bài giảng toán rời rạc

S nguyên vƠ phép chia ..... Nguyên lý cộng .... Nguyên lý nhân ...

M C L C

M C L C 1

CH NG 1: C S LOGIC 3

1.1 PHÉP TệNH M NH Đ 3

1.1.1 M nh đ 3

1.1.2 Các phép toán m nh đ 3

1.2 D NG M NH Đ 5

1.2.1 Bi u th c logic 5

1.2.2 S t ng đ ng logic 5

1.2.3 Bi u th c hằng đúng, hằng sai 5

1.2.4 Các lu t logic 6

1.3 QUI T C SUY DI N 7

1.3.1 Khái ni m 7

1.3.2 Bi u di n 7

1.3.3 Các qui t c suy di n c b n 7

1.3.4 Một s ví d 8

1.4 V T - L NG T 9

1.4.1 V t 9

1.4.2 L ng t 9

BƠi t p 10

CH NG 2: PH NG PHỄP Đ M 13

2.1 T P H P 13

2.1.1 Một s khái ni m 13

2.1.2 Cách xác đ nh một t p h p 13

2.1.3 Quan h bao hƠm 13

2.1.4 Các phép toán trên t p h p 13

2.2 S NGUYểN 14

2.2.1 S nguyên vƠ phép chia 14

2.2.2 c s chung l n nh t vƠ bội s chung nh nh t 16

2.2.3 S học mô đun 16

2.2.4 Các ng d ng của đ ng d 17

2.2.5 S nguyên vƠ thu t toán 18

2.3 ỄNH X 19

2.3.1 Đ nh nghƿa 19

2.3.2 nh vƠ nh ng c 19

2.3.3 Các ánh x đặc bi t 20

2.3.4 Ễnh x h p 20

2.3.5 Ễnh x đ ng nh t 20

2.4 PHÉP Đ M 20

2.4.1 L c l ng 20

2.4.2 Nguyên lý cộng 21

2.4.3 Nguyên lý nhân 23

2.5 GI I TệCH T H P 24

2.5.1 Ch nh h p 24

2.5.1.1 Ch nh h p không lặp 24

2.5.1.2 Ch nh h p lặp 24

2.5.2 T h p 25

2.5.2.1 T h p không lặp 25

2.5.2.2 T h p lặp 26

2.6 NGUYểN Lụ CHU NG B CÂU 27

2.7 C NG TH C TRUY H I 28

2.7.1 Khái ni m 28

2.7.2 Gi i công th c truy h i kh đ quy 29

BƠi t p 35

CH NG 3: QUAN H 41

3.1 QUAN H 2 NG I 41

3.1.1 Đ nh nghƿa 41

3.1.2 Một s ví d 41

3.1.3 Bi u di n quan h 41

3.1.4 Các tính ch t của quan h 42

3.2 QUAN H T NG Đ NG 42

3.2.1 Đ nh nghƿa 42

3.2.2 Một s ví d 42

3.2.3 L p t ng đ ng 42

3.3 QUAN H TH T 43

3.3.1 Đ nh nghƿa 43

3.3.2 Bi u đ Hasse 44

3.3.3 Dàn 44

BƠi t p 47

CH NG 4 : Đ I S BOOL 52

4.1 Đ NH NGHƾA 52

4.2 HÀM BOOL 53

4.2.1 Đ nh nghƿa 53

4.2.2 Bi u di n hƠm Bool 53

4.2.3 M ng các c ng logic 53

4.2.4 Ph ng pháp bi u đ Karnaugh 54

BƠi t p 57

Tài li u tham kh o 58

5 ắAnh lƠ ai?”

