CHIỂU và độ RỘNG của MÔĐUNOOMPẲC TUYỂN TÍNH ròi rạc và đối ĐỊAPHƯONGHÓA

Lefschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compăc tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều.. Từ đó đến nay, lóp môđun compăc tuyến tính đã đuợc nhiều nhà toán học tr

BỌ GIÁO DỤC VÀĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐAI HOCVESH

CAO HUY BẲNG

CHIỂU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUNOOMPẲC

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

BỌ GIÁO DỤC VÀĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐAI HOCVESH

CHIÈƯVÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN OOMPÁC

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

1.2 Vành địa phưong đầy đủ theo tôpô m-adic g

1.3 Phồ, giá, độ cao, chiều Krull 9

1.4 Iđêan nguyên tố hên kết 10

MỞ ĐÀU

Năm 1942, s Lefschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compăc tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky đã 1TD' rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compăc tuyến tính Từ đó đến nay, lóp môđun compăc tuyến tính đã đuợc nhiều nhà toán học trên thế giói quan tâm nghiên cứu và nó trở thành một trong những huóng nghiên cứu quan trọng không những của đại số, tôpô mà còn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Chú ý rằng, lóp môđun compăc tuyến tính rất rộng, chứa nhiều lóp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí một lóp môđun con của môdun compăc tuyến tính đó là mô đun coinpăc tuyến tính ròi rạc cũng chứa thực sự các ìnôđiin Artm; hon thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành <Ịa phương đày đủ.

Luận văn đưọc hoàn thảnh vào tháng 07 năm 2013 tại trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi

Nghệ An, tháng 07 nam 2013

Chuông 1

KI ÉN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn luôn kí hiệu R là vành Noether giao hoán, M

là một R -môđun và A là rrpt R -môđun Artin Cho An à một môđun con của

Mvà / là một iđêan của 7?, ký hiệu N: M I= I xe M : xỉ c ivj là một môđun

con của M Trong chưong này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại

của R Ta có s } ỉ = S'R <=> /n s ^ 0 Do đó V 7/ là iđêan thực sự của S' R

khi và chỉ khi ĩr\S =0 Chú ý rằng vành S ! R còn được ký hiệu là Rs

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó s = R \ p là một tập

nhân đóng cua vành R Vành S r / R trong trường họp này là vành địa phưong,

ký hiệu là R 9, với iđêan cực đại đuy nhất p/?p = s_1p = |<2 / s|ú! e p,Ẩ e i? \ pỊ

nên được gọi là đaphưong hoá cua xờnh R tại iđêan nguyên tố p.

1.1.2 Môđun dịa phuong hóa Cho Sìầ tập nhân đóng của vành R Khi đó ta

1.2 Vành đia phuơng đầy đủ theo tôpô tĩl — adic

Cho là một vành địa phưong Ta xét R như một vành tôpô \Ớ1 c O'

sở lân cận của phần tử 0 là các i đêan m', vói t = 0,1,2 Chú ý ràng Cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý re R gồm các lớp ghép r + m/ \ói t = 0, 1,2

Khi đó vành dầy đủ theo tôpô m - adỉc của R ký hiệu bởi R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Mạt dãy Cauchy

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

các vành

R -> R

r f—> (V),

p 6 Spec/7 Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p

được gọi là độ cao cua p, kí hiệu là ht(p) Nghĩa là,

ht(p) = sup {đọ cao xích nguyên tố vói P 0= p }.

Cho / là một iđêan của R khi đó ta <Ịnh nghĩa

ht(7) = inf{ht(p) I p e Spec/?,p 3 ĩ}.

1.5 Idêan nguyên tố gắn kết, môđun biểu diễn duụv

1.5.1 Định nghĩa, (i) M>t R -môđun M đuợc gọi là thà-cấp nếu M * 0 và

nếu vói mọi X e R 7 phép nhân bởi X trên M là toàn cấu hoặc lũy linh Trong

truòng họp này Rad (Ann^M 1 là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta

gọi M \ầp-thứcap.

