Skkn sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện Nguyễn Công Phương Chức[.]

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện : Nguyễn Công Phương Chức vụ : Giáo viên

SKKN thuộc môn :Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

STT Tên mục Trang

17 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy : Đa số học sinh rất ngại học môn hình học, đặc biệt là toán hình học không gian 11 Bởi vì, đây là môn học khó đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được Việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán hình học không gian, đôi khi ta có thể biến một bài toán khó thành một bài toán đơn giản, lời giải ngắn gọn hơn, không đòi hỏi nhiều đến khả năng tư duy, kỹ năng vẽ hình và chứng minh hình học Khi dạy phần hình học không gian lớp 11 cho học sinh tôi thấy học sinh rất bế tắc về phương pháp cho loại toán này bởi vì trong sách giáo khoa hay sách bài tập không có nhiều bài tập loại này nhưng những năm gần đây lại có trong đề thi tốt nghiệp THPT và xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khiến chohọc sinh rất bối rối về phương pháp, rất nhiều học sinh không làm hết bài hoặc phải

bỏ qua các bài toán hình học trong bài thi Trong khi đó các em lại có thể làm tốt các biến đổi đại số và chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng phương pháp véc tơ

đã chuyển bài toán hình học với các tư duy trìu tượng về hướng tư duy biến đổi đại

số, giải tích đã mang lại hứng thú và tính sáng tạo cho các em học sinh

Bởi vậy việc giúp các em có cách tiếp cận mới cho bài toán hình học không gian, thêm hứng thú trong học tập và phát triển tư duy, sáng tạo đã thôi thúc tôi viết

đề tài sáng kiến kinh nghiệm “sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài

toán hình học không gian 11”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Giúp học sinh hệ thống hóa và có kiến thức vững về lý thuyết véc tơ

- Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán toán hình học không gian lớp 11 bằng phương pháp véc tơ

- Thông qua việc học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể

Từ đó bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng áp dụng lý thuyết vào bài toán cụ thể và các năng giải toán khác

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Véc-tơ và các tính chất của véc-tơ trong hình học phẳng và trong không gian liên quan đến các dạng toán hình học không gian 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài

tập ,sách tài liệu và các đề thi học sinh giỏi các tỉnh

- Phương pháp điều tra thực tiễn : Quan sát quá trình học tập lấy phiếu điều

tra đối tượng học sinh trong quá trình dạy chuyên đề

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm :

Việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải toán hình học không gian đã được

viết trong chương 3 sách giáo khoa hình học lớp 11 Đây là một nội dung khôngmới nhưng khó đối với học sinh, do các em chưa có phương pháp thích hợp để ápdụng giải bài toán cụ thể, từ đó thiếu tính sáng tạo, hứng thú trong học tập Sáng

kiến kinh nghiệm “sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học

không gian 11” đã hệ thống lại các dạng toán cơ bản cả quan hệ song song và

vuông góc có thể sử dụng véc tơ để giải giúp cho học sinh có cái nhìn đa chiềutrước một bài toán, các em có thể tìm ra lời giải bài toán ngắn gọn, xúc tích hơn,góp phần tạo hứng thú cho các em trọng hoạt động học tập và phát huy tính tíchcực chủ động sáng tạo của học sinh

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận:

Véc tơ được xem là một trong những kiến thức cơ bản trong hình học và được ứng dụng rộng rãi cả trong hình học phẳng và hình học không gian Lý thuyết véc

tơ bắt nguồn từ vật lý và được sáng lập bởi nhà lý hóa học người Mỹ Josiah

Willard Gibbs (1839-1903 )

Cũng theo Josiah Willard Gibbs Để giải một bài toán bằng phương pháp véc tơ

ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ véc tơ thích hợp, chuyển bài toán hình họckhông gian về bài toán biến đổi véc tơ dựa vào tính chất của véc tơ

 Bước 2 : Giải bài toán hình học véc tơ nói trên

 Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học không gian sang các tínhchất hình học véc tơ tương ứng

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vàogiải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừutượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy cần thôngqua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

2.2.1 Thuận lợi:

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trìnhlớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng,giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một sốđối tượng trong hình học không gian

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làmcho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàngtiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xâydựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, mộtcông cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

2.2.2 Khó khăn:

Không ít học sinh chưa nắm vững kiến thức về véc tơ vì các khái niệm nàymột phần được học từ lớp 10, sách giáo khoa lại trình bày phần lý thuyết về tínhđồng phẳng của véc tơ chưa sâu, bài tập vận dụng ít, các đề thi những năm trướcđây cũng ít đề cập đến phần này nên nhiều học sinh và cả giáo viên cũng ít chútrọng

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 11 Do chưa tìm ra đượcphương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thútrong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp, đòi hỏi sự

nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò

2.3 Các giải pháp thực hiện đề tài:

- Trước hết cần hệ thống hóa lại lý thuyết về véc tơ , nêu tóm tắt các tính chất

và kết quả quan trọng đã được trình bày ở sách giáo khoa lớp 10 và 11.