Các khẳng đ nh 1, 2, 3 lƠ các m nh đ 1 vƠ 2 có chơn tr 1, 3 có chơn tr 0

Khẳng đ nh 4, 5 không ph i lƠ m nh đ vì không có chơn tr xác đ nh

M nh đ s cấp: Một m nh đ đ c gọi lƠ s c p n u không th phơn tích thƠnh các

2 ắ2 lƠ một s chẵn vƠ lƠ s nguyên t ”

M nh đ 1 lƠ m nh đ s c p, m nh đ 2 lƠ m nh đ ph c h p hình thƠnh t 2

m nh đ s c p: ắ2 lƠ một s chẵn” vƠ ắ2 lƠ một s nguyên t ”

1.1.2 Các phép toán m nh đ

Các phép toán trên m nh đ đ c s d ng đ liên k t các m nh đ l i v i nhau t o thƠnh một bi u th c m nh đ Các phép toán g m: Phép phủ đ nh  , phép n i li n

(), phép n i r i ), phép kéo theo ( , phép kéo theo 2 chi u )

Th t u tiên của các phép toán: 

, 

,

1.1.2.5 Phép kéo theo 2 chi u

Cho p, q lƠ 2 m nh đ , phép kéo theo 2 chi u của p vƠ q ký hi u lƠ p  q

Một bi u th c logic đ c gọi lƠ một hằng đúng t ng ng hằng sai n u có chơn tr 1

t ng ng 0 trong mọi tr ng h p chơn tr của các bi n m nh đ

Ví d : A = p  q  p  q lƠ bi u th c hằng đúng có b ng chơn tr nh sau:

- Trong quá trình ch ng minh một bƠi toán ng i ta th ng d a vƠo các gi thuy t

ti n đ vƠ áp d ng các đ nh lý, đ nh nghƿa đ suy ra k t qu k t lu n Các qui

t c đ c áp d ng trong quá trình ch ng minh t ti n đ đi đ n k t lu n đ c gọi lƠ

các qui t c suy di n

- Một qui t c suy di n có th ki m tra bằng cách l p b ng chơn tr hoặc dùng các

lu t logic N u lƠ một hằng đúng thì suy lu n lƠ đúng

- V t lƠ một khẳng đ nh p x,y,z,… trong đó x,y,z,… lƠ các bi n l y giá tr t

nh ng t p h p cho tr c Khi thay các bi n nƠy bằng các giá tr c th thì ta đ c

Khi thay giá tr của bi n vƠo v t có 3 tr ng h p có th x y ra nh sau:

o Tr ng h p 1: mọi giá tr của bi n khi thay vƠo ta đ c một m nh đ đúng Ta vi t  x, p(x)

o Tr ng h p 2: Một s giá tr của bi n lƠm cho m nh đ đúng, một s giá

tr khác lƠm cho m nh đ sai Ta vi t  x, p(x)

o Tr ng h p 3: mọi giá tr của bi n lƠm cho m nh đ có chơn tr sai Ta

vi t  x,  p(x)

Một m nh đ đ c hình thƠnh t các l ng t vƠ v t đ c gọi lƠ m nh đ l ng t

hoá

Ví d : Xét các v t xác đ nh trên R nh sau:

c T ng 2 c nh trong tam giác > c nh th 3

d Tr i hôm nay đ p quá

e x 1 lƠ s nguyên d ng

2 Cho bi t chơn tr của các m nh đ sau:

a 3 lƠ một s l vƠ lƠ một s nguyên t

b N u 2=1 thì 3 lƠ một s l

c N u 1 3>0 thì 9 chia h t cho 2

d Mọi s nguyên d ng đ u lƠ 1 s chính ph ng

3 Gi s m nh đ pq có chơn tr sai, hƣy xác đ nh chơn tr các m nh đ sau:

a) p  q b) p  q c) q  p

4 Cho bi u th c m nh đ A = (p  [(q  r)  s])  [s  (r  p ] có chơn tr 1 .Hƣy xác đ nh t t c các chơn tr của các bi n m nh đ q, r, s n u p có chơn tr 1

5 L p b ng chơn tr cho các m nh đ sau:

b ắMọi s nguyên d ng chẵn đ u chia h t cho 3”

c ắN u s nguyên d ng lƠ s chẵn thì không chia h t cho 3”

d ắKhông có s nguyên chẵn nƠo chia h t cho 3”

