1 CHUYÊN đề TỔNG HIỆU của véc tơ

Hãy tính số các véc-tơ khác 0 mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau đây: a Hai điểm.. a Xác định các véc-tơ khác véc-tơ - không, c

CHUYÊN ĐỀ TỔNG HIỆU CỦA VÉC TƠ – CƠ BẢN + NÂNG CAO

I Lý thuyết

1 Định nghĩa

a) Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu véc-tơ có điểm đầu A , điểm cuối B là AB b) Giá của véc-tơ là đường thẳng chứa véc-tơ đó

c) Độ dài của véc-tơ a là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của a, kí hiệu a

d) Véc-tơ – không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0

e) Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau f) Hai véc-tơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

g) Hai véc-tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Chú ý:

+ Ta còn sử dụng kí hiệu a, b để biểu diễn véc-tơ

+ Quy ước: véc-tơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ

+ Mọi véc-tơ 0 đều bằng nhau

2 Tổng của hai véc-tơ

a) Quy tắc ba điểm: với ba điểm A , B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC   

b) Quy tắc hình bình hành: với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC   

c) Tính chất: a b b a     

;  a b c a b c          

; a   0 a

3 Hiệu của hai véc-tơ

a) Véc-tơ đối của là b sao cho a b  0

Ký hiệu véc tơ đối của a là a

b) Véc-tơ đối của 0 là

c) a b a      b

d) Quy tắc ba điểm: với ba điểm O, A , B tuỳ ý, ta có: OB OA AB   

II Bài tập luyện tập

Câu 1. Hãy tính số các véc-tơ (khác 0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm

phân biệt đã cho trong các trường hợp sau đây:

a) Hai điểm b) Ba điểm c) Bốn điểm

Câu 2. Véc-tơ đối của véc-tơ 0 là véc-tơ nào? Véc-tơ đối của véc-tơ a

là véc-tơ nào?

Câu 3. Cho hai véc-tơ a và b sao cho a b   0

a) Dựng OA a 

,OB b 

Chứng minh rằng O là trung điểm của AB.

b) Dựng OA a 

, AB b 

Chứng minh rằng B O

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Xác định tổng của hai véc-tơ NC và MC, AM và CD, AD và NC, AM và AN

Câu 5. Cho tam giác ABC Các điểmM, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC

Xác định hiệu  AM AN

; MN NC 

; MN PN 

; BP CP 

Câu 6. Cho tam giác ABC Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA , AB.

a) Xác định các véc-tơ khác véc-tơ - không, cùng phương với MN có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho

b) Xác định các véc-tơ khác véc-tơ - không, cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho

c) Vẽ các véc-tơ bằng véc-tơ NP mà có điểm đầu A , B.

Câu 7. Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:

Câu 8. Cho tứ giác ABCD Số các vectơ khác 0 có điểm đầu và cuối là đỉnh của tứ giác bằng:

Câu 9. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Hỏi

cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. MN và CB B. AB và MB C. MA và MB D. AN và CA

Câu 10. Cho AB ≠ 0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn: AB C D

A.0 B.1 C.2 D.Vô số.

Câu 11. Xét các mệnh đề sau

(I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0 (II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương

A.Chỉ (I) đúng B.Chỉ (II) đúng C.(I) và (II) đúng D.(I) và (II) sai

Câu 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a, mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  AC BC

B. AC a

C.  AB AC

D. AB a

Câu 13. Cho M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AB = 3AM Hãy tìm khẳng định sai?

A. MB 2 MA   

B. MA 2 MB   

C. BA 3 AM   

2



 

Câu 14. Cho hình bình hành ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AD= BC B. AB= AC C. AC= DB D. AB= CD

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD tâm O Các véctơ ngược hướng với OB

là:

A. BD OD , B. DB OD BO  , , C. DB DO , D. BD OD BO  , ,

Câu 16. Cho hình chữ nhật ABCD có AB3,AD4 Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. AC  BD

B. CD  BC

C. AC  AB

D. BD  7.

Câu 17. Cho hình chữ nhật ABCD tâm I , AB3,BC4 Khi đó BI là:

2

Câu 18. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng

B.Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau

C.Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương

D.Hai vectơ ngược hướng với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương

Câu 19. Cho tam giác đều ABC với đường cao AH Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. HB HC 

B. AC 2 HC

2

AH  HC

 

D.  AB AC

Câu 20. Nếu  AB AC

thì:

A.tam giác ABC là tam giác cân B.tam giác ABC là tam giác đều

C.A là trung điểm đoạn BC D.điểm B trùng với điểm C

Câu 21. Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P Khi đó cặp

vectơ nào sau đây cùng hướng?

