7 phương trình tích đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 DẠNG 3 5 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặ[.]

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

DẠNG 3 5 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường thặp ( PT cơ bản, PT thuần nhất đối với 1 hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất đối với sin , cosx x thì các

bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh gần đây

Một số điểm chú ý

- Các biểu thức 1sin x2 ; cos x2 ; 1tan x; 1cot x; sin3xcos3x

; cos4xsin4x

;

cos3xsin3x; tanxcotx; sin x   



2

4 thường có nhân tử chung là: sinxcosx

- Các biểu thức 1sin x2 ; cos x2 ; 1tan x; 1cot x; cos3xsin3x

; cos4xsin4x

;

cos3xsin3x; tanxcotx; sin x   



2

4 thường có nhân tử chung là: sinxcosx

- Các biểu thức sin x3 ; sin x2 ; tan x2 thường có nhân tử chung là 1cos x hoặc 1cos x

- Các biểu thức cos x3 ; cos x2 ; cot x2 thường có nhân tử chung là 1sin x hoặc 1sin x

A Bài tập tự luận

Câu 1 Giải các phương trình sau

a) sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

b) 1 cos xcos 2xcos 3x0

c) cos 2xcos 8xcos 6x 1

d) sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

Lời giải

a) sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 xsin 32 xsin 52 xcos 42 xcos 62 x

sin 3x sin 5xsin 3x sin 5x cos 4x cos 6xcos 4x cos 6x

2 cos 4 sinx x 2 sin 4 cosx x 2 sin 5 sinx x 2 cos 5 cosx x

sin 8 sin 2x x sin10 sin 2x x

2 sin 2 sin 9 cosx x x 0

sin 9 0

9

x k x

k x

x k



















b) 1 cos xcos 2xcos 3x01 cos xcos 2xcos 2 xx0

1 cosx cos 2x cos 2 cosx x sin 2 sinx x 0

1 cosx cos 2 1 cosx x 1 cos x cosx 0

Bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP - LỜI GIẢI CHI TIẾT

• Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

1 cosx 1 cos 2x 1 cosxcosx 0

1 cosx 1 cos 2x cosx cos x 0

1 cosxcosx3cosx 1 0

cos

3

x







c) cos 2xcos 8xcos 6x1cos 6xcos 8x 1 cos 2x

 

2 sin x sin 7x 1 cos 2x

     sin sin 7x xsin2xsin sin 7x  xsinx0

sin 2 cos 4 sin 3x x x 0

cos 4 0

x k x

x





 







d) sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

2 sin 2 cosx x 2 cos cos 2x x sin 2x cos 2x 0

2 cosx 1 sin 2 x cos 2x 0

2

, 2

cos 3 0

x

k x

 



a) sin 2xcos 2x7 sinx2 cosx 4

b) 2 cos6xsin4xcos 2x0

c) 4 sin 2x3cos 2x3 4 sin x1

d) cos 2x3sin 2x5 sinx3 cosx 3

Lời giải

a) sin 2xcos 2x7 sinx2 cosx4 4sin cosx x 1 2sin2x7 sinx2cosx 4 0

2 cosx 2 sinx 1 2 sin x 7 sinx 3 0

2 cosx 2 sinx 1 2 sinx 1 sinx 3 0

Vì 2 cosxsinx  vô nghiệm nên 3 0 sin 1

2

2 6

, 5

2 6

k















b) 2 cos6xsin4xcos 2x02 1 sin  2x3sin4x 1 2 sin2x 0

2 1 3sin x 3sin x sin x sin x 1 2sin x 0

2sin x 7 sin x 8sin x 3 0

      Đặt tsin2x Điều kiện 0 t 1

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Phương trình theo t là: 2t37t28t 3 0

 

3 2 1

2

t







 

  





