

g i là đ nh đ u, đ nh vn đ c g i là đ nh cu i ng đi này th ng đ c vi t g n: vov1v2

vn−1vn Khi ch c n nêu ra đ nh đ u vo và đ nh cu i vn c a đ ng đi, ta vi t: đ ng đi vo −

vn

Ü M t đ ng đi không qua c nh nào l n th hai đ c g i là đ ng đi đ n gi n

( đ ng đi đ n)

Ü M t đ ng đi không qua đ nh nào l n th hai đ c g i là đ ng đi s c p

Ü L u ý: M t đ ng đi s c p là m t đ ng đi đ n gi n nh ng m t đ ng đi đ n

gi n có th không là đ ng đi s c p)

2 Chu trình

2.1 nh ngh a: M t đ ng đi khép kín (đ nh đ u ≡ đ nh cu i) và có đ dài n ≥ 3

đ c g i là m t chu trình (Cycle)

Ü Chu trình không đi qua c nh nào l n th hai đ c g i là chu trình đ n gi n

Ü Chu trình không đi qua đ nh nào l n th hai, tr đ nh đ u ≡ đ nh cu i, đ c g i là

Vì G là m t đ th h u h n, m i đ ng s c p qua t ng đ nh không quá m t l n, nên

s đ ng s c p trong G là h u h n Do đó, ta luôn xác đ nh đ c đ ng đi s c p có đ dài

c c đ i trong s các đ ng đi s c p có trong đ th G=(V,E)

Gi s α =v1 v2,Lv k−1 v k là m t trong các đ ng đi s c p có đ dài c c đ i Do b c

c a m i đ nh không nh h n 2 (∀v∈V có d( )v ≥2), nên đ nh v1 ph i k v i 1 đ nh u nào đó

và u≠v2 Xét 02 tr ng h p:

+ N u đ nh u≡v i (3≤i≤k), khi đó trong đ th G s có m t chu trình s c p

1 1

1 2

k

j≤

≤3

+ α1 =v1 v2 v3Lv i−1 v i v1 và + α2 =v1 v2 v3Lv i−1 v i v i+1Lv j−1v j v1

Ta xét 2 tr ng h p sau:

+ N u m t trong hai đ ng s c p α ho c 1 α có đ dài ch n thì ta có đi u 2

ph i ch ng minh

Trang 11

+ Ng c l i, n u c hai đ ng s c p α và 1 α2 đ u có đ dài l thì khi đó

đ ng đi s c p:

i

i v v v v

v1 2 3 1

3 = L −

α có đ dài ch n và đ ng s c p:

1 1 1

4 =v i v i+ Lv j− v j v

α có đ dài l nên chu trình:

1 1 1 1

5 =v v i v i+ Lv j− v j v

α có đ dài ch n (đi u ph i ch ng minh)

3 Tính liên thông trong đ th vô h ng

3.1 nh ngh a: M t đ th vô h ng đ c g i là liên thông n u có đ ng đi gi a

m i c p đ nh phân bi t c a đ th

V ê duû 25:

G: liên thông; H: không liên thông

Cho đ th G = (V,E) và v ∈ V V' là t p h p các đ nh c a V liên thông v i v, E' là t p

h p các c nh n i 2 đ nh c a V' Khi đó đ th G' = (V',E') g i là thành ph n liên thông (connected component) c a G ch a v ng nhiên n u v và u liên thông trong G thì thành

ph n liên thông c a G ch a v c ng là thành ph n liên thông ch a u

Ví d 26: có 3 thành ph n liên thông

3.2 nh lý 1.8: th G=(V, E) là liên thông khi và ch khi G có duy nh t m t thành

ph n liên thông

3.3 nh c t và c u:

Ü nh c t: N u vi c xóa đi m t đ nh v∈ và t t c các c nh liên thu c v i nó s t o V

ra m t đ th con m i có nhi u thành ph n liên thông h n đ th xu t phát Các đ nh nh

th đ c g i là đ nh c t (cut point) hay đi m kh p v

Ü C u: N u trong đ th G ta b đi c nh e s t o ra nhi u thành ph n liên thông h n G thì e đ c g i là c u (brìdge)

d ≥ thì G

là đ th liên thông

4 Tính liên thông trong đ th có h ng

4.1 Liên thông m nh (Strongly connected)

th có h ng G đ c g i là liên thông m nh n u có đ ng đi t a đ n b và t b đ n a; ∀ a, b ∈ đ th