- Lấy ví dụ tương ứng với các dạng toán để học sinh làm quen và biết cách áp dụng lý thuyết vào bài toán cụ thể.

- Cho các dạng bài tập tương tự để học sinh luyện tập thêm nhằm khác sâu kiến thức, kỹ năng

2.3.1 [1] Lý thuyết véc tơ :

Các qui tắc.

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm , , bất kì ta có:

điểm bất kì trong không gian).

b) Nếu là trung điểm của , là trung điểm của thì ta có

c) là trọng tâm của tam giác

( là một điểm bất kì trong không gian)

d) là trọng tâm của tứ diện

( là một điểm bất kì trong không gian).e) Nếu thì với mọi điểm trong không gian ta có

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Định lí 1.

Cho ba vectơ , , trong đó và không cùng phương Điều kiện cần và

đủ để ba vectơ , , đồng phẳng là có duy nhất các số , sao cho

Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác

Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là

được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp hoặc ta quy ước

Bài toán 1.2: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng:

Cho ba vectơ trong đó và không cùng phương Điều kiện cần và đủ

để ba vectơ , , đồng phẳng là có duy nhất các số , sao cho

Bài toán 1.3: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Để chứng minh điểm đồng phẳng ta chứng minh vectơ , , đồng phẳng

Bài toán 1.4: Chứng minh hai đường thẳng song song:

Để chứng minh ta cần chứng minh

Bài toán 1.5: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

Để chứng minh đường thẳng , ta chứng minh : AB

⃗

=x MN⃗ +y MP⃗

Bài toán 1.6: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh có hai đường

thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia (thực hiện bàitoán 1.5 hai lần)

Dạng toán 2: Các dạng toán ứng dụng tích vô hướng của hai véc tơ trong

,u→2 lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b

Bài toán 2.2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Bài toán 2.3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh có một đường

thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia (thực hiện bài toán 2.2)

Bài toán 2.4: Tính góc giữa hai đường thẳng:

Gọi α là góc giữa hai đường thăng a và b u1

→

,u→2 lần lượt là hai vec tơ chỉ

phương của a và b Khi đó :

cosα=|cos(u→1,u→2)|= | u→1.u→2|

| u→1|.|u→2|

Bài toán 2.5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Gọi α là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Cách1: Ta đưa bài toán về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’ là

hình chiếu của a lên (P) Sau đó thực hiện bài toán 2.4.

Cách2: Ta đưa về xác định góc giữa đường thẳng a và đường b thẳng trong đó b là

đường thẳng vuông góc với (P)

→

,u→2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của a và b)

Bài toán 2.6: Tính góc giữa hai mặt phẳng:

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) u1

Bài toán 2.7: Xác định khoảng cách ( từ một điểm tới một mặt phẳng, hai đường

thẳng chéo nhau) : ta đưa bài toán về tính khoảng cách giữa hai điểm.

Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi MN

⃗

=xa→+y b→+z c→ (trong

đó a→,b→,c→ là bộ ba vec tơ gốc đã chọn và đã biết | a→| ,|b→| ,|c→| , a→.b→ ,b→.c→ , c→.a→

Dạng toán 3: Sử dụng véc tơ để giải bài toán cực trị hình học.

Sử dụng kiến thức tổng hợp về véc tơ để giải bài toán cực trị hình học

2.3.3 Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 [2] Cho hình hộp Gọi , lần lượt là các điểm trên

a) Phân tích vectơ theo ba vectơ: , ,

Lời giải.

N

C' B'

D'

D

A A'

Do đó hay (2).

Từ (1) và (2) ta có:

Ví dụ 2 [3] Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và

Ví dụ 3 [4] Cho tứ diện , các điểm , lần lượt là trung điểm của , Gọi lần lượt là các điểm trên đường thẳng , sao cho ,

Chứng minh rằng 4 điểm đồng phẳng

Lời giải

(Do là trung điểm của )

G2 là trọng tâm của tứ diện BCC¿D¿ nên

AG⃗ 2=1

4(AB

⃗+AC⃗ +AC¿

⃗+AD¿

⃗)

C

⃗+MC⃗ ¿+ND⃗ ¿)

Ví dụ 6 [7] Cho hình lăng trụ đứng ABC A¿B¿C¿ có tất cả các cạnh đều bằng

a M là trung điểm của BB¿ Chứng minh AM ⊥BC¿

Lời giải

Ví dụ 7 [8] Cho hình chóp S ABC có SA ⊥( ABC) Gọi H ,K lần lượt là trọng

tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh HK ⊥(SBC )

Lời giải

Ta có:

HK SC=(HB+BK) SC=0

HK⃗ BC⃗ =(HA⃗ +AS⃗ +SK⃗ ) BC⃗ =0

⇒HK ⊥( SBC)

Ví dụ 8 [9] Cho hình lăng trụ tam giác đều có và

Hãy tính góc giữa hai đường thẳng và ?

Nhận xét: Để giải bài toán này bằng phương pháp hình học thông thường là áp

dụng định lý cosin để tính góc của một tam giác có cạnh song song với và

là rất khó khăn nên cách giải bằng véc tơ sẽ cho ta cách tiếp cận bài toán đơn giản hơn.