2



c) 4 sin 2x3 cos 2x3 4 sin x1  2 

8sin cosx x 3 1 2sin x 12sinx 3

2

4sin cosx x 3sin x 6sinx

   sin 4 cosx x3sinx60

Vì 4 cosx3sinx6 vô nghiệm do 2 2 2

4 3 6 nên sinx0 xk, k  

d) cos 2x3sin 2x5 sinx3 cosx3 1 2sin2x6sin cosx x5sinx3cosx 3 0

3cosx 2 sinx 1 2 sin x 5 sinx 2 0

      3 cosx2 sinx1  sinx22 sinx1 0

2 sinx 1 3cos x sinx 2 0

2

5 2

2 6











a) sin 3 sin 5

5sin

x

x 

Lời giải

a) sin 3 sin 5

 5 sin 3x3sin 5x 4 sin 3 xsin 5xsin 3xsin 5x0

 

8 cos 4 sinx x 2 sin 4 cosx x 0

4 cos 4 sinx x 2 sin 2 cos 2 cosx x x

  cos 4 sinx xsin cos 2 cosx x 2x

sin 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 0

2

sinx 3cos 2x cos 2x 2 0

cos 2

3

x

x x



 





,

arccos

x k

k













b) sin 5 1

5.sin

x

x  Điều kiện sinx0 xk, k  

sin 5x 5 sinx

  sin 5xsinx4 sinx

2 cos 3 sin 2x x 4 sinx

  sinxcos 3 cosx x1 0

cos 3 cosx x 1 4 cos x3cosx cosx1

 

2

1

4

cos 1



 







 Phương trình vô nghiệm

Trang 4

a) sin 2 2 cos sin 1

0

x



1 sin 2 cos 2

2 sin sin 2

1 cot

x





Lời giải

a) sin 2 2 cos sin 1

0

x



cos 0

x x









sin 2x 2 cosx sinx 1 0

     2 cosxsinx1  sinx1 0

sinx 1 2 cos x 1 0

, 2

2

x

k





  











Do điều kiện nên phương trình có nghiệm là 2 ,  

3



b) 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



 Điều kiện sinx0 xk, k  

sin x 1 sin 2x cos 2x 2 2 sin x.cosx

cos 0

x





 



2 4

4

k x









 (Thoả mãn ĐK)

a) tanxcotx2 sin 2 xcos 2x b) tan2xtan tan 3x x2

Lời giải

a) tanxcotx2 sin 2 xcos 2x Điều kiện: sin 0 ,  

x















sin cos

2 sin 2 cos 2 cos sin

sin 2x sin 2x cos 2x 1

   sin 22 xsin 2 cos 2x x 1 0

2

sin 2 cos 2x x cos 2x 0

   cos 2xsin 2xcos 2x 0

cos 2 0 sin 2 cos 2 0

x







cos 2 0

2

x









4

,

k







  



 (TM điều kiện)

b) tan2xtan tan 3x x2 Điều kiện cos 0 cos 3 0 ,  

x













sin sin sin 3

2 cos cos cos 3

sinx sin cos 3x x cos sin 3x x 2 cos x.cos 3x

sin sinx 2x 2 cos x.cos 3x

    2sin2x.cosx2 cos2x.cos 3x0

2

sin x cos cos 3x x 0

Trang 5

a) sin2 tan2 cos2 0

x



Lời giải

a) sin2 tan2 cos2 0

x



2



2 2

x



2 2

1 sin 1 cos

1 sin

x x



2

1 cos

1 sin

x

x x



1 cos

x x

x





1 cosxsinx cosx 0

x

 



2 , 4

k







   



 (TM ĐK)

b) sin 2xcotxtan 2x4 cos2x Điều kiện sin 0

cos 2 0

x x











2

cos sin 2

sin cos 2

2

cos

sin cos 2

x

2

2cos

4cos 0 cos 2

x

x x

cos 2

x

1 cos 2

2

x x











2

, 6

k







   