A. MN và MP B. MN và PN C. MP và PN D. NP và NM

Câu 22. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương

với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

Câu 23. Cho tứ giác đều ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. MN QP 

B. QP  MN

C. MQ NP 

D. MN  AC

Câu 24. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  AB BC

B. CA và CB cùng hướng

C. AB và AC ngược hướng D. BA và BC cùng phương

Câu 25. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Đẳng

thức nào sau đây đúng?

A. MA MB 

B. AB AC 

C. MN BC 

D. BC 2 MN

Câu 26. Cho tứ giác ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD 

?

A. ABCD là hình bình hành B. ABDC là hình bình hành

C. AD và BC có cùng trung điểm D. AB CD

Câu 27. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.  AB ED

B. AB  AF

C. OD BC 

D. OB OE 

Câu 28. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P Q R lần lượt là trung điểm, , AB BC AD, ,

Lấy 8 điểm trên làm điểm gốc hoặc điểm ngọn các vectơ Tìm mệnh đề sai:

A.Có 2 vectơ bằng PQ

B.Có 4 vectơ bằng AR

C.Có 3 vectơ bằng BO

D.Có 5 vectơ bằng OP

Câu 29. Cho hai điểm phân biệt A và B Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng

AB là:

A. IA BI 

B. AI BI 

C. IA IB D. IA IB 

Câu 30. Cho hình thoi ABCD có tâm I Hãy cho biết số khẳng định đúng trong các khẳng

định sau?

a) AB BC 

b) AB DC 

c) IA IO  d) IB IA 

e) AB BC 

f) 2 IA  BD

Câu 31. Điền từ thích hợp vào dấu (…) để được mệnh đề đúng Hai véc tơ ngược hướng thì

(…)

A.Bằng nhau B.Cùng phương C.Cùng độ dài D.Cùng điểm đầu

Câu 32. Cho vectơ a Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.Có vô số vectơ u mà u a 

B.Có duy nhất một u mà u a 

C.Có duy nhất một u mà u a

D.Không có vectơ u nào mà u a 

Câu 33. Cho hình bình hành ABGE Đẳng thức nào sau đây đúng

A. BA EG 

B . AG BE

C.GAuuur =BEuuur

D. BA GEuuur = uuur

Câu 34. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu,

điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với ABuuur?

A. FO OC FDuuur uuur uuur, ,

B. FO AC EDuuur uuur uuur, ,

C. BO OC EDuuur uuur uuur, ,

D. FO OC EDuuur uuur uuur, ,

Câu 35. Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Xác định các

vectơ cùng phương với MNuuuur

A. AC CA AP PA PC CPuuur uur uuur uuur uuur uuur, , , , ,

B. NM BC CB PA APuuuur uuur uuur uuur uuur, , , ,

C. NM AC CA AP PA PC CPuuuur uuur uur uuur uuur uuur uuur, , , , , ,

D. NM BC CA AM MA PN CPuuuur uuur uur uuuur uuur uuur uuur, , , , , ,

Câu 36. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng Các vectơ AB BCuuur uuur,

cùng hướng khi và chỉ khi:

A.Điểm B thuộc đoạn AC B.Điểm A thuộc đoạn BC

C.Điểm C thuộc đoạn AB D.Điểm A nằm ngoài đoạn BC

Câu 37. Cho tam giác đều cạnh 2a Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. ABuuur =ACuuur

B. ABuuur =2a

C. ABuuur =2a

D. ABuuur =AB

Câu 38. Cho tam giác không cân ABC Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

của tam giác M là trung điểm của BC Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Tam giác ABC nhọn thì AH OMuuur uuur,

cùng hướng

B. AH OMuuur uuur,

luôn cùng hướng

C. AH OMuuur uuur,

cùng phương nhưng ngược hướng

D. AH OMuuur uuur,

có cùng giá

Câu 39. Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A =µ 60° Kết luận nào sau đây là đúng?

