BÀI 3 LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I KHÁI NIỆM LOGARIT 1 Định nghĩa Cho 2 số dương với khác 1 Số thỏa mãn đẳnng thức được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu Chú ý Không có logarit của số[.]
Trang 1BÀI 3 LOGARIT
A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I KHÁI NIỆM LOGARIT
1 Định nghĩa: Cho 2 số a b, > 0 dương với a khác 1 Số α thỏa mãn đẳnng thức aα =b được gọi là
logarit cơ số a của b và ký hiệu loga b
a
a = log b a Û a =b
Chú ý
Không có logarit của số 0 và số âm vì aα luông dương với mọi α
Cơ số của logarit phải dương và khác 1
Theo đinh nghĩa logarit ta có các tính chất sau
2 Tính chất
Cho hai số dương a và b, a≠ 0 Ta có các tính chất sau
( )
log log 1 0; loga = a a=1; a a b=b, ∀ ∈b ¡,b>0; loga aα =α α, ∈¡
Ví dụ Tính
a) log 34 2 ; b) 3log 43 ; c) 2log 32 ; d) log 4 2 e) 3
1 log 3 f) 2
1
log
16 g) (2 log3 1
a với 0< ¹a 1 h) 49log 57 +log 349
II CÁC QUY TẮC TÍNH LOGARIT
1 Logarit của một tích: Với 0 < ≠a 1; b c, > 0 ta có loga( )bc =loga b+loga c
Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Ví dụ 3: Tính
a) log 6 log 2 12 + 12 b) 1 1 1
4 log 6 log 24 log
9
Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho tích của n số dương:
, , , , 0, 1
n
a b b b a
> ≠
2 Logarit của một thương: a > 0; b1> 0; b2> 0, a≠ 1
2
1
b
b
a ÷÷ a − a
=
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit
1
a − ÷ a < ≠ >
=
Ví dụ Tính
Trang 2a) log 100 log25 − 254; b) log 20 log 6 log 152 + 2 − 2 .
c) log 5 log 10 log 25 2 + 2 − 2 d) log 6 log 7 log3 + 3 − 314
3 Logarit của một lũy thừa: a > 0; b> 0, a≠ 1
( ) loga bα =αloga b
Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số
( ) 1
log n b log
Ví dụ 5 Cho loga b= 2;loga c= − 3 Hãy tính log x a , biết
a) x a b2 34
c
= b) x a23b
c
= c) x a= 23bc2
III ĐỔI CƠ SỐ:
Cho a > 0; b > 0; c>0, a≠ 1, c≠ 1
1
b c
Ví dụ a) Tính 36 1
6
1 log 2 log 3
2
− ; b)Cho log 32 =a;log 53 =b;log 27 =c Tính log6350
V LOGARIT THẬP PHÂN LOGARIT TỰ NHIÊN
1 Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là logarit thập phân của x và được kí hiệu là log x hoặc lg
Một ứng dụng quan trong của logarit thập phân trong các bài toán Casio
Rõ ràng khi x= 10n thì log x n= Còn với số x≥ 1 tùy ý, viết x trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là n+ 1, trong đó n là phần nguyên của log x, kí hiệu n=[logx].
Thật vậy, vì 10n là số tự nhiên bé nhất có n+ 1 chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x
bằng n+ 1 khi và chỉ khi 10n ≤ <x 10n+ 1, tức là n≤ logx n< + 1; điều này chứng tỏ n=[logx]
Ví dụ: Để tìm số các chữ số của 2 2008 khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log 2 là 0,3010 và ta được
[2008.log 2]+ = 1 [2008.0,3010]+ = 1 605 Vậy số 2 2008 có 605 chữ số
2 Lôgarit tự nhiên: Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Kí hiệu loge b=lnb
Trang 3B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1 Tính toán về logarit
Câu 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a2 =x, log b2 = y Tính ( )2 3
2
log
P= a b .
A P x y= 2 3 B P x= 2 +y3 C P= 6xy D P= 2x+ 3y
Lời giải Chọn D
( )2 3 2
log
log a log b
= + = 2log 2a+ 3log 2b= 2x+ 3y
Câu 2: Cho a b, > 0và a b, ≠ 1, biểu thức P= log a b3 logb a4 có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải Chọn B
log a .logb
P= b a =(6loga b) ( 4 logb a)= 24
Câu 3: Cho b là số thực dương khác 1 Tính
1
logb .
P= b b
.
2
2
4
P=
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
logb .