V ê duû 28:

4.2 Liên thông y u (Weakly connected)

th có h ng G đ c g i là liên thông y u n u đ th vô h ng t ng ng c a nó là liên thông

V ê duû 29:

th có h ng G đ c g i là đ y đ n u đ th vô h ng c a nó là đ y đ

4.3 nh lý 1.10: N u trong đ th G=(V, E) có đúng hai đ nh b c l thì hai đ nh này

ph i liên thông v i nhau

thành hai t p con V1 và V2 Khi đó, d c theo chu trình b t k c a G thì các đ nh thu c t p V1

và t p V2 s l n l t n m liên ti p và xen k nhau Do đó, khi tr v đ nh xu t phát đ u tiên,

ta ph i đi qua m t s ch n các đ nh và do đó chi u dài c a chu trình là m t s ch n

đ ng α có đ dài ch n và 'α có đ dài l n i 2 đ nh v và v0 thì đ th G1 s có chu trình v i

đ dài l , mâu thu n v i tính ch t ban đ u là G ch có chu trình đ dài ch n

V i cách thi t l p hai t p h p đ nh V1 và V2 này, các đ nh c a đ th G1 ho c thu c

t p h p đ nh V1 ho c thu c t p h p đ nh V2 Bây gi , ta ch ng minh r ng ch có các c nh n i các đ nh không thu c cùng m t t p h p đ nh v i nhau mà thôi Th t v y, gi s r ng có 2

đ nh v và u k nhau trong G1 thì chúng không th thu c cùng m t t p h p đ nh V1 ho c V2,

n u không ta có th đi t đ nh v0đ n đ nh v r i đi đ n đ nh u b ng c nh vu r i tr v đ nh v0

Trang 13

b ng m t đ ng đi có đ dài l i u này không x y ra trong đ th G V y G là đ th l ng phân v i hai t p đ nh r i nhau là V1 và V2 b ng cách mà ta đã xây d ng trên

VI M t s phép bi n đ i đ th

1 H p c a hai đ th

H p c a hai đ th G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) là m t đ th G= (V, E) có t p h p các đ nh là V = V1 ∪ V2 và t p h p các c nh là E = E1 ∪ E2

Cho đ th G = (V,E), n u ta b đi m t c nh e = uv c a G và thêm vào m t

đ nh m i w cùng v i 2 c nh uw và wv thì phép toán trên đ c g i là phép phân chia s c p Hai đ th G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) đ c g i là đ ng phôi (homeomorphic) n u chúng có th nh n đ c t cùng m t đ th b ng m t dãy các phép phân chia s c p

Chú ý: Hai đ th là đ ng phôi thì ch a ch c đ ng c u v i nhau

Ch ng II

1 Bài toán m đ u :

Bài toán 7 cây c u K ö nigsberg: Thành ph Königsberg thu c Ph (bây gi g i là

Kaliningrad thu c C ng hòa Liên bang Nga) đ c chia thành b n vùng b ng các nhánh sông Pregel Các vùng này g m 2 vùng bên b sông, đ o Kneiphof và m t mi n n m gi a 2 nhánh

c a sông Pregel Vào th k th XVIII, ng i ta đã xây 7 cây c u n i các vùng l i v i nhau

nh s đ sau:

C

DA

B

Vào ch nh t, ng i dân đây th ng đi b d c theo các vùng trong thành ph H t

h i “Có th xu t phát t i m t đi m nào đó trong thành ph , đi qua t t c 7 cây c u, m i cây

m t l n, r i tr v đi m xu t phát đ c không?”