- Đi u ki n: B = { x  N | x lƠ c s của 30 }

2.1.3 Quan h bao hƠm

2.2.1 S nguyên vƠ phép chia

Đ nh ngh a 1: N u a vƠ b lƠ 2 s nguyên v i a 0, ta nói b chia h t cho a n u có một

s nguyên c sao cho b=ac Khi b chia h t cho a, ta c ng nói a lƠ một th a s của b vƠ b

lƠ bội s của a

Ký hi u: a|b ch b chia h t cho a, a b đ ch b không chia h t cho a

Các s nguyên chia h t cho s nguyên d ng d

Ví d 1: Cho n vƠ d lƠ 2 s nguyên d ng, có bao nhiêu s nguyên d ng không l n

h n n vƠ chia h t cho d

Gi i: S nguyên d ng chia h t cho d lƠ s nguyên d ng có d ng dk, trong đó k c ng

lƠ một s nguyên d ng Do đó s các s nguyên d ng không l n h n n vƠ chia h t cho d lƠ k, v i 0<kd <=n hay 0<k<=n d vì v y có [n d] s nguyên nh v y

Đ nh l 1: (cm)Cho a, b, c lƠ các s nguyên, khi đó:

i, N u a|b vƠ a|c thì a| b c

0 -d

-2d

ii, N u a|b thì a|bc v i mọi s nguyên c

iii, N u a|b vƠ b|c thì a|c

Đ nh ngh a 2: S nguyên d ng p > 1 đ c gọi lƠ s nguyên t n u nó ch có các th a

s d ng lƠ 1 vƠ p Các s nguyên d ng > 1 vƠ không ph i lƠ s nguyên t đ c gọi

lƠ h p s

Đ nh l 2: Đ nh lý c b n của s học Mọi s nguyên d ng đ u có th vi t d i

d ng tích của các s nguyên t một cách duy nh t, trong đó các s nguyên t đ c x p theo th t t ng d n

Ví d 2: Các s 100, 641, 999, 1024 đ c phơn tích thƠnh tích các s nguyên t nh

Ví d 3: Ch ng minh rằng 101 lƠ s nguyên t

Gi i: Ch có 2,3,5 vƠ 7 lƠ các s nguyên t không v t quá 101

nên 101 lƠ s nguyên t

Ví d 4: Phơn tích s 7007 thƠnh tích các th a s nguyên t

Th c hi n chia 7007 cho các s nguyên t liên ti p b t đ u t 2, ta th y 7007 không chia h t cho các s nguyên t 2, 3, 5, tuy nhiên 7007 7=1001 Ti p theo chia 1001 cho các s nguyên t k ti p, b t đ u t 7, ta có 1001 7=143, ti p theo chia 143 cho các s nguyên t k ti p b t đ u t 7, ta có 143 không chia h t cho 7 nh ng chia h t cho 11,

143 11=13 Do 13 lƠ s nguyên t nên k t thúc đơy T đó ta có 7007=72

.11.13

Ví d 5: Vi t thu t toán phơn tích một s nguyên d ng n thƠnh tích các th a s

nguyên t nh ví d trên bƠi t p

Đ nh l 4: Thu t toán chia Cho a lƠ một s nguyên vƠ d lƠ một s nguyên d ng

Khi đó s t n t i các s nguyên duy nh t q vƠ r v i 0 r < d, sao cho a = dq + r

Trong đó a lƠ s b chia, d lƠ s chia, q lƠ th ng s , r lƠ s d

Ví d 6: xác đ nh th ng s vƠ s d khi chia 101 cho 11, -11 cho 3

Chia 101 cho 11

Ta có: 101=11.9 2

Do đó th ng s lƠ 9 vƠ s d lƠ 2

Chia -11 cho 3

Ta có -11 = 3.(-4) + 1

Do đó th ng s lƠ -4 vƠ s d lƠ 1

2.2.2 c s chung l n nhất vƠ bội s chung nh nhất

Đ nh ngh a 3: Cho a vƠ b lƠ 2 s nguyên khác không, s nguyên d l n nh t sao cho d|a

vƠ d|b đ c gọi lƠ c s chung l n nh t của a vƠ b vƠ ký hi u lƠ UCLN a,b

Đ nh ngh a 4: Các s nguyên a vƠ b lƠ các s nguyên t cùng nhau n u c s chung

l n nh t của chúng bằng 1

Đ nh ngh a 5: Các s nguyên a1, a2,…,an đ c gọi lƠ đôi một nguyên t cùng nhau

n u UCLN ai, aj =1 v i mọi 1 i,j n

Ví d : Xét các s nguyên 10, 17 vƠ 21 có đôi một nguyên t cùng nhau hay không

Vì UCLN 10,17 =1, UCLN 10,21 =1, UCLN 17,21 =1 nên 10, 17, 21 lƠ đôi một nguyên t cùng nhau