P= b b
5 2
logb b
= =25logb b 5
2
=
Câu 4: Cho a> 0, a≠ 1 Biểu thức aloga a2 bằng
Lời giải Chọn D
Ta có aloga a2 =a2loga a =a2
Câu 5: Giá trị biểu thức A= 2 log 9 log 5 4 + 2 là:
Lời giải Chọn B
Ta có A= 2 log 9 log 5 4 + 2 = 2 log 9 4 2 log 5 2 = 2 log 3 2 2 log 5 2 = 3.5 15 =
Câu 6: Cho a> 0,a≠ 1 Tính giá trị của biểu thức 3 3
1 log a
P
a
Lời giải Chọn A
Ta có: Thay số bất kỳ chẳng hạn a= 3 có ngay P= − 9
Trang 4Câu 7: Cho a>0,a≠1 Tính giá trị của biểu thức 3 3
1
P
a
Lời giải Chọn A
3
3 3
1
a
a
−
Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay a=2 rồi nhập biểu thức 3 3
1
a
÷
vào máy
bấm = ta được kết quả P= −9
2
log 4
a
a
I=
÷
.
2
2
I= − C I= 2 D I= − 2
Lời giải Chọn C
2 2
I= = = =
÷ ÷ ÷
Câu 9: Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
3
b
÷
3
3 log a 1 3log a 2 log b b
C
3
3 log a 1 3log a 2 log b
b
÷
3
3 log a 1 3log a 2log b b
Lời giải Chọn C
3 log a log 3a log b b
3
log 3 log a log b
3
log 3 log a log b
= + − = + 1 3log 3a− 2log 3 b.
Câu 10: Cho log 3 a= Tính log 9000 theo a
Lời giải Chọn D
Cách 1: log 9000 log 9 log1000 2 log 3 3 2 = + = + = a+ 3
Cách 2: Gán log 3 a= Tính log 9000 −(2a+ = 3) 0
Câu 11: Cho log 9 6 =a. Tính log 2 3 theo a
Trang 5A .
2
a a
2
a a
+
C a 2.
a
−
D 2 a.
a
−
Lời giải Chọn D
Ta có: log 9 2log 3 6 = 2.3
3
2 log 2.3
a
a
2 log 2 a.
a
−
loga b + loga b
Lời giải Chọn D
loga b + loga b 2log 1.4.log
2
= + = 4loga b.
Câu 13: Cho loga x= 2, logb x= 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1 Tính 2
loga
b
P= x.
6
− .
Lời giải Chọn B
Vì a, b là các số thực lớn hơn 1 nên ta có:
3
a b
=
2
2
b
b
P= x= x= − x= − x= −
Câu 14: Đặt a= log 3 2 và b= log 35 Hãy biểu diễn log 456 theo a và b
2 log 45 a ab
ab b
+
=
2 6
ab
−
2 log 45 a ab
ab
+
2 6
ab b
−
= + .
Lời giải Chọn A
( )
( )
2 3 6
3
log 5.3 log 45
log 2.3
3
log 5 2 log 2 1
+
= +
1 2
1 1
b a
+
= +
2
a ab
ab b
+
= + .
Câu 15: Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn a≠b, a≠ 1, loga b= 2 Tính log a 3
b
T= ba .
Lời giải Chọn D
Trang 6Ta có: log 2 log 1
2
a b= ⇒ b a=
log b a log a a
log b a log b b log a a log a b
3log 3 3 3log
3 1. 3 3 3.2 3
Câu 16: Với a= log 5 2 và b= log 5 3 , giá trị của log 5 6 bằng
A ab
a b ab
a b+ . D a b+ .
Lời giải Chọn A
Ta có 6
5
1 log 5 log 6
= log 2 log 35 1 5 1 11
a b
1 1 log 2 log 3
a b
+ + =a b ab
+ .
Câu 17: Biết log( )xy3 = 1 và log( )x y2 = 1, tìm log xy( )?
A log( ) 5
3
xy = . B log( ) 1
2
xy = . C log( ) 3
5
xy = . D log( )xy = 1.
Lời giải Chọn A
Ta có log( )xy3 = ⇔ 1 log( )xy + 2logy= 1, log( )x y2 = ⇔ 1 log( )xy + logx= 1
Vậy logx= 2 logy⇔ =x y2
Xét log( )xy3 = ⇔ 1 log(y y2 3)= ⇔ 1 5logy= ⇔ = 1 y 1015
5
b
−
( với 0< ≠a 1;0< ≠b 1).
