Lí thuyết bài tập về tổng và hiệu của 2 véc tơ

1 ◈ New 2021 2022 Hình học ➓ Chương 1 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ Bài ➁ Tóm tắt lý thuyết cơ bản ▣ Ⓐ Tổng của hai vectơ  Định nghĩa  Cho hai vectơ

_Bài tập minh họa:

Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối

 Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với 𝑎Ԧ đgl vectơ đối

của 𝑎Ԧ, kí hiệu −𝑎Ԧ

 −𝐴𝐵 ሬሬሬሬሬԦ = 𝐵𝐴ሬሬሬሬሬԦ

 Vectơ đối của 0ሬԦ là 0ሬԦ

 Hiệu của hai vectơ

 𝑎Ԧ − 𝑏ሬԦ = 𝑎Ԧ + ൫−𝑏ሬԦ൯

 𝑂𝐵 ሬሬሬሬሬԦ − 𝑂𝐴 ሬሬሬሬሬԦ = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ

Áp dụng

a) I là trung điểm của AB  𝐼𝐴 ሬሬሬሬԦ + 𝐼𝐵ሬሬሬሬԦ = 0ሬԦ

b) G là trọng tâm của ABC  𝐺𝐴 ሬሬሬሬሬԦ + 𝐺𝐵 ሬሬሬሬሬԦ + 𝐺𝐶ሬሬሬሬሬԦ = 0ሬԦ

 Quy tắc cộng 3 diểm: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ + 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ = 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ (☞ Điểm giữa giống, vecto chạy xuôi)

 Quy tắc trừ 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ− 𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ ( ☞ Điểm đầu giống, vecto chạy ngược)

Đẳng thức vectơ giải bằng quy tắc 3 điểm

▣



① 

Câu 1: Cho ba điểm phân biệt , ,A B C Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

_Vecto trực tiếp, không có đổi điểm

Câu 1: Cho ba điểm phân biệt A B C, , Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

A ABACBC B AB CA CB 

C CA BA BC D AB BC CA

Lời giải Chọn B

Có VT AB CA CA AB   CB VP

Câu 2: Cho ba điểm bất kì A, B, C Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A CA CB  AB B BC ABAC C ACCB BA D CBCA AB

Lời giải Chọn D

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?

A DA DB BA  0 B DA DB DC  0 C DA DB CD  0

D DA DB DA  0

Lời giải Chọn B

B Nếu O là trung điểm của AB thì OA OB

C Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC  0

D Với ba điểm bất kì I , J, K ta có: IJJKIK

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên BAuur = CDuuur

Câu 9: Cho uDCABBD với 4 điểm bất kì A B C D, , , Khẳng định nào sau là đúng?

A u 0 B uBC C u AC D u2DC

Lời giải Chọn C

Ta có uDCABBDDCAD ADDC AC

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A AABB AB B MP NM NP C CA BA CB  D ABACBC

Lời giải Chọn B

+AABB  0 phương án A sai

D

C B A

+MP NM NMMPNPphương án B đúng

+CA BA 2IA với I là trung điểm của BC phương án C sai

+ABAC 2AI với I là trung điểm của BC phương án D sai

Câu 11: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB (A khác B ) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A AB2IA B IA AB 0 C IA IB 0 D IA IB 0

Lời giải Chọn D

I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA IB 0

Câu 12: Chọn khẳng định đúng trong các hệ thức sau

Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đẳng thức nào sau đây đúng?

A OA OC 0 B OA CO 0 C AO OC 0 D OA OC 0

Lời giải Chọn A

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC Vậy OA OC 0

Câu 15: Cho hình bình hành ABCD , G là trọng tâm ACD Tổng của vectơ GA GB GC  bằng

A AD B BD C DB D CD

Lời giải Chọn C

Do G là trọng tâm ACD nên GA GC GD  0 GA GC  GD

uMA MB MC MA MBuuuruuur3MCuuurMBuuur BAuur3BCuuur

Câu 17: Cho hình bình hành ABCD, G là trọng tâm ACD Tổng của vectơ GA GB GC  bằng

A AD B BD C DB D CD

Lời giải Chọn C

Do G là trọng tâm ACD nên GA GC GD  0 GA GC  GD

Ta có: GA GB GC  =GB GD DB

Câu 18: Cho bốn điểm A B C D, , , phân biệt Khi đó AB DC- BC AD- bằng vectơ nào sau đây?