(iv) A có môdiM thưong Q sao cho p là phần tử tối thiêu trong tập các idêan nguyên to chửa Ann^Q.

(v) A có môđun thuong Q sao cho AnnfíQ = p.

1.5.3 Mênh dề (ỉ) Cho Mlà một R -môdun biếu diên duọc Khi đủ 0

khi và chi khi Att M * ộ Trong timòng họp này tập các iđêan nguyên tố tối

thiểu cua R chửa Ann ỊM j chỉnh là tập các phần tử tối thiểu cua Att RM.

(ii) Cho 0 ->1V/ -> M -> Ah' -> 0 là dậy khớp các R -môãun biêu

diên duọc Khi dó ta có

Att D M" C Att„M c Att D M' Att ĐM".

1.5.4 Mênh dề Ký hiệu là hàm tử dối ngẫuhTatỉis Các

Vói A * 0, cho một số nguyên d > 0, ta đặt N- dim^ A = d nếu N- dim^ A < d là sai và vói mỗi dãy tăng A ũ c A l c các môđun con của

A, tồn tại số nguyên 77,(J sao cho N- dỉm R Ịd 1 / A Ị < d, với mọi n > nịr

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-mổđun khác không M\ầ Noether khi và chỉ khi N- dim M - 0 Ta dã biết rang đối với mỗi môđun hữu hạn

sinh M thì dim M = 0 nếu và chí nếu M * 0 và í R ÍM ) < 00 Từ Định

1.7.3 He quả NeuAẩ, N hữu

hạn sinh thì Tor^ ỈM, là hữu hạn sinh vói mọi n.

CHƯƠNG 2

CHIỀU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN GƠMPẮC

TUYẾN TÍNH RÒI RẠC VÀĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Nam 1942, s Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compác tuyến tính Từ đó đến nay, lóp môđun compắc tiyến tính đà đuọc nhiều nhà toán học tĩên thế giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lóp môđun compắc tuyến tính rất rộng, chứa nhiều lóp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí rrpt lóp inôđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính ròi rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hon thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành <Ịa phương đay đủ Khái niệm môđun đối địa phưong hoá được giói thiệu bởi L Melkersson và p Schenzel [8] Trong [9], Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu về chiều và độ rộng của hai lóp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính ròi rạc và đối địa

2.1 Môdun compắc tuyến tính ròi rac

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđim Conpắc tuyến tính theo

I G Macdonald [3] Mật /?-môđun Mđuoc gọi là môdun tôpô nếu M là một không gian tôpô và các phép toán trên môdun M là liên tục R- môdun tôpô

M đuọc gọi là Hausdorjf nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0.

2.1.1. Định nghĩa Cho R là vành tôpô giao hoán và M là R -ìnôđun tôpô Ta hiểu một cơ sơ lân cận của M là một co sở lân cận của phần tử Oe M.

2.13 Bổ đề Giả sửKílà cornpắc tuyến tính rời rạc Khi đó:

(ỉ) Ton tại môđưn con Noether B của Kí sao cho KíB là Artin.

(ỉỉ) Nếu f : Kí -» Mlà toàn cấu thà Ker f là Artin.

Năm 1995, trong hai bài báo khác nhau, s Yasseirri đã đinh nghĩa tập họp

các iđêan nguyên tố đối hên kết (Coass M) và độ lớn (mag M) cua môđun M.

2.1.4. Định nghĩa, (i) Mạt ảnh đồng cấu K của A/duợc gọi là dối xyclic nếu tồn tại phần tử xe M và ìđcan cực đại m của R sao cho

(iii) Giả sử A là một /?-môđun Artin Các mệnh đề sau đây là <±íng.

(a) N- diiTb4< 00.

(b) Cho J{Ẩ) là giao của tất cả các phần tử trong SuppT (lưu ý rằng J (A) — m nếu (R, m) là một vành địa phưong) Khi đó \Ó1 n

mag A7= VOB %(M/B) = dim MB < dim M

Chú ý rằng JWB là inôđnn Artin, ta có

N-dim M— N-dim AfB < dim AfB = mag M< dim M □

Khái niệm dãy đối chính quy và độ rộng cho môđun tùy ý đuọc nghiên cứu bởi A Ooishi [10] năm 1976 Các khái niệm này theo nghĩa nào đó tuông ứng đối ngẫu với các khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun hữu hạn

sinh trên vành Noether.

2.1.8 Bổ đề Cho a là iãêan cùaR Khi ãó WiđthnM< N-dimM Đặc biệt, nếu

Mlà compac tuyến tính rời rạc thì Width r M< 00

Chứng minh Giả sử Xị, ,x t là M- dãy đối chính quy trong C1 Chúng ta cần

chứng minh t<N-dảxĩ\M Trường họp t = 0 là hiểu nhiên Cho í > 0 Vì

XịM= M nên vói mọi n > 0 tồn tại dãy khóp

0 -> (0 : M xỊR) -> (0 : M *r 1 0 w * R) -> 0

Width„/f = infụ: Tor * 0}.

Ket quả sau đây trong [9] cho thấy các kết quả nói trên của Qoishi vẫn còn

đúng cho các môđun coinpắc tuyến tính ròi rạc.

2.1.10 Định lý Cho M là compac tuyến tính rời rạc và a là ỉãêan cuaR Khi

đó ta có

(ỉ) Độ dài cua mỗi M- dối dãy trong a là hữu hạn.

(ũ) Nếu (0:M a) ^ 0 thì hai M- doi dãy tối ãcá trong a có cùng độ dài

và

Width aM= inf{/7> 0:Tor,f (M;R/a) * 0}.

các môdun con dơn ciẢCiAd Khi dó dộ dài của hai Aẩ - dối dãy tối đại trong a

là hữu hạn xà bằng nhau xà

(ỉ) héu SocA/= 0 thì magM< 1 xà WĩdthyW = 0.

(ii) Trường hợp ngược lại ta có

WidthjM = inf{«> 0:Tơr,f (M;R/a) * 0}.

Chứngminh (i) ChoSocM= 0 Từ [11] ta suyra rragAT< 1 và (0: M xR) = 0

(ỉ) Cos Mlà tập họp của tất cả các iđêan nguyên tố chửa Ann M

(ii) Với môi p e Cos M, dối địa phương hóa p Mbiêu diên dược và

Att /(, (pM) = {qỉị : q c p,q € AìtMị.

(iiỉ) Giả sử 0 —^ M-> M—> M'—> 0 là một dãy khớp các môãtữĩ Artin Khi dó nếu s là một tập nhân dóng bất kỳ của R thì dây sau là khóp

Chú ý tằng đối địa phưong hoá của /?-môđun Artin Á tirong ứng với tập

đóng nhân s trong R thường không là /?s -môđun Artin Thậm chí nó có thể không là /? v-môđun có chiều Goldie hữu hạn ngay cả khi vành R là địa phưong

day đủ (một môđun được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđưn con) Tuy vậy, kết quả cua Ooishi [10] \è

Lại vì (0: 4 aR p ) * 0 nên _y 1, j F m + i cũng là A -dãy đối chính quy trong

aRp Điều này là rnân thuân vói tính tối đại của A -dãy đối chính quy yi .

ym Phần còn lại của định lý đuọc dễ dàng suy ra từ Bổ đề 2.1.9. □

Chú ý ràng đối vói mỗi R -inôđun hữu hạn sinh M, nếu p là iđêan nguyên tố của R chứa Ann^ M thi p 6 Supp^ M và do đó M ^ 0 Theo

Bổ đề Nakayama ta suy ra

tử Bố đề sau cho ta tính chất linh hóa tử của các iđêan nguyên tố gắn kết của

inôđun Artin.

Chú ý rằng tồn tại môdim Artm trên vành địa phưong không thoả inãn điều kiện (*) Tuy nhiên lóp các inôđun Artin thoả inãn đỉều kiện (*) là phổ biến Ngoài ra, đấi địa phưong hoá của nhũng inôđun Artin thoả mãn điều kiện (*) vẫn còn rất “xấu” theo nghĩa nó vẫn thuòng không là môđun Artin và thậm chí nó thuòng có vô hạn iđêan nguyên tố hên kết, do đó nó có c hiều Goldie vô hạn (xem Ví dụ 2.3.2).

Chúng minh Theo Định lý 2.2.3, chỉ cần chứng tỏ (0: 4 a/^) 5Ế 0 là đủ Vì A

thoả màn điều kiện (*) nên AnníT):^ a)c: AnnCO:^ p) = p Vì thế ta có

p 6 Cos(0: 4 a) Do đó p( ( 0 a ) ) * 0 Từ đây ta suy ra (0: A aĩỌ * 0. □

Chú ý Điều kiện (*) trong Hệ quả 2.2.5 là cần thiết (xem Ví dụ 2.3.3, (i)).

dim^ (0: A xR p ) - d- 1 Theo giả ửdết quy nạp, tồn tại x2 , ,x d e p sao cho

dim^(0: A (x,x ỉ, ,x d )R p) = 0 Nguợclại, giả sử

din\ (° V (x,x x , ,xt )R Ị) = 0 \ói

Vặt khác, dễ dàng kiểm tra rằng nếu VCI -M * Othì m*.M cùng là m, - thí’ cấp vói mọi số nguyên t Vì thế , từ dãy khóp

0-> mt ^Mi xnĩịMị -> m^Mị/xn^Mị -> 0

với chú ý ràng rrdM và m/ +, M là các môđun biểu diễn đuợc và có chiều

Goldie hữu hạn ta suy ra VX*.M /mJ+1 Mcó chiều Goldie hữu hạn VI thế

m\M ìvx t + x M là R/vtii - không gian véctơ có chiều hữu hạn Do đố từ dãy

(i) Width p (A) < Width(p Á).

(ii) Nẽu A là ìnôàưn đôi Cohen- Macaulay thì các tỉnh chắt sau đây là đúng.

(a) Width p (A) = dim(p Â).

(b) dim^ A) + dim/? / p = dimA.

W i d t h i n f {t> 0:Tor/'(A/;/?/m)^0}.

Chứng minh Cho /Vlà một môđun compăc tuyến tính ròi rạc trên vành <Ịa

phưong (R, m) sao cho SocJV = 0 và mag v= 1 Khi đó theo [11,1.4] tồn tại

một môđun con tối tiểu Mkhác không của TVsao cho A/không có rnôđun con

tối đại Vì /V lả rnôđun compắc tuyên tính rời rạc nên M cững là môđun coirpắc tuyến tính tòi rạc Mặt khác, theo [11, tr 126] ta có mag M= 1,

soc(M) = 0 và Coass M= Ass M Vì vậy m Ể Cos M Tồn tại X e m sao cho

Ví dụ sau đây cho thấy đỉều kiện (*) trong Hệ quả 2.2.5, Định lý 2.2.6

và Hệ quả 2.2.10 là quan trọng không thể bỏ đi được.

2.33 Ví dụ Ton tại môđun đối Cohcn-Macaulay A trên vành <Ịa phưong (Rm) không thỏa mãn điều kiện (*) và có các tính chất sau đây.

(i) Tồn tại iđêan nguyên tố p trong Cos A sao cho

chánh quy nên x p A = p A Do đó, áp đụng tính chất khớp của đối địa phưong hoá trên các inôđun Artin ta có x ( p A ) = p A Vì (0: A X Ỉ Ọ = 0 và x e p nên

Tor/^ ( / ị / ; „ A ) = xTo^/ p^; „ = 0

vói mọi t Vì vảy inf{í: Toi/’ ( í ^ / p/^;p vl) 0} = co.

KÉT LUẬN

•

Nội đung chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo [9] của Lê Thanh Nhàn Cụ thể là chúng tôi đã hoàn thành nhũng việc sau đây.

TÀI LIỆU THAM KHẢOTiếng Vìêt

[1] Nguýln Tự Cường (2003), Giảo trình Đại so hiện đại, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia Hà nội.

[2] Dưong Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết modiãe, Nhà xuất bản Đại

học sư phạm.

Tiếng Anh