Nhà toán h c Th y S Leonard Euler đã nghiên c u gi i bài toán này L i gi i c a ông

đ c công b n m 1736 Bài toán này có th đ c coi là m t trong nh ng ng d ng đ u tiên

c a lý thuy t đ th

Ta có th xây d ng đ th G = (V, E) mô t bài toán nh sau:

+ nh: L y các đi m trên m t ph ng hay trong không gian t ng ng v i các vùng

đ t trong s đ i t ng c a bài toán đây là m t vùng đ t trong s đ V y, m i đ nh

bi u di n cho m t vùng đ t th G s có 4 đ nh A, B, C, D t ng ng v i 4 vùng đ t

V

v∈

+ C nh: Trong đ th G các đ nh và đ c n i v i nhau b ng m t c nh e đ i di n cho m t chi c c u n i gi a hai vùng đ t th G s có 7 c nh t ng ng v i 7 chi c c u n i

Bài toán tìm đ ng đi qua t t c các c u m i c u không quá m t l n có th đ c phát

bi u l i b ng mô hình này nh sau: “T n t i hay không m t chu trình đ n trong đa đ th G= (V, E) có ch a t t c các c nh?”

2 nh ngh a

2.1 Chu trình Euler ( th Euler)

Cho G = (V,E) là m t đa đ th liên thông Chu trình đ n ch a t t c các c nh c a đ

th G đ c g i là chu trình Euler th có ch a m t chu trình Euler đ c g i là đ th Euler 2.2 ng đi Euler

Trang 17

Cho G = (V,E) là m t đa đ th liên thông ng đi Euler trong G là đ ng đi đ n

e

không có chu trình Euler và đ ng đi Euler

3 Chu trình và đ ng đi Euler trong đ th vô h ng

Khi gi i bài toán c u Königsberg, Euler đã phát hi n ra các tiêu chu n đ kh ng đ nh

m t đa đ th có chu trình và đ ng đi Euler hay không?

m t c nh liên thu c và r i kh i đ nh này b ng m t c nh liên thu c khác Cu i cùng chu trình

k t thúc đ nh mà nó xu t phát, do đó nó t ng thêm m t đ n v vào deg (a) Ngh a là deg (a)

ph i là m t s ch n nh khác a c ng có b c ch n vì chu trình góp 2 đ n v vào b c c a nó

m i l n đi qua đ nh này V y, m i đ nh c a G đ u có b c ch n

(⇐) Gi s m i đ nh c a đa đ th liên thông G đ u có b c ch n Ta s ch ng minh

t n t i m t chu trình Euler trong G

Th t v y, ta s xây d ng m t chu trình đ n b t đ u t đ nh a tùy ý c a G G i xo = a;

Tr c tiên, ta ch n tùy ý c nh xox1, x1x2, , xn−1xn càng dài càng t t Ví d , trong đ th G sau:

các c nh còn l i Ch ng h n v i đ th trên, khi xóa đi chu trình a,

b, c, f, a kh i đ th trên, ta nh n đ c đ th con H c d

e

Vì G là liên thông ⇒ H có ít nh t có m t đ nh chung v i chu trình v a b xóa G i w

là đ nh đó (trong ví d trên là đ nh c) M i đ nh c a H có b c ch n vì t t c các đ nh c a G có

b c ch n và v i m i đ nh ta đã xóa đi t ng c p liên thu c đ t o ra H L u ý r ng H có th không liên thông B t đ u t đ nh w ta xây d ng m t đ ng đi đ n b ng cách ch n càng nhi u càng t t nh ta đã làm trong G ng này ph i k t thúc t i w Ví d trong đ th H nêu trên ta có chu trình con: c, d, e, c Sau đó, ta t o m t chu trình trong G b ng cách ghép chu trình trong H và chu trình ban đ u trong G (đi u này th c hi n đ c vì 2 chu trình có chung

đ nh w) Ti p t c quá trình này cho đ n khi t t c các đ nh đ c s d ng Quá trình này ph i

k t thúc vì đ th có h u h n đ nh Do đó, ta đã xây d ng đ c m t chu trình Euler

Bây gi , tr l i bài toán 7 cây c u Königsberg: có th xu t phát t m t đ a đi m nào