Ví d : Có th tìm c s chung l n nh t của 2 s nguyên a vƠ b bằng ph ng pháp

phơn tích các s nguyên ra th a s nguyên t nh sau:

a=pa1pa2…pan , b= pb1pb2…pbn

UCLN(a,b)=p1min(a1,b1) p2min(a2,b2)… pnmin(an,bn)

V i a=120, b=500

120=23.3.5 và 500=22.53 nên UCLN(120,500)=2min(3,2).3min(1,0).5min(1,3)=22.30.51=20

Đ nh ngh a 6: Bội s chung nh nh t của 2 s nguyên a vƠ b lƠ s nguyên d ng nh

nh t chia h t cho c a l n b vƠ ký hi u lƠ BCNN a,b

Ví d : Bội s chung nh nh t của 2 s nguyên a vƠ b đ c tính theo công th c sau:

a=pa1pa2…pan , b= pb1pb2…pbn

BCNN(a,b)=p1max(a1,b1) p2max(a2,b2)… pnmax(an,bn)

V i a=120, b=500 thì BCNN 120,500 = 2max(3,2).3max(1,0).5max(1,3)=23.31.53

Đ nh l 5: Cho a vƠ b lƠ 2 s nguyên d ng, khi đó a.b= UCLN a,b BCNN a,b

Ví d : Xét 2 s nguyên 20 và 12, UCLN(20,12)=4, BCNN(20,12)=60,

ta có: 20.12=60.4=240

2.2.3 S học mô đun

Đ nh ngh a 6: Cho a lƠ một s nguyên vƠ m lƠ một s nguyên d ng, ta ký hi u a mod

m lƠ s d khi chia a cho m

Đ nh ngh a 7: N u a vƠ b lƠ 2 s nguyên vƠ m lƠ một s nguyên d ng thì a đ c gọi

lƠ đ ng d v i b theo môđun m n u a-b chia h t cho m Ký hi u: a≡b mod m có nghƿa lƠ a mod m = b mod m

Ví d : Xác đ nh 17 có đ ng d v i 5 theo môđun 6?

vì 17-5=12 chia h t cho 6 nên 17≡5 mod 6

Đ nh l 6: (cm)Cho m lƠ một s nguyên d ng, các s nguyên a vƠ b đ ng d theo

môdun m n u vƠ ch n u t n t i một s nguyên k sao cho a=b km

Đ nh l 7: cm Cho m lƠ một s nguyên d ng, n u a≡b mod m vƠ c≡d mod m thì

a+c=b+d (mod m) và ac=bd(mod m)

Ví d : 15≡3 mod 6 , 7≡1 mod 6 , ta có 15 7≡3+1(mod 6)  22≡4 mod 6

vƠ 15.7≡3.1 mod 6 105≡3 mod 6

h 1020 =1020 mod 20=0 1020 đ c gán cho ô nh có đ a ch lƠ 0

h 2130 =2130 mod 20=10 2130 đ c gán cho ô nh có đ a ch lƠ 10

h 2541 =2541 mod 20=1 2541 đ c gán cho ô nh có đ a ch lƠ 1

h 2654 =2654 mod 20=14 2654 đ c gán cho ô nh có đ a ch lƠ 14

h 3120 =3120 mod 20=0 3120 đ c gán cho ô nh có đ a ch lƠ 2 vì ô nh 0 đƣ b chi m d ng

Khi giá tr c n gán cho một ô nh đƣ b chi m d ng thì giá tr đó s đ c gán cho ô

nh đ u tiên sau ô nh đƣ b chi m d ng

b Các s gi ng u nhiên

c M t mƣ

M t mƣ lƠ một lƿnh v c nghiên c u nh ng thông đi p bí m t, ng i đ u tiên nghiên

c u v m t mƣ lƠ Julius caesar Ph ng pháp Caesar th c hi n bằng cách d ch chuy n

các ch cái 3 v trí v phía d i trong b ng ch cái vƠ chuy n 3 ch cái cu i cùng trong b ng ch cái thƠnh 3 ch cái đ u tiên