Lời giải Chọn B
Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit
( )
1
2
a
a
b
−
Câu 19: Biết log 5 27 =a, log 7 8 =b, log 3 2 =c thì log 35 12 tính theo a b c, , bằng:
Trang 7A 3( )
2
b ac c
+
1
b ac c
+
2
b ac c
+
1
b ac c
+ +
Lời giải Chọn A
1
1
2
log 7.5 log 7 log 5 log 7 log 3.log 5 3 3 3
log 3.2
b ac
b c a
+ +
log a+ log b = 5 và 2
log a + log b= 7 thì giá trị của ab bằng
Lời giải Chọn A
Ta có:
2
3
b
Vậy ab= 2 9
Dạng 2 So sánh hai số logarit
Câu 1: Số nào trong các số sau lớn hơn 1
A 0,5
1 log
6
1 log
2
Lời giải Chọn A
Ta có:
1
3
1
−
3
log 125 log 5 = − = − < 3 1
1
2
6
log 36 log 6 = − = − <2 1,
1
Câu 2: Cho a, b là các số thực, thỏa mãn 0 < < <a 1 b, khẳng định nào sau đây đúng?
A logb a+ loga b< 0. B logb a> 1. C loga b> 0. D.
loga b+ logb a≥ 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì 0 < < <a 1 b nên logb a< log 1b ⇔ logb a< 0 và loga b< log 1a ⇔ loga b< 0.
Suy ra : logb a+ loga b< 0.
Trang 8Câu 3: Cho các số thực dương a b, thỏa mãn a≠ 1,b≠ 1 Điều kiện nào sau đây cho biết loga b> 0
?
A ab> 1 B (a− 1) (b− < 1) 0 C b< 1 D ab< 1
Lời giải Chọn C
, 0
a b> hoặc a2 +b2 = 14ab nVậy log 2(a b+ = +) 4 log 2a+ log 2b.
Câu 4: Cho các số thực a, b thỏa mãn 1 a b< < Khẳng định nào sau đây đúng?
loga b< < logb a. B 1 1 1
logb a< < loga b.
loga b logb a
loga b< logb a< .
Lời giải Chọn A
Vì 1 a b< < nên ta có logb a< logb b⇔ logb a< 1 và loga a< loga b ⇔ < 1 loga b.
Do đó logb a< < 1 loga b 1 1 1
loga b logb a
⇔ < < .
Câu 5: Cho 0 < < <a b 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A logb a> loga b. B logb a< loga b. C loga b> 1. D loga b< 0.
Lời giải Chọn A
Do 0 < <a 1 nên hàm số y= loga x nghịch biến trên (0;+∞).
Đáp án B sai, vì: Với b< 1 ⇒ loga b> log 1a ⇔ loga b> 0.
Đáp án D sai, vì: Với a< ⇒b loga a> loga b⇔ loga b< 1.
Với 0 < < <a b 1 ta có 0 log < a b< 1
log
a
b
< ⇔ < ⇔ > (vô lí).
Đáp án A đúng, vì: Nếu log log 1 log (log )2 1
log
a
b
> ⇔ > ⇔ < (luôn đúng).
3
> ÷
.
Lời giải Chọn C
Ta có: log 0,8 0 0,3 < ⇔ 0,8 0,3 > 0 ⇔ 0,8 1 > (sai)
Trang 9Câu 7: Cho các số thực dương a, b với a≠ 1 và loga b> 0 Khẳng định nào sau đây là đúng?
A < < <00<a b a, 1<1b. B 10 ,, 1
a b
a b
< <
<
a b
< < <
<
a b
< <
< < <
Lời giải Chọn B
Ta có:
0
0
1 1
a
a
b a b
a
b a
>
> =
> ⇔ < <
< < =
A log 3 π = 1. B ln 3 log e< 3 C log 5 log 4 3 > 7 D 1
2
log 2 0 > .
Lời giải Chọn C
Ta có: log 5 log 3 3 > 3 ⇒ log 5 1 3 >
log 4 log 7 < ⇒ log 4 1 <
Vậy:
log 5 log 4 > .
Câu 9: Cho a, b là các số thực thỏa mãn 0 < < <a b 1 Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Lời giải Chọn B
Vì 0 < < <a b 1 nên
logb a> logb b= 1 ⇒ A sai
⇔ +x 2y+ − = 5z 5 0 ⇒ logb a> loga b ⇒ B đúng, C sai
loga a> loga b ⇔ loga b< ⇒ 1 D sai
Câu 10: Cho hai số thực a b, thỏa mãn điều kiện 0 < < <a b 1 Khẳng định nào sau đây đúng?