2

a

AO =uuur

B. OAuuur =a

C. OAuuur =OBuuur

2

a

OA =uuur

Câu 40. Cho 3 điểm A , B ,C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A. "M MA,uuur =MBuuur

B. $M MA,uuur=MBuuur =MCuuur

.

C. "M MA,uuur MBuuur MCuuur

D. $M MA,uuur =MBuuur

.

Câu 41. Cho hai điểm phân biệt ,A B Số vectơ (khác 0r) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các

điểm ,A B là:

Câu 42. Gọi C là trung điểm của đoạn AB Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

sau:

A.CA CBuur = uuur

và ACuuur cùng hướng

C. ABuuur

và CBuuur ngược hướng D. ABuuur =CBuuur

Câu 43. Cho hình bình hành ABCD Các vectơ là vectơ đối của vectơ ADuuur là

A. AD BCuuur uuur,

B. BD ACuuur uuur,

C. DA CBuuur uuur,

D. AB CBuuur uuur,

Câu 44. Số vectơ ( khác 0r) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là

Câu 45. Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm Gọi I là trung điểm của AG

Độ dài của vectơBIuuv

là

6

3

6

2

a

Câu 46. Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn thẳng DC AB, theo thứ tự lấy các điểm

,

M N sao cho DM =BN Gọi P là giao điểm của AM DB, và Q là giao điểm của

,

CN DB Khẳng định nào đúng?

A. DPuuur =QBuuur

B. MQuuur =NPuuur

C. PQuuur = MNuuuur

D. MNuuuur = ACuuur

.

Câu 47. Cho hình thoi ABCD cạnh a và · BAD =60° Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. ABuuur =ADuuur

B. BDuuur =a

C. BDuuur =ACuuur

D. BCuuur =DAuuur

Câu 48. Cho hình bình hành ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của DC AB, ; P là

giao điểm của AM DB, và Q là giao điểm của CN DB, Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

A. DMuuuur =NBuuur

B. DPuuur =PQuuur =QBuuur

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai

Câu 49. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD Từ C vẽ

CIuur =DAuuur

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. ADuuur =ICuur

B. DIuur =CBuuur

C.Cả A, B đều đúng D.A đúng, B sai

Câu 50. Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. HA CDuuur = uuur

và AD CHuuur= uuur

B. HA CDuuur = uuur

và ADuuur =HCuuur

C. HA CDuuur = uuur

và ACuuur=CHuuur

D. HA CDuuur = uuur

và ADuuur =HCuuur

và OB ODuuur = uuur

Câu 51 Cho tam giác ABC với trực tâm H D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. HA CDuuur = uuur

và AD CHuuur= uuur

B. HA CDuuur = uuur

và DA HCuuur = uuur

C. HA CDuuur = uuur

và ADuuur=HCuuur

D. ADuuur =HCuuur

và OB ODuuur= uuur

Câu 52. Cho ABCD với điểm M nằm trong tam giác Gọi ', ', ' A B C lần lượt là trung điểm của

BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua ', ', ' A B C Câu nào sau đây đúng?

A. AMuuuur =PCuuur

và QBuuur=NCuuur

B. ACuuur =QNuuur

và AMuuuur=PCuuur

C. ABuuur =CNuuur

và AP QNuuur = uuur

D. ABuuuur'=BNuuur

và MNuuuur =BCuuur

Câu 53. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi D là điểm

đối xứng với B qua O Câu nào sau đây đúng?

A. AHuuur =DCuuur

B. ABuuur =DCuuur

C. ADuuur =BCuuur

D. AOuuur =AHuuur

Câu 54. Cho đường tròn tâm O Từ điểm A nằm ngoài ( )O , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới ( )O

Xét mệnh đề:

(I) ABuuur =ACuuur

(II) OBuuur= -OCuuur

(III) BOuuur = COuuur

Mệnh đề đúng là:

A.Chỉ (I) B.(I) và (III) C.(I), (II), (III) D.Chỉ (III)

Câu 55. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD.

Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ Tìm mệnh đề sai?