Bi u di n mƣ hóa Caesar một cách toán học nh sau:

Ph ng pháp nƠy có th bi u di n bằng một hƠm f gán cho s nguyên không ơm p p<=25 sao cho f p = p 3 mod 26 Nh v y trong b c thông đi p ch cái đ c bi u

di n b i p s đ c thay bằng ch cái bi u di n b i p 3 mod 26

Ví d : Dùng m t mƣ của Caesar đ mƣ hóa nội dung b c thông đi p ắMEET YOU IN

THE PARK” thƠnh thông đi p bí m t

Tr c h t thay các ch cái trong thông đi p bằng các con s ta có

Đ ph c h i một thông đi p đƣ đ c mƣ hóa theo mƣ Caesar thƠnh thông đi p g c,

ng i ta dung hƠm đ o của f lƠ f-1 v i f-1(p)=(p-3 mod 26 Qúa trình xác đ nh thông

đi p đƣ mƣ hóa thƠnh thông đi p g c nh ban đ u gọi lƠ quá trình gi i mƣ

T ng quát hóa m t mƣ Caesar bằng cách d ch chuy n các ch cái k v trí

f p = p k mod 26 vƠ hƠm đ o đ gi i mƣ lƠ f-1(p)=(p-k) mod 26

hoặc có th dùng hƠm f p = ap k mod 26 đ nơng cao tính an toƠn

2.2.5 S nguyên và thu t toán

B đ : Cho a=bq r v i a, b, q, r lƠ các s nguyên Khi đó UCLN a, b = UCLN b, r

Thu t toán Euclid:

Procedure UCLN(a, b: các số nguyên)

r:=x mod y

x:=y

y:=r

end

Thu t toán khai tri n c s b ak-1…a1a0)bcủa một s nguyên n

Procedure khai triển cơ số b(n: các số nguyên dương) q:=n

Một ánh x f t t p h p X vƠo t p h p Y lƠ một phép t ng ng v i mỗi ph n t x 

X liên k t v i duy nh t một ph n t y  Y mƠ ta ký hi u lƠ f x hay gọi lƠ nh của x

o N u f song ánh thì |A| = |B|

2.4.2 Nguyên l cộng

- Cho A vƠ B lƠ 2 t p h p h u h n r i nhau A  B = , ta có |A  B| = |A| + |B|

T ng quát n u A1, A2,…, AnlƠ các t p h u h n r i nhau thì:

|A1 A2 … An| = |A1| + |A2| … |An|

- N u A vƠ B h u h n nh ng tuỳ ý thì |A  B| = |A| + |B| - |A  B|

- Phát bi u nguyên lý cộng: N u một công vi c có th th c hi n bằng một trong 2

2 Sinh viên c n chọn 1 đ tƠi t 3 danh sách các đ tƠi khác nhau, ds 1 có 15 đ

tài, ds 2 có 20 đ tƠi, ds 3 có 30 đ tƠi H i có bao nhiêu cách chon 1 đ tƠi t 3 danh sách các đ tƠi

Gi i: Gọi A lƠ t p h p các đ tƠi t ds 1

Gọi B lƠ t p h p các đ tƠi t ds 2

Gọi C lƠ t p h p các đ tƠi t ds 3

ta có A  B  C = , nên |A  B  C| = |A| + |B| + |C| = 15 + 20 + 30 =65

3 Một đoƠn v n động viên g m 2 môn b n súng vƠ b i Nam có 10 ng i, s v n động viên b n súng lƠ 14, s n thi b i bằng s nam b n súng H i đoƠn có bao nhiêu ng i

Gi i: Gọi X lƠ t p h p g m t t c các v n động viên trong đoƠn

X

Xi={ x  X | x chia h t cho i}; i=3,4,7

Y={ x  X | x không chia h t cho b t c s nƠo trong 3 s 3,4,7}

- Cho A vƠ B lƠ 2 t p h p h u h n r i nhau A  B = , ta có |A  B| = |A|*|B|

T ng quát n u A1, A2,…, AnlƠ các t p h u h n r i nhau thì:

|A1 A2 … An| = |A1|  |A2|  … |An|

- Phát bi u nguyên lý nhơn: N u một công vi c có th th c hi n theo 2 giai đo n

liên ti p độc l p v i nhau sao cho có m cách khác nhau đ th c hi n giai đo n 1, trong mỗi cách l a chọn giai đo n 1 l i có n cách khác nhau đ th c hi n giai đo n