Lời giải Chọn A

Ta có: AB -DCBC -ADABCDBCDADAABBCCDDBBDDD 0

Chọn đáp án A Câu 19: Tổng MNPQRNNPQR bằng

A MR B MN C MP D MQ

Lời giải

Ta có OA OB BA  OA OB BA0 BA BA 0

OA CA CO  OA OA

ABACBC ABACBC CBBC

ABOB OA AB BO OAAOOA

_Vecto có đổi điểm

Câu 1: Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A IA IB AB với I là điểm bất kì B AMBM 0

C IA IB IM với I là điểm bất kì D AMMB0

Lời giải Chọn B

Vì M là trung điểm của AB nên ta luôn có AMBM 0

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Khẳng định nào sau đây sai?

A OB OD BD B OA OC 0

Lời giải Chọn A

A BA AC BC B ABBC AC

C CA AB BC D ABACCB

Lời giải Chọn C

Xét đáp án A có BA AC BCđúng theo quy tắc ba điểm đối với phép công

Xét đáp án B có ABBC ACđúng theo quy tắc ba điểm đối với phép công

Xét đáp án C có CA AB CB  theo quy tắc ba điểm đối với phép công nên CA AB BC

là sai

Xét đáp án D có ABACCBđúng theo quy tắc ba điểm đối với phép trừ

Câu 5: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?

A ABADDB B BCBADCDA

C OA OB CD D OB OC OD OA

Lời giải Chọn D

OB OC OD OA CB AD

Đáp án này sai do ABCD là hình bình hành nên CBDA

Câu 6: Chọn khẳng định sai?

A Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AIIBAB

B Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA BI 0

C Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AIBI 0

D Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA IB 0

Lời giải Chọn B

Ta có IA BI BIIABA Vậy IA BI 0 sai

Câu 7: Cho ba điểm M N P bất kì Mệnh đề nào sau đây là đúng?, ,

A MP MNuuuruuur PNuuur B MP PNuuuruuurMNuuur

C MPuuurPNuuurMNuuur D MP MNuuuruuur PNuuur

Lời giải Chọn C

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có MPPNMN Vậy C là phương án đúng

Câu 8: Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là sai?

A ABACCB B AB BA 0

C ABACBC D ABBC AC

Lời giải

Chọn C

Theo quy tắc về hiệu hai véc tơ ta có: ABACCB nên khẳng định C sai

Câu 9: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ Chọn khẳng định sai trong các

khẳng định sau

A AG+ BG+CG= 0 B MA+ MB+ MC= 3MG

C GA+GB+GC= 0 D MA+ MB+ MC= MG

Lời giải Chọn D

Với G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ, ta có:

+ GA+GB+GC= 0 +MA+ MB+ MC= 3MG

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

A BA BDuuruuurBCuuur.B ABuuuruuurADBDuuur C BA BCuur uuurBDuuur D ABuuuruuurACADuuur

Lời giải Chọn C

Theo quy tắc hình bình hành

Câu 11: Cho ba điểm A, B, C phân biệt Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?

A ABACCB.B BA AC BC. C CA AB BC D ABBC AC

Lời giải Chọn C

A Nếu M là trung điểm của AB thì MA MB 0

B Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì IA IB IC  3IG

C Nếu ABCD là hình chữ nhật thì ACBD

D Nếu ABCD là hình bình hành thì ADBC

Lời giải Chọn C

Đáp án A, B đúng theo tính chất trung điểm và trọng tâm

Đáp án D là đúng theo tính chất hình bình hành

Đáp án C sai vì 2 vectơ đó không cùng phương nên không thể kết luận bằng nhau

Câu 15: Cho tam giác ABC.Gọi A' là điểm đối xứng với B qua A, B' là điểm đối xứng với C qua

B, C' là điểm đối xứng với A qua C Với mọi điểm O bất kì ta luôn có đẳng thức nào?