đó trong thành ph , đi qua t t c các c u (m i c u đi qua đúng m t l n) và tr v đi m xu t phát? Ta đã th y đ th bi u di n các c u Königsberg có 4 đ nh b c l Do đó, theo đ nh lý trên s không có chu trình Euler trong đ th này i u này c ng có ngh a là bài toán 7 cây

c u Königsberg không có l i gi i Hay nói cách khác, không có chu trình nào th a yêu c u

đ t ra

3.2 Thu t toán Fleury tìm chu trình Euler

tìm m t chu trình Euler trong m t đa đ th có t t c các đ nh đ u b c ch n, ta có

th s d ng thu t toán Fleury nh sau:

Xu t phát t m t đ nh b t k c a đ th G và tuân theo hai qui t c sau:

Ü Qui t c 1: M i khi đi qua m t c nh nào thì xóa c nh đó đi, sau đó xóa đ nh cô l p (n u có)

Ü Qui t c 2: Không bao gi đi qua m t c u, tr khi không còn cách đi nào khác đ di chuy n

Ví d 4: Tìm m t chu trình Euler trong đ th sau:

Ta không còn cách ch n nào khác, nên ph i ch n FG, GH, HB, BG, GA

Nh v y, ta có chu trình Euler sau: A, B, C, F, D, C, E, F, G, H, B, G, A

Ví d 5: Tìm m t chu trình Euler c a đ th sau:

E F

D CBA

Trang 19

Th t v y, gi s G có đ ng đi Euler t a đ n b, nh ng không có chu trình Euler

C nh đ u tiên c a đ ng đi góp m t đ n v vào deg (a) Sau đó m i l n đ ng đi qua a l i góp thêm 2 đ n v vào deg (a)

Ch c ch n đ ng đi không th k t thúc t i a, cho nên deg(a) là s l C nh cu i cùng

c a đ ng đi góp m t đ n v vào deg(a) và m i l n đi qua b, nó c ng góp 2 đ n v vào deg(b) Do đó, deg(b) là s l Các đ nh trung gian đ u có b c ch n vì m i l n đ ng đi t i r i

l i đi nên t ng hai đ n v cho b c c a đ nh đó V y, đ th đã cho có đúng 2 đ nh b c l (⇐) Gi s đa đ th liên thông G có đúng 2 đ nh b c l Ta s ch ng minh G có

(Xem nh bài t p - Sinh viên t ch ng minh)

4 Chu trình và đ ng đi Euler đ i v i đ th có h ng

4.1 nh lý v chu trình Euler: th có h ng G = (V, E) có ch a m t chu trình Euler khi và ch khi G là liên thông y u, đ ng th i b c vào và b c ra c a m i đ nh là b ng nhau

Ch ng minh: T ng t đ nh lý Euler đ i v i đ th vô h ng (Xem nh bài t p - Sinh viên t ch ng minh)

Ví d 7: th

c d

4.2 nh lý v đ ng đi Euler: Cho G =(V,E) là m t đa đ th có h ng G có

đ ng đi Euler nh ng không có chu trình Euler ⇔ G là liên thông y u, đ ng th i b c vào và

b c ra c a các đ nh là b ng nhau, tr 2 đ nh, m t đ nh có b c vào l n h n b c ra m t đ n v , còn đ nh kia có b c vào nh h n b c ra m t đ n v

Ch ng minh: T ng t đ nh lý Euler đ i v i đ th vô h ng (Xem nh bài t p - Sinh viên t ch ng minh)

M t chu trình s c p đi qua t t c các đ nh c a đ th G =(V,E) (đi qua m i đ nh đúng

m t l n) đ c g i là chu trình Hamilton th G=(V,E) có ch a chu trình Hamilton đ c

g i là đ th Hamilton

Ví d 11: th

ab

c

d e

nh lý Ore (1960): Cho G = (V,E) là m t đ n đ th liên thông v i n đ nh (n ≥ 3)

và n u: deg(v) + deg(w) ≥ n v i m i c p đ nh không li n k v, w trong G Khi đó G có chu trình Hamilton

Ch ng minh: S d ng ph ng pháp ch ng minh ph n ch ng

Gi s G th a deg(v) + deg(w) ≥ n; ∀v,w không li n k trong G nh ng G không có chu trình Hamilton Khi đó ta có th ghép thêm vào G nh ng c nh cho đ n khi nh n đ c m t