A.Có 2 vectơ bằng PRuuur

B.Có 4 vectơ bằng ARuuur

C.Có 2 vectơ bằng BOuuur D.Có 5 vectơ bằng OPuuur

Câu 56. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng

với C qua D Hãy tính độ dài của vectơ MNuuuur

2

a

MN =uuuur

3

a

MN =uuuur

2

a

MN =uuuur

4

a

MN =uuuur

Câu 57. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC,

BD tương ứng là I, J Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.OIuur =OJuur

B. MP =NQ C. MNuuuur =PQuuur

D.OIuur = -OJuur

Câu 58. Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và

CD Nối AF và CE , hai đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N Chứng minh

DMuuuur =MNuuuur =NBuuur

Câu 59. Cho hình bình hành ABCD và ABEF với A D F, , không thẳng hàng Dựng các vectơ

EHuuur

và FGuuur bằng vectơ ADuuur Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.

Câu 60. Cho hình bình hành ABCD Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC Qua O

kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành Các đường thẳng này

cắt AB và DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng

minh

a)OA OCuuur+uuur =OBuuur+ODuuur

b) BDuuur =MEuuur+FNuuur

Câu 61. Cho năm điểm A B C D E, , , , Chứng minh rằng

a) ABuuur+CDuuur+EAuuur =CBuuur+EDuuur

b) ACuuur+CDuuur uuur-EC =AEuuur uuur-DB+CBuuur

Câu 62. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh rằng OA OBuuur+uuur+OCuuur+ODuuur +OEuuur =0r

Câu 63. Cho các điểm A B C D E F, , , , , Chứng minh rằng ADuuur+BEuuur +CFuuur=AEuuur +BFuuur +CDuuur

Câu 64. Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O , và M là một điểm bất kì.

Chứng minh rằng

a)OA OCuuur+uuur +OBuuur+ODuuur +OEuuur+OFuuur=0r

b) MAuuur+MCuuur+MEuuur =MBuuur+MDuuur +MFuuur

Câu 65. Cho hình bình hành tâm O Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ABuuur =OA ABuuur uuur

-B.CO OBuuur uuur- =BAuuur

C. ABuuur uuur-AD =ACuuur

D. AOuuur +ODuuur =CBuuur

Câu 66. Cho ba vectơ ar,br

và cr khác vectơ-không Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

sai?

A.ar + = +br br ar

B. (ar+br)+ = +cr ar (br +cr)

C. ar + =0r ar

D. 0r+ =ar 0r

Câu 67. Cho hình bình hành ABCD Vectơ tổng CBuuur+CDuuur

bằng

A.CAuur

Câu 68. Cho ba điểm phân biệt , ,A B C Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ABuuur+BCuuur =ACuuur

B. ACuuur+CBuuur =ABuuur

C.CAuur+BCuuur =BAuuur

D.CBuuur+ACuuur=BAuuur

Câu 69. Cho bốn điểm phân biệt , , ,A B C D Vectơ tổng ABuuur+CDuuur+BCuuur+DAuuur

bằng

A. 0r

Câu 70. Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB BC CA, , Vectơ tổng

MPuuur +NPuuur

bằng

A. BPuuur

B. MNuuuur

C.CPuuur

Câu 71. Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. IAuur +DCuuur=IBuur

B. ABuuur+ADuuur =BDuuur

C. IAuur +BCuuur =IBuur

D. ABuuur+IAuur =BIuur

Câu 72. Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. IAuur +DCuuur=IBuur

B. DAuuur+DCuuur+BIuur =DIuur

C. IDuur +ABuuur =ICuur

D. ABuuur+ADuuur+CIuur =IAuur

Câu 73. Cho các điểm phân biệt M N P Q R, , , , Xác định vectơ tổng

MNuuuur uuur uuur uuur uuur+PQ+RP+NP +QR

A. MPuuur

B. MNuuuur

Câu 74. Cho hình bình hành ABCD Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ABuuur+BDuuur =BCuuur

B. ABuuur+ADuuur =ACuuur

C. ACuuur+CDuuur =CBuuur

D. DCuuur+DAuuur =DBuuur

Câu 75. Cho tam giác ABC và M N P, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, , Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ABuuur+BCuuur+CAuur= 0r

0

APuuur+BMuuur+CNuuur = r

C. MNuuuur+NPuuur+PMuuur = 0r

Câu 76. Cho hình vuông ABCD , tâm O Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BCuuur+ABuuur =CAuur

B.OCuuur+AOuuur =CAuur

C. BAuuur +DAuuur =CAuur

D. DCuuur+BCuuur =CAuur

Câu 77. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.

A.OA OBuuur+uuur+OCuuur +ODuuur+OEuuur+OFuuur =0r

B.OAuuur +ABuuur+BOuuur =0r