A OA OB OC  OA'OB'OC' B OA OB OC  OA'OB'OC'

C OA OB OC  OA' 2 OB' 3 OC' D OA OB OC  2OA' 2 OB' 2 OC'

Lời giải Chọn A

Cách 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có GA GB GC  0 và OA OB OC  3OG

+) Ta có M là trung điểm của AC nên MA MC  MA MB MB MC CB

Câu 17: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A BAAD AC B ABADAC

C ABADCA D ABACBC

Lời giải Chọn B

Theo qui tắc hình bình hành:ABADAC

Câu 18: Cho 3 điểm bất kỳ , ,A B C , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A AC BC  ABB AB CB AC C ABACBC D ABACBC

Lời giải Chọn A

ACBC AC CB  AB Câu 19: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A OA OB OC OD   0 B AB BC DC DA

Lời giải Chọn D

Xét khẳng định ACBDADACADBDDCBD Câu 20: Cho hình bình hành ABCD Khẳng định nào sau đây sai?

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?

Ta có AC AD   DC  AB Câu 3: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?

A OA OC OE    0. B BC FE   AD

C OA OB OC    EB. D AB CD FE    0.

Lời giải Chọn D

Gọi M là trung điểm của BC , ta có: ABAC  2AM 2AM a 3.

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, giao điểm của hai đường chéo là O Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề

sau:

A CO OB BA B ABBCDB

C DA DB OD OC D DA DB DC0

Lời giải Chọn D

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có AB ADuuur- uuur = DBuuur = BD AB;uuur+ ADuuur = ACuuur = AC.

Mà BD= ACÞ AB ADuuur- uuur = ABuuur+ ADuuur

Câu 8: Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó Đẳng thức nào sau đây sai?

C BA BCuuur+ uuur = DA DCuuur+ uuur D AB CD+ = AB CB+

Lời giải Chọn D

D Do CDuuur¹ CBuurÞ (AB CDuuur+ uuur) (¹ AB CBuuur+uur).

Câu 9: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD; hai điểm E F, lần lượt là trung điểm AB BC, Đẳng thức nào sau

Câu 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB DAuuur- uuur .

A uuurAB DA- uuur = 0 B uuurAB DA- uuur = a C AB DAuuur- uuur = a 2 D AB DAuuur- uuur = 2a

Lời giải Chọn C

Ta có AB DAuuur- uuur = ABuuur+ uuurAD = ACuuur = AC= a 2.

Câu 11: Cho hình thoi ABCD có AC= 2 ,a BD= a Tính uuurAC+ BDuuur

A uuurAC+BDuuur = 3a B ACuuur+ BDuuur = a 3 C ACuuur+ BDuuur = a 5 D uuurAC+BDuuur = 5a

Lời giải Chọn C

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA GB GC+ + =O.

Do đó GA GC GDuuur+ uuur+ uuur= GA GCuuur+ uuur+(GBuuur+ BC CDuuur+ uuur) (= GA GB GCuuur+ uuur+ uuur)+ BC CDuuur+ uuur

BC CD BD

= uuur+uuur= uuur

M D

A

G

Câu 13: Cho O là tâm hình bình hành ABCD Hỏi vectơ (AO DOuuur- uuur) bằng vectơ nào?