A 1 log < a b< logb a B loga b< < 1 logb a C 1 log < b a< loga b D.
logb a< < 1 loga b
Lời giải
Chọn B
Do 0 < <a 1 nên với a b< ta có: 1 log = a a> loga b⇒ loga b< 1
Tương tự do 0 < <b 1 nên với a b< ta có: logb a> logb b= 1.
Vậy loga b< < 1 logb a.
Câu 11: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Nếu 0 a b< < thì e e
log a< log b. B Nếu 0 a b< < thì loga<logb.
C Nếu 0 a b< < thì lna< lnb D Nếu 0 a b< < thì logπ4a<logπ4b.
Lời giải
Trang 10Chọn D
Nếu 0 a b< < thì π π
log a> log b do π 1
4 < .
Câu 12: Gọi a= 3 log 0,5 4 ; b 3 = log 13 0,5 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A a< < 1 b. B b a< < 1. C a b< < 1. D b< < 1 a.
Lời giải Chọn C
Ta có a= 3 log 0,5 4 < 3 log 1 0,5 = 1, b= 3 log 13 0,5 < 3 log 1 0,5 = 1 (1)
Lại có 3 log 13 0,5 < 3 log 0,5 4 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ b a< < 1
Dạng 3 : Đẳng thức logarit
Câu 1: Giả sử x y, là các số thực dương Mệnh đề nào sau đây sai?
1
2
C log 2 x log 2x log 2y
y= − D log 2(x y+ ) = log 2x+ log 2 y
Lời giải Chọn D
Do log2x+log2 y=log2( )xy
Câu 2: Cho hai số thực dương a và b, với a≠ 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A loga2( )ab = + 2 2loga b. B 2( )
1
1 1
1
Lời giải Chọn C
Với a b, > 0 và a≠ 1, ta có 2( ) ( ) ( ) ( )
Câu 3: Với các số thực dương a,b bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A ln( )ab = lna+ lnb. B lna lnb lna
b= − C ln( )ab = ln lna b. D ln ln
ln
b= b
Lời giải Chọn A
Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây
A loga b loga b loga c
log
c a
c
a b
b
log
c a
c
b b
a
Lời giải Chọn B
Với các số thực dương a, b, c khác 1, ta có
Trang 11loga b loga b loga c
log log
log
c a
c
b b
a
= nên B sai và D đúng.
( ) loga bc = loga b+ loga c nên C đúng.
Câu 5: Giả sử ta có hệ thức a2 +b2 = 7ab (a b, > 0) Hệ thức nào sau đây là đúng?
A 2log 2(a b+ =) log 2a+ log 2b B 2log2 log2 log 2
3
a b
C log 2 2 log( 2 log 2 ).
3
a b
6
a b
Lời giải Chọn B
2log a b+ = log a+ log b⇔ log a b+ = log ab⇔ a b+ =ab⇔a +b = −ab
a b+ = a+ b⇔a b+ =ab⇔ a b+ = ab⇔a +b = ab
Câu 6: Cho a b, là các số thực dương thoả mãna2 +b2 = 14ab Khẳng định nào sau đây là sai?
a b+ = a+ b
B 2log 2(a b+ = +) 4 log 2a+ log 2b.
C 2log 4(a b+ = +) 4 log 2a+ log 2b. D 2log log log
4
a b+ = a+ b.
Lời giải Chọn C
4
a b
a +b = ab⇔ a b+ = ab + ab
⇔ ÷
a b+ = ab= a+ b
vậy A đúng
2log a b+ = log a b+ = log 16ab = + 4 log a+ log b vậy B đúng
2log a b+ = log a b+ = log 16ab = + 2 log a+ log b vậy C sai
4
a b
Cách 2:.
2log a b+ = + 4 log a+ log b⇔ log a b+ = 4log 4 log + ab
Câu 7: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 3loga+ 2 logb= 1 Mệnh đề nào sau đây đúng.
Lời giải Chọn C
Ta có: 3loga+ 2 logb= 1 ⇔ loga3 + logb2 = 1 ⇔ log( )a b3 2 = 1 ⇔a b3 2 = 10
Câu 8: Với các số thực dương a, b bất kỳ Mệnh đề nào dưới đây sai?
A log29a32 2 2log2a 3log2b
Trang 12C log9a3 2log 3 2loga 3logb
Hướngdẫngiải Chọn A.