Ví dụ 9 [10] Cho hình chóp S ABCD ó đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a ,

Ta có ( Do là trọng tâm tam giác )

Suy ra:

Ví dụ 11 [12] Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thang vuông tại và

là hình chiếu vuông góc của lên và lần lượt thuộc các đoạn và

phẳng Tính độ dài đoạn theo

Lời giải.

N M

C

B

K S

+ Vì là hình chiếu của lên nên

+ Vậy

Ví dụ 12 [13] Cho hình chóp có Gọi là trọng tâm tam giác Mặt phẳng đi qua trung điểm của cắt các cạnh

lần lượt tại Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải.

a) Chứng minh

b) Chứng minh

Bài 2: [16] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O .

SO ⊥( ABCD ) , canh bên SB=a E,F lần lượt là trung điểm của SA ,SC

a,Tính độ dài đoạn thẳng

b,Tính góc giữa hai đường thẳng và

Bài 5: [19] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuôngcạnh a E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA M , N lần lượt

là trung điểm của AE và BC Tính khoảng cách giữa MN và AC

Bài 6: [20] Cho hình lập phương ABCD A¿B¿C¿D¿ có cạnh bằng a Tính khoảngcách giữa hai đường thẳng A¿B và B¿D

Bài 7: [21] Cho tứ diện và một mặt phẳng Tìm trên mặt phẳng

Bài 8: [22] (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho tứ diện

có Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứdiện và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm Chứng minh rằng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Các nội dung về bài toán hình học luôn là các phần khó đối với học sinh Tuynhiên, đưa nội dung đề tài vào giảng dạy tôi đã thấy được hiệu quả tích cực của

hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng có những bài tập đòi hỏi học sinh phải cókhả năng tư duy cao, phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm Từ đó, khuyến khíchlòng hăng say tìm tòi giải bài tập của một nhóm học sinh có nhận thức khá

Nhiều học sinh đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cáchgiải toán không cần sự gợi ý của giáo viên Từ đó đã mang lại các kết quả bất ngờ

từ việc giải toán thông qua các phương pháp sáng tạo cho học sinh Nhiều học sinh

có học lực trung bình đã biết cách tiếp cận với các dạng toán cơ bản, các học sinh

có học lực khá môn toán đã giải được một số bài toán khó trong đề thị Các em đãđạt kết quả cao trong các bài kiểm tra đánh giá định kỳ, góp phần nâng cao chấtlượng môn toán nói riêng và chất lượng giáo dục của học sinh toàn trường nóichung

Tôi đã chọn lớp 11B4 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn lớp

11B2 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa Kết quả thực nghiệm thuđược khi cho hai lớp cùng làm các bài kiểm tra 45 phút thuộc phân môn hình họcnhư sau:

Từ đồ thị và bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:

Qua việc áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm, Tôi thấy học sinh đã biết ápdụng kiến thức về véc tơ vào giải bài toán hình học không gian, giúp các em làmđược nhiều bài tập hơn, tìm ra lời giải bài toán nhanh hơn, các em tự tin và hứngthú hơn với môn học, giúp hoạt động học tập thêm chủ động và sáng tạo, góp phầnnâng cao chất lượng chung và công tác bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhàtrường

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận:

Bài viết là một vài kinh nghiệm nhỏ về chuyên đề “sử dụng phương pháp véc

tơ để giải một số bài toán hình học không gian 11”chuyên đề này tuy không mới

bài viết chuyên sâu về các dạng toán này Với thời gian nghiên cứu và sưu tầm tài liệu trong một năm, tài liệu đã tổng hợp được lý thuyết cơ sở cho dạng toán, tổng hợp được các dạng toán thường gặp bao gồm cả quan hệ song song, vuông góc, cácdạng bài tập về tính góc và khoảng cách Với mỗi dạng toán đều có những ví dụ minh họa làm rõ hơn phương pháp bao gồm cả những dạng toán liên quan đến hìnhchóp và hình lăng trụ Cuối chuyên đề là phần bài tập vận dụng tương tự cho học sinh tự học nhằm khắc sâu kiến thức Hiệu quả nổi bật của sáng kiến là việc dúp học sinh chuyển một bài toán hình học về hướng tư duy biến đổi đại số, giải tích nhằm phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh trong quá trình dạy vàhọc.

mà sách giáo khoa chưa đề cập hết

Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 11B4 trường THPTTHPT Thạch Thành 1 trong năm học vừa qua Rất mong vấn đề này được xem xét,

mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tựtin và hứng thú khi học môn Toán nói chung và môn Hình học không gian nóiriêng./

Trong quá trình thực hiện, không tránh khỏi thiếu sót Rất mong sự quan tâm đónggóp ý kiến, trao đổi, bổ sung của bạn bè đồng nghiệp và Ban giám khảo trong Hội đồng khoa học của ngành để sáng kiến kinh nghiệm này của tôi được hoàn thiện

Người viết

Nguyễn Công Phương