 (Thoả mãn ĐK)

cot tan

16 1 cos 4 cos 2

x x



sin 2

x

Lời giải

a) sin2 tan2 cos2 0

x



x















cos sin sin cos

16 1 cos 4 cos 2

x x



4 cos 2 sin 2 16 1 cos 4 cos 2

x

4 1 cos 4x sin 2x 1

2

1 cos 4

2

x

cos 8x 0

x  k k

b) 2 tan cot 2 2sin 2 1

sin 2

x

cos 2 0

x x











Trang 6

x

    4sin2xcos 2x2sin 22 x1

4sin x 1 2sin x 8sin x.cos x 1

sin x 1 2 1 cos 2x 0

 

sin 0

1 cos 2

2











, 3



a) 3sin tan 2 1 cos  0

tan sin

x





tan sin 1 sin tan

x



Lời giải

a) 3sin tan 2 1 cos  0

tan sin

x



sin 2 0

x









3 sin tan cot

tan sin cot

x





3 cos 1

2 1 cos 0

1 cos

x

x x





1 cos

x



1 2 cos 0

x x





 

cos 1

1

2

 









2

2 , 3



tan sin 1 sin tan

x

x x











1 sin

x



1 cos x 1 sinx 2sin x 1 sinx 1 sin x 2sin x

1 cos x 1 sinx 1 sinx cos x 2sin x 1 sinx

1 sinxcos 2x 0

 

sin 1 cos 2 0

 



 



x  k k

2 sin sin 2

Lời giải

a) cos 3 tan 5x xsin 7x Điều kiện: cos 5x 0

sin 5

cos 5

x

  sin 5 cos 3x xsin 7 cos 5x x

sin 8 sin 2 sin12 sin 2

x k

k













Trang 7

Thử lại:

2

x k



    loại nếu k lẻ

x  k 

4 k2

2 sin sin 2

x x











2

sin 2x sin 2 sinx x cosx 1 2cos 2x

4cos x.sin x 2cos sinx x cosx 1 4cos x 0

4 cos x 1 cos x 2 cosx 1 cos x cosx 1 4 cos x 0

4cos x 2cos x cosx 1 0

2cos x 1 2 cos x cosx 1 0

Vì 2 cos2xcosx 1 0 x nên 2 cos2x  1 0cos 2x0 ,  

x  k k

Câu 10 Giải các phương trình sau

a) tan2x.cot 2 cot 32 x xtan2xcot 22 xcot 3x

b) cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

Lời giải

a) tan2x.cot 2 cot 3x xtan2xcot 22 xcot 3x Điều kiện:

sin 2 0 sin 2 0

sin 3 0 sin 3 0

x

x x















cot 3x tan x.cot 2x 1 tan x cot 2x

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 2 1 cos 4

x

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 2 1 cos 4 cot 3

x

2 cos 4 2 cos 2 2 cos 4 2 cos 2 cot 3

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 2 1 cos 4

x

cos 3

sin 3

x

cos 3 0 sin cos

x





4

k







  





b) cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

sin 0 cos 0 2 cos 0

x x x

















sin 2 0

,

2

x













Trang 8

sin

2

x

cos cos sin sin

2

x x

x



cos

2

x x x

x



cos sin

4 sin cos

   4 sin cosx x 1

1 sin 2

2

x

5 12

k











B Bài tập trắc nghiệm

Câu 11 Giải phương trình sin 3x4sin cos 2x x0

A

2 3 2 3

k x









   



4

k x









   



C

2 3

x k









   



D

6

x k









   



Lời giải Cách 1: ĐK: x   (*)

Phương trình sinx3 4 sin 2x4 sin cos 2x x0

1 cos 2 sin 3 4 4 cos 2 0 sin 1 2 cos 2 0

2

x

sin 0

1

k

 thỏa mãn (*)

Cách 2: Phương trình sin 3x2 sin 3 xsinx0

sin 3x 2 sinx 0

sinx 4 sin x 1 0

sinx 1 2 cos 2x 0

6

x k











   



Câu 12 Tập tất cả các nghiệm của phương trình sin 2x2sin2x6sinx2 cosx 4 0 là

3

2

x  k , k  

2

x k, k  

Lời giải Cách 1:

Ta có: sin 2x2sin2x6sinx2 cosx 4 0

2sin cosx x 2 cosx 2sin x 6sinx 4 0

2 cosx sinx 1 2 sinx 2 sinx 1 0

Trang 9

x





2 2

4











2 2

x  k 

   , k  

Câu 13 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos 3x trên đường tròn lượng giác ta 0

được số điểm cuối là

A 6 B 5 C 4 D 2

Lời giải

Ta có cosxcos 2xcos 3x0cos 3xcosxcos 2x0

2 cos 2 cosx x cos 2x 0 cos 2x 2 cosx 1 0

2

cos 2 0

1

cos

x







Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos 3x trên đường tròn lượng giác 0

ta được số điểm cuối là 6

Câu 14 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 5 cos 7x xcos 4 sin 8x x trên 0; 2 bằng

A 19

3



2



Lời giải

Ta có phương trình sin 5 cos 7x xcos 4 sin 8x x 1sin12 sin 2  1sin12 sin 4 

sin 4x sin 2x 0

x x







3 2

k x









 

  



 I

Vì x0; 2nên từ  I suy ra 2 4 5 3

, , , , , ,



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 2 4 5 3

7

Câu 15 Phương trình sin 2x3 cosx0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;

Lời giải

sin 2x3 cosx0 2 sin cosx x3 cosx0 cos 2 sinx  x30

2 3

sin

2 loai vì sin 1;1







 





2

x  k x

Trang 10

Câu 16 Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;13  của phương trình 2cos3xcos2xcos 2x0

Tính tổng các phần tử của S

A 380

3



B 420

3



3



Lời giải

2cos xcos xcos 2x02cos3xcos2x2cos2x 1 0

2cos x 3cos x 1 0

1

x x





 







 



2 , 3

2

k





  



 





Vì x0;13  nên

Vậy tổng các phần tử của S là: 400

3



Câu 17 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 3xcos 2x9sinx 4 0 trên khoảng 0;3 là

A 5 B 11

3



6



Lời giải

cos 3xcos 2x9sinx  4 0 4 cos x3cosx 1 2sin x 9sinx 4 0

cosx 4 1 sin x 3 2 sin x 9 sinx 5 0

cosx 2sinx 1 2sinx 1 2sinx 1 sinx 5 0

2sinx 1 2sin cosx x cosx sinx 5 0 (*)

4

  ; 2sin cosx x sin 2x 1 nên: 2sin cosx xcosxsinx 5 sinxcosxsin 2x  5 4 20

2

(*) 2 sin 1 0 sin

5 2

2 6









k  

6



 0;1 ;13

2 6



 0;1 5 ;17

Tập nghiệm của phương trình đã cho là: ;5 ;13 ;17

S    

Tổng tất cả các nghiệm là 6

Trang 11

2 sinx1 3 tanx2 sinx  3 4 cos x Gọi T là tập hợp các nghiệm

thuộc đoạn 0; 20  của phương trình trên Tính tổng các phần tử của T

A 570

3 

Lời giải

2



x k k Z

Phương trình đã cho tương đương với 2 sinx1  3 tanx2 sinx4 sin2x1

2 sin 1  3 tan 1 0

1 sin 2 1 tan

3











x x

2 6 5 2 6 6









5 2 6 6







 

  



, k  (thỏa mãn điều kiện)

*Trường hợp 1: Với 5 2

6



x k , k   1

6





 k Mà k  nên k0; 1; 2 ; 9

 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của họ nghiệm  1 là:

9 1

0

5 2 6







k

3



*Trường hợp 2: Với

6



x k , k   2

6





 k Mà k  nên k0;1; 2 ;19

 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của họ nghiệm  2 là:

19 2

0

580







k

Vậy tổng các phần tử của T là 1 2 875

3 

Câu 19 Số nghiệm của phương trình 2 sin 22 xcos 2x  trong 1 0 0; 2018 là

A 1008 B 2018 C 2017 D 1009

Lời giải

Ta có 2 sin 22 xcos 2x 1 0 8sin2xcos2x2 cos2x0

2

Bài ra x 0; 2018 nên  0; 2018  0; 1; 2; 3; ; 2017



Do đó số nghiệm của phương trình 2 sin 22 xcos 2x  trong 1 0 0; 2018 là 2018

Trang 12

Câu 20 Số nghiệm của phương trình sinx4 cosx 2 sin 2x trong khoảng 0;5  là:

Lời giải

sinx4 cosx 2 sin 2x

sinx 2 2sin cosx x 4 cosx

sinx 2 2 cosx sinx 2

sinx 2 1 2 cos x 0

 

sin 2

2 1

3 cos

2

x













0;5  ;5 ;7 ;11 ;13

Vậy phương trình có 5 nghiệm trong khoảng 0;5 

Câu 21 Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình  6 6  1

8cot 2 sin cos sin 4

2

x x x  x trên đường tròn lượng giác là :

Lời giải

Điều kiện sin 2x 0

 6 6  1 8cot 2 sin cos sin 4

2

x x x  x 8.cos 2 5 3cos 4 1.2sin 2 cos 2

x

cos 2x 9 7 cos 4x 0

x  k k

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4

Câu 22 Số nghiệm thuộc 3

; 2



  của phương trình

3

2

Lời giải

2

  3 sinxsin 2 x

3 sinx sin 2x 3 sinx 2 sin cosx x

y

4



5 4

4



3 4



Trang 13

5

2

6

x







k   

; 2

x   

3

2

k   k  x 

         

Do đó số nghiệm thuộc 3

; 2



của phương trình đã cho là 2

Câu 23 Số nghiệm thuộc khoảng 4

;

3 2

 

  của phương trình cos  3 sin sin 3

2

  là

Lời giải

Ta có:

2

   cosx 3 sinx cos 3x

2 sin 2 sinx x 3 sinx 0

    sinx2 sin 2x 3 0

3 sin 2

2

x x









3

x k





 





, k  

 Với xk , trên nửa khoảng 4

;

3 2

 

  ta có:

4



3 k 2

   

 1; 0

k

   Suy ra các nghiệm là x  , x 0

 Với

6

x k, trên nửa khoảng 4

;

3 2

 

  ta có:

4



2 k 3

   

 1; 0

k

   Suy ra các nghiệm là 5

6

x   ,

6

x

 Với

3



  , trên nửa khoảng 4

;

3 2

 



 ta có:

4



3 k 6

   

 1; 0

k

   Suy ra các nghiệm là 2

3

x   ,

3

x Suy ra số nghiệm trên nửa khoảng 4

;

3 2

 



 của phương trình là 6

Câu 24 Với    x  số nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos 3xcos 4x0 là

Trang 14

Phương trình cos 4xcos 2x  cos 3xcosx02 cos 3 cosx x2 cos 2 cosx x0

2

x







, k   

Do    x  nên:

2

x





 



 



3

;

5

x k

x



 





 



  



Câu 25 Phương trình   2

1 cos 4 x sin 2x3 cos 2x có tổng các nghiệm trong đoạn 0; là:

A

3



2



3



Lời giải

1 cos 4 x sin 2x3 cos 2x 2 cos 2 sin 22 x x3cos 22 x0

2

cos 2x 2 sin 2x 3 0 cos 2x 0

x  k x  k k



Vậy tổng các nghiệm bằng 3



 

Câu 26 Tìm số nghiệm của phương trình 2  

3sin 2xcos 2x 1 0, x 0; 4

Lời giải Chọn D

3sin 2xcos 2x1=0,x 0; 4 12sin x.cos x2sin x0

2

6 cos

6

(1) (2) 6 cos

1 co

( 6

s = 6

3)

x x

x x x













 



Họ nghiệm xk có 4 nghiệm trong 0; 4 

Tiêu đề	Một số phương trình lượng giác thường gặp
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu tự học

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	498,06 KB