9 log a log 9a log b
log 9 log a log b 2 log 3 2log a 3 log b
Vậy B, C, D đúng
Câu 9: Với các số thực dương a,b bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A ln( )ab = lna+ lnb. B lna lnb lna
b= − C ln( )ab = ln lna b. D ln ln
ln
b= b
Lời giải Chọn A
Câu 10: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây
A loga b loga b loga c
log
c a
c
a b
b
log
c a
c
b b
a
Lời giải Chọn B
Với các số thực dương a, b, c khác 1, ta có
loga b loga b loga c
log log
log
c a
c
b b
a
= nên B sai và D đúng.
( ) loga bc = loga b+ loga c nên C đúng.
2
loga
P= b với 0 < ≠a 1 và b< 0 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A P= − 2loga( )−b . B P= 2 loga( )−b . C 1log ( )
P= − −b D 1log ( )
P= −b
Lời giải
Chọn D
a
P= b = b= −b (Do 0 < ≠a 1 và b< 0)
Câu 12: Cho a> 0, b> 0 và a2 +b2 = 7ab Chọn mệnh đề đúng
2
a b+ = a+ b
2
a b+ = a+ b
Lời giải
Chọn C
Với a> 0, b> 0, ta có 2 2 ( )2
a +b = ab⇔ a b+ = ab
Trang 13( )
a b+ ab a b+ ab
1
Câu 13: Cho các số a b, > 0 thỏa mãn a2 +b2 = 14ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A log 2(a b+ = +) 4 log 2a+ log 2b. B ( )2 ( )
log a b+ = 4 log a+ log b
C log 2 2 log( 2 log 2 )
4
a b
+
1
a b
+
Lời giải Chọn A
4
a b
a +b = ab⇔a + +b ab= ab⇔ a b+ = ab⇔ + =ab
2
4
2
log a b 4 log a log b
4
1
y
− − = , với y> 0,y>x Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
Lời giải Chọn C
Ta có 1( ) 4
4
1
y
− − = ⇔ − log 4(y x− +) log 4 y= 1 ⇔ log 4y= + 1 log 4(y x− )
log y log 4. y x
⇔ = − ⇔ =y 4(y x− ) 3
4
Câu 15: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a2 +b2 = 8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A log( ) 1(log log )
2
a b+ = a+ b B log(a b+ = + ) 1 loga+ logb
C log( ) 1(1 log log )
2
2
a b+ = + a+ b
Lời giải Chọn C
Ta có a2 +b2 = 8ab ( )2
2ab 8
10
Hay ta có ( )2
log a b+ = log10ab ⇔ 2log(a b+ = +) 1 loga+ logb log( ) 1(1 log log )
2
log x +y = + 1 log xy, với xy> 0 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải Chọn C
Ta có ( 2 2)
log x +y = + 1 log xy ( 2 2)
log x y log 2xy
⇔ + = ⇔x2 +y2 = 2xy ( )2
0
x y
⇔ − = ⇔ =x y.
Câu 17: Cho log x= 2,log x= 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1 TínhP=loga x.
Trang 14A P= − 6 B P=16 C P= −16 D P= 6.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:loga x= 2,logb x= 3
3
a b
b b
−
2
b b
P= x= − x= − x= − = − .
Cách 2:loga x= ⇒ = 2 x a2 > 1 loga x= 2,logb x= 3 log 1
2
x a
⇒ = , log 1
3
x b= .
2
log 2 log
a
b
x
b
2
2 log log
P= a− b ta được
2
log 2
2
log
2 2
log a
P
b
2
P
b
.
Lời giải
Chọn B
2
2 log log
log a log b
2
log ab
2014
Câu 19: Với các số thực dương a, b bất kì, đặt
0,3 10
a M b
−
= ÷
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
2
M = − a− b.
C logM = − 3loga+ 2 logb D logM = 3loga+ 2logb
Hướngdẫngiải Chọn A.
0,3 10
a M
b
−
= ÷
0,3 10 5 3
a b
−
÷
=
÷
3 0,5
a b
−
−
=
3
0,5
1
2
a
b
−
−
Câu 20: Cho a,b> 0,a≠ 1,a b≠ 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai.
1 log
ab
a
a
b
=
1
a
a
b
Lời giải
Trang 15Chọn C
log
ab
a
( )1 1
2
1 2
a
Câu 21: Cho các số thực dương a x y, , ; a khác 1 Đẳng thức nào sau đây đúng?
log 10
a a
x
log e
a a
x
x= . C log log
ln10
a x
x= D log log
log
x a x
a
Lời giải Chọn A
Ta có log log
log 10
a a x