đ th con H c a Kn sao cho H không có chu trình Hamilton, nh ng v i m i c nh e ∈ Kn

nh ng e ∉ H, ta có (H + e) có chu trình Hamilton Vi c ghép thêm c nh vào G là hoàn toàn

th c hi n đ c và không nh h ng gì đ n đi u ki n c a gi thi t

Do H ≠ Kn nên t n t i a, b ∈ V sao cho ab ∉ H nh ng H + ab có chu trình Hamilton

C B n thân H không có chu trình Hamilton mà H + ab có chu trình Hamilton ⇒ ab ∈ C Gi

s ta li t kê các đ nh c a H trong chu trình C nh sau:

a(=v1) → b(=v2) → v3 → v4 → → vn-1 → vn; 3 ≤ i ≤ n

Khi đó, n u c nh bvi ∈ H, ta có th k t lu n avi-1 ∉ H vì n u c hai bvi và avi-1 cùng

n m trong H, ta có chu trình:

Trang 21

b → vi → vi+1 → → vn-1 → vn → a → vi-1 → vi-2 → → v3

Chu trình này n m trong H, đi u này mâu thu n vì H không có chu trình Hamilton Vì

v y, ∀vi (3 ≤ i ≤ n) ch có m t trong 2 c nh: bvi ho c avi-1 n m trong H

Do đó: degH(a) + degH(b) < n

V i degH(a): b c c a a trong H

Ta có ∀ v ∈ V: degH(v) ≥ degG(v) = deg(v) (vì G là đ th con c a H)

⇒ v i c p đ nh không li n k trong G: a, b ta có: deg(a) + deg(b) < n

i u này mâu thu n v i gi thi t: deg(v) + deg(w) ≥ n; ∀ v, w không li n k

1.3 nh lý Pósa v chu trình Hamilton

Gi s G không có chu trình Hamilton, ta có th gi s r ng n u thêm m t c nh b t k

n i 2 đ nh không k nhau c a G thì đ th thu đ c s có m t chu trình Hamilton th G

nh v y đ c g i là có tính ch t c c đ i

N u G không th a tính ch t c c đ i, ta có thêm vào G các c nh m i b ng cách n i các

c p đ nh không k nhau, lúc đó ta s thu đ c m t đ th không có chu trình Hamilton có tính

ch t c c đ i nh đã mô t trên và v n không nh h ng gì đ n gi thuy t c a bài toán ban

đ u

Do tính ch t c c đ i c a đ th nên gi a hai đ nh tu ý không k nhau c a đ th luôn

t n t i m t đ ng Hamilton n i hai đ nh này Có th đó là đ ng Hamilton thu đ c t chu trình Hamilton xu t hi n khi thêm vào m t c nh n i hai đ nh không k nhau này

Ký hi u ( là m t đ ng Hamilton (không khép kín) trong G Cho

Ta có n u vk đ c n i v i v

)

n v v

v1, 2,L,1

d n ≥ Gi s (v1,v2,L,v n) là m t đ ng Hamilton n i v1 v i vn Ký hi u các đ nh lân c n c a v1 là v i

S

i i

≤ n , n u không G có chu trình Hamilton theo

đ nh lý Dirac Ký hi u là b c cao nh t trong các đ nh c a G có b c nh h n ∆

−

≥

−

n u

d i ph n trên ta đã ch ng minh đ c khi đó ph i k v i

un Ta đ c chu trình Hamilton:

1 0−

i u

(u1u2Lu i0−1u n u n−1Lu i0) là đi u vô lý Mâu thu n này đã

Ü Qui t c 2: N u đ nh v có b c là 2 (d( )v =2) 2 c nh t i v đ u ph i thu c chu trình Hamil

thì cton

g ch a b

c 4: Trong quá trình xây d ng chu trình Hamilton, sau khi đã l y 2 c nh t i

xóa m

có deg(a) = 3, cho nên ta ch gi

Ü Qui t c 3: Chu trình Hamilton khôn t k chu trình con th c s nào

không có chu trình Hamilton vì: deg(f) = 1

m t chu trình con th t s trong

H V y đ th không có chu trình Hamilton

+ x v1Lv k (1) + v1Lv i x v i+1Lv k

+ v1Lv k x (3)

Ta s ch ng m uα1 không có d ng (1) và (2) thì ph i có d ng (3)

Th t v y:

G x

⇒ 1 + N u α1 không có d ng (1)

+ N u α1 không có d ng (2) ⇒xv i∉G v i i= k ⇒v i x∈G; i= k

k i

⇒v1x∈ = ngh a là α1 có d ng (3)

1 M đ u

mô hình b ng đ th có tr ng s ó là đ th mà uyên ho c th c) g i là tr ng s ng v i c nh đó Ví

ta c t h th ng đ ng hàng không M i thành ph đ c bi u di n b ng m t

đ nh, m i chuy n bay là m t c nh n i 2 đ nh t ng ng N u trong bài toán đang xét ta c n

Trong th c t , nhi u bài toán có th

m i c nh c a nó đ c gán m t con s (ng

d n mô hình m

tính đ n kho ng câch gi a câc thănh ph thì ta c n gân cho m i c nh c a đ th c s trín kho ng câch gi a câc thănh ph t ng ng N u ta quan tđm đ n th i gian c a m i chuy n bay thì ta s gân câc th i l ng năy cho m i c nh c a đ th c s

th bi u di n kho ng câch gi a m t s thănh ph c a n c M

BostonKhoảng cách (dặm)

1855 908834

722760

595

1090New York

Miami

AtlantaLos Angeles

2 Thu t toân tìm đ ng đi ng n nh t

2.1 Thu t toân Dijkstra tìm đ ng đi ng n nh t

Có m t s thu t toân tìm đ ng đi n

đđy ta s s d ng thu t toân Dijkstra, do

3Tính đ dăi c a đ ng đi ng n nh t gi a 2 đ nh a vă z

trong đ th có tr ng s sau:

1 3

4 2

h t t a đ n z b ng câch th

ât tri n m t s ý t ng giúp ta hi u thu t toân Dijkstra d dăng

h n Ta s tìm đ dăi c a đ ng đi ng n nh t t a đ n câc đ nh k ti p cho đ n khi đ t t i

đ nh z Xu t phât t đ nh a, ta th y ch có 2 đ nh b vă d liín thu c v i a Nín ch có hai đ ng

Bđy gi , ta tìm đ nh ti p theo g n a nh t trong t t c câc đ ng đi qua a vă d ng

đi ng n nh t t a t i b lă ab v i đ dăi 3 ng đi ng n nh t t a đ n e lă a, b, e v i đ dăi 5

ng đi ng n nh t t a đ n c lă a, b, c v i đ dăi 6 Khi đó ta có 2 đ ng đi t a đ n z qua c

vă e lă

i đ dăi 6

Ví d trín đê minh h a nh ng nguyín t c chung dùng trong thu t toân Dijkstra

ng đi ng n nh t t đ nh a đ n z có th tìm đ c b ng câch th tr c ti p Nh ng ph ng phâp năy không âp d ng đ c đ i v i đ th có nhi u c nh

Bđy gi , ta nghiín c u băi toân tìm đ dăi c a đ ng đi ng n nh t gi a a vă z trong

đ n đ th liín thông, vô h ng vă có tr ng s

Trang 27

n khi tìm đ c đ dài ng n nh t t a đ n z

n trong m

các đ nh thu c t p đ c bi t M t đ nh đ c thêm vào t p này là đ nh có nhãn n

hác b ng ∞ Ta ký hi u:

n Chúng ta b t

g cách thêm vào đ nh u ∉ Sk−1 mà có nhãn n

, vn = z và tr ng s w(vi,vj) v i w(vivj) = ∞ n u vivj

{Ban đ đ c kh i t o sao cho nhãn c a a b ng không, các đ nh khác b ng

∞; S = φ

thu c S có L(u) nh nh t = S ∪ {u}

Thu t toán Dijkstra đ c th c hi n b ng cách tìm đ dài c a đ ng đi ng n nh t t a

đ n đ nh đ u tiên, t a đ n đ nh th hai, cho đ

Thu t toán này d a trên m t dãy các b c l p M t t p đ c bi t các đ nh đ c xây

ch ch a các đ nh thu c Sk (t c là các đ nh đã thu c t p đ c bi t cùng v i đ nh u)

Gi s v là m t đ nh không thu c Sk s a nhãn c a v, ta ch n Lk(v) là đ dài c a

đ ng đi ng n nh t t a đ n v và ch ch a các đ nh thu c Sk ý r ng đ ng đi ng n nh

Thu t toán Dijkstra có th đ c trình bày d i d ng gi i mã (pseudo - code) nh sau:

THU T TOÁN DIJKS

Procedure Dijkstra (G: đ n đ th liên thông có tr ng s d ng);

{G có các đ nh a = vo; v , v , 1 2

không là m t c nh c a G}

for i = 1 to n

L(vi): = ∞ L(a): = 0 S: = φ

u các nhãn }

) < L(v) then

nh nh t, và s a đ i nhãn c a các đ nh không end

Ví d 17: Dùng thu t toán Dijkstra, tìm đ ng đi

ng n nh t t

if L(u) + w(uvL(v): = L(u) + w(uv) {thêm vào S đ nh có nhãn thu c S}

5 6

5 6

+ Trong các đ nh không thu c S = {a} và k v i a có 2 đ nh b và c Ta có:

L(b) = min {∞, L(a) + w(ab)} = min {∞, 0 + 4} = 4

6 5

2(a)+ Trong các đ nh không thu c S mà k v i c có 3 đ nh là b, d, e

4

2 6 5

e 12(a,c)

d 8(a,c,b)

+ Trong các đ nh k v i d mà không thu c S, có: e,z

3 2

IV Thu t toán Hedetniemi

M t trong nh ng thu t toán tìm đ ng đi ng n nh t ngoài thu t toán Dijkstra nh đã

Tr c khi gi i thi u thu

c

b

e

da

2105

50

3

250

2

320

1 Phép c ng ma tr n Hedetniemi

40152

Cho A = (aij)m x n và B = (bij)n x p Khi đó t ng ma tr n Hedetniemi là ma tr n C = (Cij)m x p v i Cij = min{ai1 + b1j, ai2 + b2j, , ain + bnj} Ký hi u: C = A B

302

210

405

430

210

430

= ⎜⎜

⎛

302

210

401

10

401

10

401

510

, A3, cho đ n AK sao cho: AK ≠ AK−1 và AK = AK+1

Ta có đ nh lý sau: đ i v i đ n đ th liên thông có tr ng s g m n đ nh, n u ma tr n detn mi AK ≠ AK và AK = AK+1 thì A bi u di n t p h p các đ dài đ ng đi ng n nh t

gi a hai đ nh c a G khi đó ph n t aij c a AK là đ dài đ ng đi ng n nh t gi a hai đ nh vi

ba

5 2

2

320

50

3

40152

2105

210637

956053

623502

47320

301524

210635

856053

523502

845320

16 a

) 2 ( 15 ) 3 (

v i nhau Có l n b t hòa v i nhau, h tìm cách làm các đ ng khác đ n gi ng sao cho các

đ ng này đôi m t không giao nhau H có th c hi n đ c ý đ nh đó không?

Ta xây d ng đ th G = (V, E) mô t đ y đ các thông tin c a bài toán:

+ nh: L y các đi m trên m t ph ng hay trong không gian t ng ng v i các gia

đình và các gi ng n c i t ng c a bài toán đây đ c chia làm hai lo i là gia đình và

đ n gi ng n c Ta có đ th G nh sau:

i v j

Khi ta k t lu n K3,3 là đ th không ph ng, ta c ng đã gi i quy t đ c bài toán "ba

nhà ba gi ng" Không có đ ng đi nào n i m i nhà v i 3 gi ng mà không c t nhau Hay nói cách khác, ba nhà ba gi ng nói trên không th n i v i nhau trên m t m t ph ng mà không c t nhau

3 Công th c Euler

Ta th y khi bi u di n ph ng m t đ th , ta chia m t ph ng thành các mi n, k c mi n

vô h n Euler đã ch ng minh r ng t t c các bi u di n ph ng c a m t đ th đ u chia m t

ph ng thành cùng m t s mi n nh nhau Euler c ng đã tìm ra m i liên h gi a s mi n; s

đ nh và s c nh c a m t đ th ph ng

3.1 nh lý 1 (Công th c Euler v đ th ph ng - liên thông)

Cho G là m t đ n đ th ph ng liên thông v i e c nh, v đ nh G i r là s mi n

(regions) trong bi u di n ph ng c a G Khi đó:

r = e − v + 2 hay v − e + r = 2

Ch ng minh: Gi s ta đã có bi u di n ph ng c a G Ta s ch ng minh b ng cách xây d ng m t dãy các đ th con c a G: G1, G2, , Ge = G b ng cách ghép thêm m t c nh vào đ th b c tr c i u này là làm đ c vì ta có th l y b t k m t c nh c a G đ đ c

G1 Sau đó, ta nh n đ c Gn+1 t Gn b ng cách thêm vào Gn m t c nh có m t đ nh liên thu c

v i Gn và m t đ nh khác liên thu c v i c nh m i đó i u này luôn làm đ c do G là liên thông Ta s nh n đ c đ th G sau e b c (vì G có e c nh)

- Gi s đã có rn = en − vn + 2 G i an+1bn+1 là c nh ghép thêm vào Gn đ có Gn+1 Khi đó có hai tr ng h p có th x y ra:

+ N u c hai đ nh an+1 và bn+1đ u thu c Gn:

an+1

Do Gn+1 là đ th ph ng nên an+1bn+1 không th c t b t c c nh nào c a Gn+1 ⇒ an+1

và bn+1 ph i n m trên biên c a mi n chung R ⇒ c nh an+1bn+1 chia R ra làm hai mi n con Khi đó: rn+1 = rn + 1; en+1 = en + 1

=+

v

Thay (1) vào (2), ta đ c:

636

3322

−

≥

⇒+

−

e

v

Thay (1) vào (2), ta đ c:

424

222

−

≥

⇒+

−

e

Ví d 6: Ch ng minh r ng K3,3 là không ph ng

Gi i: Ta có K3,3 không có chu trình đ dài 3 H n n a, K3,3 có 6 đ nh và 9 c nh ⇒ e =

9 và 2v − 4 = 8 i u này không th a h qu 2 ⇒ K3,3 không ph ng

3r≤ e

Gi s G là m t đ th ph ng, liên thông có e c nh, v đ nh mà đ u có

i u này có ngh a là m i đ nh c a G s là đ u mút c a ít nh t 6 c nh và m i c nh liên thu c v i 2 đ nh T đó, ta có:

V

w∈

∀( )w ≥6

Cho G là m t đ n đ th ph ng v i e c nh, v đ nh và có thành ph n liên thông

G i r là s mi n (regions) trong bi u di n ph ng c a G Khi đó: k≥1

v − e + r = k + 1

ây chính là công th c Euler cho m t đ th ph ng b t k

(Sinh viên t ch ng minh - xem nh bài t p)

4 nh lý Kuratowski

nh lý Kuratowski cho ta đi u ki n c n và đ đ m t đ th là ph ng nh lý này liên quan đ n phép phân chia s c p c a đ th

Nh c l i phép phân chia s c p c a đ th : Cho G là m t đ th , n u b đi c nh ab c a

G và thêm vào đ nh m i c cùng v i 2 c nh ac và cb Phép toán đó g i là phép phân chia s

c p Hai đ th nh n đ c t cùng m t đ th b ng m t dãy các phép phân chia s c p đ c

N u ta xóa đ nh a c a G, đ ng th i xóa đi c nh ab, ac, ad thì ta đ c m t đ th con

c d e f g h

N u ta b đi các c nh bc, cd, fg, gh ta đ c đ th con c a G:

a b

c d

g

h

a b

c

d e f g h

th này đ ng phôi v i K3,3 ⇒ G không ph ng