2 khi y có m*n cách khác nhau đ th c hi n toƠn bộ công vi c

- Ví d :

1 Có bao nhiêu chuỗi bit khách nhau có độ dƠi 8 ký t

Gi i: Mỗi bit trong chuỗi có th chọn một trong 2 giá tr lƠ 0 hoặc 1, v y s chuỗi bit khác nhau có độ dƠi 8 ký t lƠ: 28

3 Có bao nhiêu cách đặt tên bi n có độ dƠi 10 ký t , các ký t ch lƠ các ch cái

A, B vƠ b t đ u bằng AAA hoặc ABA

Gi i: Gọi X lƠ t p các bi n c n tìm, X đ c chia thƠnh 2 t p:

X1: t p các bi n b t đ u bằng AAA vƠ X2: t p các bi n b t đ u b i ABA

Mỗi ph n t thuộc X1 có d ng: AAAx4x5…x10 trong đó mỗi xi có 2 cách chọn

lƠ A hoặc B nên |X1|=27=128

T ng t |X2|=27=128

|X| = |X1| + |X2| = 128 + 128 = 256

Gi i: Mỗi hƠm có th bi u di n b i một bộ k ph n t l y t n ph n t của t p B vƠ

do f đ n ánh nên các bi không th trùng  s hƠm đ n ánh = s ch nh h p không lặp chặp k của n ph n t = !

! 5

Gi i: Mỗi hƠm có th bi u di n b i một bộ k ph n t l y t n ph n t của t p B vƠ

do bicó th trùng nên s hƠm = s ch nh h p lặp chặp k của n ph n t = nk

3 Cho t p X = {x1, x2, …, xn} có n ph n t Tính s t p con của t p X

Gi i: Một t p con A của t p X có th bi u di n bằng một dƣy nh phơn n ph n t V trí th i = 1 nghƿa lƠ A có ph n t xi, vt(i)= 0 là không có xi ví d : A={x3, x1} bi u

di n lƠ 1,0,1,0,…0 Do s dƣy nh phơn chi u dƠi n lƠ 2n s t p con lƠ 2n

2.5.2 T h p

2.5.2.1 T h p không lặp

Một t h p không lặp chặp k của t p h p có n ph n t lƠ một bộ không có th t g m

k ph n t l y t n ph n t đƣ cho k<=n , trong đó các ph n t không đ c lặp l i Một t h p không lặp chặp k của t p h p X có n ph n t chính lƠ một t p con k của X

1 (

m

m n n

! 20

 = 1150 cách

3 Có n đội bóng thi đ u vòng tròn H i ph i t ch c bao nhiêu tr n?

Gi i : 1 tr n g m hai đội không k th t , l y t n đội Do đó s tr n chính lƠ s t

4 S giao đi m t i đa của các đ ng chéo của một đa giác l i n đ nh n4)

Gi i : C 4 đ nh l y t n đ nh của đa giác l i không k th t s t o ra hai đ ng chéo giao nhau t i một đi m trong đa giác Do đó s giao đi m chính lƠ s t h p

Gi i: Có 3 v t chia vƠo 2 hộp thì có các cách chia sau: 111,222,112, 221

v y mỗi cách chia lƠ một t h p lặp chặp 3 của t p hai ph n t {1,2}

=> s cách chia =

C

1 3

2   =

C

3 Tìm s nghi m nguyên không ơm của ph ng trình sau: x1 +x2 … xn = k k lƠ s

nguyên không âm)

Gọi k lƠ s v t, n lƠ s hộp, xilƠ s v t c t vƠo hộp i BƠi toán tr thƠnh bƠi toán chia

k v t đ ng ch t vƠo n hộp phơn bi t vƠ mỗi nghi m lƠ một cách chia => s nghi m=s

cách chia =

C

Phát bi u: N u chu ng b cơu có s c a ít h n s b cơu thì có ít nh t 2 b cơu

chung trong một c a

Ví d :