A BAuuur B BCuuur C DCuuur D ACuuur

Lời giải Chọn B

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a ; AC=2a Tính ABAC và AB AC

D

D B

A

C

◈-Cách giải

 Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất

 Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu

Tính độ dài vectơ tổng, hiệu

▣



➂ 

C

Ta có: CB CA  AB a do tam giác đều ABC có cạnh bằng a

Câu 2: Cho tam giácABC đều cạnh a Độ dài AB BC bằng

Gọi M là trung điểm của AB

D

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD , AB3, AD4 Tính ABAD

A ABAD 8 B ABAD 7 C ABAD 6 D ABAD 5

Lời giải Chọn D

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại C Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB 2MC là

Lời giải Chọn A

Gọi I là trung điểm AB, ta có:

I E

O

B A

Gọi H là trung điểm AB

Ta có: BEED AF, HE nên suy ra:

Câu 8: Cho hai lực F F đều có cường độ bẳng 1, 2 100 N và có cùng điểm đặt tại một điểm Góc hợp bởi F 1

và F bằng 2 90 Khi đó cường độ lực tổng hợp của F và 1 F bằng2

A 190 N B 50 3 N C 100 2 N D 200 N

Lời giải Chọn C

Vẽ IAF IB1, F2, Vẽ hình vuông IAJB

100 2 N

Vậy cường độ lực tổng hợp của F và 1 F bằng 2 100 2 N 

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, ABa Tính độ dài vectơ AB4AC

Lời giải Chọn D

A

Ta có: ABDC nên ABDA  DCDA  AC  ACa 2

Câu 11: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính S  2ADDB ?

A Sa B S a 3 C S a 2 D S a 5

Lời giải Chọn C

Câu 13: Cho hai lực F1MA F, 2 MB cùng tác động vào một vật tại điểm M Cho biết cường độ lực F F1, 2

đều bằng 50N và tam giác MAB vuông tại M Cường độ hợp lực tác dụng lên vật đó là

Lời giải Chọn C

Tam giác MABvuông tại M MAMB

Cường độ hợp lực tác dụng lên vật tại điểm M bằng MA MB  MC  MA2MB2 50 2

Câu 14: Cho hình thang ABCD có hai đáy ABa, CD2a Gọi M , N là trung điểm AD và BC Khi đó

Dựng hình bình hành ABDC, ta có : AB CA  ABAC  AD AD

Vì ABDC là hình bình hành và ABC là tam giác đều nên ABDC là hình thoi

Gọi H là giao điểm của AD và BC thì ta có: AD2AH

A

Vậy : AB CA  AD  AD2a 3

Câu 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính ABACAD

Lời giải Chọn A

Ta có ABACAD  ACAC 2AC2a 2

Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có AB3, BC4 Khi đó BCBA bằng

Lời giải Chọn C

3 4 25

AC  AB BC    AC5 Vậy BCBA 5

Câu 18: Cho tam giác vuông ABC có trọng tâm Gvà cạnh huyền BC3a Tính độ dài vectơ GBGC

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có GBGC GA Suy ra

Câu 19: Cho ba lực F1MA F, 2 MB F, 3MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên

Cho biết cường độ của F F1, 2 đều bằng 100N và góc AMB900 Khi đó cường độ của lực F3

Vật đứng yên khi F3 MD Suy ra cường độ của lực F3 là: F3 100 2N

Câu 20: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a Khi đó độ dài vectơ DA DO là

A

MC

DA DO  DE với E là điểm sao cho DAEO là hình bình hành

Gọi F là trung điểm cạnh DC Khi đó EFEO OF 2a a 3a

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác DEF, ta có:

Cường độ lực tổng hợp của hai lực đó xác định theo hình

Cách 1: Ta có tam giácBOC là tam giác đều M là trung điểm BC

Ta có: ABAC  CB CBa

Câu 23: Cho tam giác ABC, BABC  BA BC Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn B

Ta có: BA BC BD, với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD

Suy ra BABC  BD BD

Và: BA BC CA, suy ra BA BC  CA CA

Hình bình hành ABCD có BD AC nên ABCD là hình chữ nhật

Suy ra tam giác ABC vuông tại B

Câu 24: Cho hình vuông ABCD với O là giao điểm hai đường chéo BD và AC , M là điểm thỏa mãn

Lời giải Chọn C