1 Ch ng minh rằng trong một nhóm 366 ng i có ít nh t 2 ng i có cùng ngƠy tháng

sinh

Gi i: Ễp d ng nguyên lý chu ng b cơu, chọn s b cơu lƠ 366, s c a chu ng lƠ

các ngày tháng sinh khác nhau 365 , v y theo nguyên lý thì có ít nh t 2 ng i có

cùng ngày tháng sinh

2 Cho t p B = { 1,2,3,…,9}, Ch ng minh rằng mọi t p A có ít nh t 6 ph n t của B s

có 2 trong s các ph n t có t ng bằng 10

Gi i: Các t p h p ch a các ph n t có t ng bằng 10 là: {1,9},{2.8},{3,7},{4,6}, {5,5} đ c chọn lƠm s c a s b cơu lƠ s ph n t của t p h p A ≥ 6 Theo nguyên lý chu ng b cơu thì có ít nh t 2 b cơu chung trong một c a nghƿa lƠ có ít

nh t 2 ph n t của t p h p A có t ng bằng 10

3 C n tung một con súc s c bao nhiêu l n đ có một mặt xu t hi n ít nh t 2 l n

Gi i: Vì súc s c có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên chọn lƠm s c a chu ng b cơu, s b cơu lƠ s l n tung súc s c Theo nguyên lý chu ng b cơu thì ph i tung súc s c ít

nh t 7 l n thì s có một mặt xu t hi n ít nh t 2 l n

4 Ch ng minh rằng trong 14 ph n t khác nhau tùy ý của X= {1, 2, …, 25} s có ít

nh t 2 ph n t có t ng lƠ 26

N u chọn các s t 1 đ n 69 lƠ s c a của chu ng b cơu vƠ s t p con khác  của

A lƠ s b cơu thì s b cơu lƠ:

C

6 +

C

C

C

C

C

Do s b cơu ít h n s c a nên không th áp d ng nguyên lý chu ng b cơu Tuy nhiên n u ch xét t p h p B ch có t i đa 5 ph n t thì s c a chu ng b cơu bơy gi lƠ: 1 SB 10 … 14 =60 vƠ s b cơu lƠ:

C

6 +

C

C

C

C

2 =62 nên theo nguyên lý chu ng b cơu thì có ít nh t 2 t p h p có t ng bằng nhau

2.7.1 Khái ni m

Trong nhi u tr ng h p, vi c tìm công th c f n tính tr c ti p s c u hình theo tham

s n lƠ khó hoặc không th đ c Khi đó ta có th tìm công th c tính f n theo các giá

tr của hƠm f tr c đó f n-1), f(n-2 ,…Công th c nƠy gọi lƠ công th c truy h i hay công th c đ qui Khi xơy d ng công th c truy h i c n ph i bi t một s giá tr ban đ u của hƠm f bi t f 0 ,f 1 …

Trong một s tr ng h p t công th c truy h i ta có th suy ra công th c tr c ti p Công th c truy h i r t thích h p đ cƠi đặt bằng ph ng pháp đ qui trên máy tính

Vì v y đ gi m chi phí tính toán th i gian vƠ s l ng phép tính ng i ta đ a ra một

d ng công th c gọi lƠ công th c tr c ti p Công th c d ng nƠy đ c suy ra t công

th c truy h i t ng ng, vi c áp d ng công th c tr c ti p đ tính giá tr ai s cho k t

qu nhanh chóng v i s l ng phép tính vƠ th i gian th c hi n bằng nhau v i b t kỳ giá tr nƠo của i

V i ví d trên ta có công th c tr c ti p lƠ an=2*3n

2.7.2 Gi i công th c truy h i kh đ quy

Gi i công th c truy h i lƠ chuy n công th c truy h i v công th c tr c ti p Ch một vƠi d ng công th c truy h i đặc bi t m i có th chuy n sang tr c ti p

anđ c tính d a vƠo k s h ng liên ti p ngay tr c an …, a n-k , …, a n-1, an, …

2 gọi lƠ ph ng trình đặc tr ng của 1

G s ptđt 4 : r2 - c1r- c2= 0 có hai nghi m phơn bi t r1, r2 Ta có: