5 phương trình đẳng cấp đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 3 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d   (1) 2 2[.]

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

3 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Nhận dạng:

.sin sin cos cos

a xb x xc xd (1)

.cos sin cos sin

a xb x xc xd

B – Phương pháp làm

Cách 1:

+ Nếu cosx 0 sin2x thì 1 ad0 (1), nếu (1) đúng thì cosx 0 là nghiệm của (1), ngược lại cosx 0

+ Xét cosx  0 tanx Chia hai vế của phương trình (1) cho 2

cos x , ta được:

2

(1)

Cách 2:

2

sin cos sin 2

2

x x x ta được phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x

A Câu tập tự luận

Câu 1 Giải các phương trình sau:

2sin x 3 3 sin cosx x 3 1 cos x  1

sin sin 2 2 cos

2

3 4sin2x3 3 sin 2x2 cos2x 4

sin 3 sin cos 2 cos

2

Lời giải

2sin x 3 3 sin cosx x 3 1 cos x  1

Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2

cos x ta được:

2

1

cos

tan

x



 







sin sin 2 2cos

2

Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho cos x2 ta được:

Bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP - LỜI GIẢI CHI TIẾT

• Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

2

2 tan 4 tan 4 tan 1 0

tan 4 tan 5 0

tan 1

4 tan 5 tan













3 4sin2x3 3sin 2x2cos2x4

4 tan 6 3 tan 2 4 tan 1 0

6 3 tan 6

1 tan

6 3

x



2

2 tan 2 3 tan 4 3 2 tan 1 0

1 2 tan 2 3 tan 1 2 0

2 1 2







 





Câu 2 Giải các phương trình sau:

1 sinxcos 2x2 cos2x0

2 sin2x3sin cosx x 1 0

3 8cos3 cos 3

3

Lời giải

sinxcos 2x2cos x 0

2

sin 1 2sin 2 1 sin 0

4sin sin 3 0

2

2 3

2 4

x



 









   







2 sin2x3sin cosx x 1 0

2

2 tan 3 tan 1 0

tan 1

4 1

2

x

k x



 







Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

3 8cos3 cos 3

3

3 3

3

3 cos 3 sin 4cos 3cos

4 cos 3 sin 4cos 0



2

cos cos

4 3 tan tan 1 4 tan 1 0

3 tan 4 tan 3 tan 0

2 tan 0

3 1

tan

x

x k x

x

k x











  













1 cos2x 3 sin 2x 1 sin2x (*)

2 cos3x4sin3x3cos sinx 2xsinx0 (*)

3 3cos4x4sin2xcos2xsin4x0 (*)

Lời giải

2

x k k x  x   phương trình vô nghiệm

Do cosx 0 không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho cos2x 0

(*)

cos 2 3 sin cos 1 sin

2

1 2 3 tan 1 tan tan

,

3

x k

k l







  



2

Do cosx 0 không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho 3

cos x 0, ta được:

(*)

1 4 tan x 3 tan x tanx 1 tan x 0

3 tan x 3 tan x tanx 1 0

Trang 4

2

3tan tan 1 tan 1 0

tan 1 3 tan 1 0

4

, 3

tan

k l





 





2

Do cosx 0 không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho cos4x 0, ta được:

2

tan 3

3

x x

x





  



 





Câu 4 Giải các phương trình sau

a) sin 3xcos3x2 cosx0

b) sinx4 sin3xcosx 0

c) cos3xsin3xsinxcosx

d) 2 sin3xcos sinx 2x2 cos2x.sinxcos3x 0

Lời giải

a) PT 3sinx4 sin3x4 cos3x3cosx0, nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của PT, chia hai vế cho cos x3 ta được: 4 tan3 4 12 3 sin3 0

x x

4 tan x 4 1 tan x 3 tanx 1 tan x 0

tan x tan x 3 tanx 3 0

x x

 



 

 



4 , 3

k





  



   





b) Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của PT, chia hai vế cho cos x ta được: 3

3

x

tanx 1 tan x 4 tan x 1 tan x 0

3 tan x tan x tanx 1 0

4



    

c) PT cosxsinxcos2xcos sinx xsin2x 0 cos2 sin 0 2





 cos sin

1

2

x







4 sin 2 4





 







 

x  k



d) Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho cos x3 được:

2 tan xtan x2 tanx  1 0 tan 1

2

x

2

  xk

sinxcosx4 sin cosx x

b) sin 2x2 tanx3

6 sin 2 cos

2 cos 2

x

Trang 5

sin cos sin 2 cos 2 cos 2

Lời giải

a) Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho cos x3 được:

4

x x  x tan 1 tanx  2x  1 tan 2x4 tanx

tan x tan x 3 tanx 1 0

x

 







tan tan

4 tan tan tan 1 2 tan tan tan 1 2

x x x



  





4 ,





  



  





b) ĐK cosx 0 PT 2 sin cos 2.sin 3

cos

x

   2 sin cosx 2x2 sinx3 cosx

2 sinx cosx cos 1 2sin cosx x x

2 sinx cosx cos sinx x cosx

sinx cosx2 cosxsinx cosx 0



 



2

4 2

tan 1 0 cos

x

x x









2

4

2 tan tan 3 0

x







c) ĐK cos 2 0

    PT 6 sin 2 cos3 5.2 sin 2 cos 2 cos

2 cos 2

x

6 sinx 2 cos x 10 sin cosx x

6 tan 1 tanx x 2 10 tanx

    3 tan3x2 tanx 1 0 tanx1

4

x  k



   So với

ĐK khi

4 k 4 l2



2

l k

  luôn luôn tồn tại số nguyên l thoả mãn Vậy phại loại tất cả nghiệm, nên PT vô nghiệm

d) PT

2

sin 2 cos 2 cos 2

1 2 cos 2x cos 2x 1 2 cos 2x cos 2x 5sin 2 cos 2x x cos 2x 6

2 3cos 2x 5 sin 2 cos 2x x 4 0

Nhận thấy cos 2x 0 không phải là nghiệm PT, chia hai vế PT cho 2

cos 2x được:

2

cos 2 cos 2

x

    3 5 tan 2x4 1 tan 2  2 x 0  4 tan 22 x5 tan 2x 1 0

tan 2 1

1 tan 2

4

x x











2 4

1

4





 



 



,

k



 



  





a) 2 3 cos2x6 sin cosx x 3 3

b) sin3 2 sin

4

Lời giải

Trang 6

a) Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho cos x được: 2

2 3 6 tan x 3 3 1 tan x   2

3 3 tan x 6 tanx 3 3 0

tan

x x











4

,

, tan

k





 









b) PT 2 2 sin3 4 sin

4

3

4

    

sinx cosx3 4 sinx

Nhận thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho 3

cos x được:

tanx1 4 tan 1 tanx  x 3 tan3x3 tan2xtanx 1 0 tanx1

, 4



Câu 7 Giải phương trình sau:

1 sin 2x2 tanx3 (*)

2 sin sin 2x xsin 3x6cos3x (*)

3 sin 3xcos3x2cosx0 (1)

Lời giải

2

(*) 2sin cos2 2 tan 1 3 12

x

2 tan 2 tan 1 tan 3 1 tan

2 tan 3 tan 4 tan 3 0

4



2

(*)

2sin sin cos 3sin 4sin 6cos



2 tan 3 tan tan 1 4 tan 6 0

tan 2 tan 3 tan 6 0

tan 2 tan

,

3

x

k l

x





 



 

   

 





3 (1) 3sinx4sin3x4 cos3x3cosx2cosx 0

3sinx 4sin x 4 cos x cosx 0

2

Trang 7

(*)

3tan 1 tan 4 tan 4 1 tan 0

3

x





  



 







6 sin 2 cos

2 cos 2

x

sinx4 sin xcosx (*) 0

tan sinx x2 sin x3cos 2xsin cosx x (*)

Lời giải

1 Điều kiện: cos 2x0cos2xsin2x0tan2x 1 tanx 1 

(1) 6sin 2cos3 10sin 2 cos 2 cos

2 cos 2

x

6sinx 2 cos x 10sin cosx x

2

cos x  , ta được: 0 (*)

sin 1 cos 10sin cos

6 tanx tan x 1 2 10 tanx 0

3

6 tan x 4 tanx 2 0 tanx 1

      (loại)  phương trình vô nghiệm

2

(*)

3

cos cos cos cos cos

tan 1 tan 4 tan 1 tan 0

4



3 Điều kiện: cosx 0 

Do cosx 0 nên chia hai vế (*) cho 2

(*)

x

tan 2 tan 3 1 tan tan 0

3

x





  



 







Thay vào , họ nghiệm phương trình là: ; ,

        

cos xsinx3sin xcosx0

Trang 8

2 sin2xtanx13sin cosx xsinx3

2

3



   

Lời giải

2

Do cosx 0 không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho cos3x 0, ta được: (*)

cos cos cos cos cos

2 2

1 tan tan 1 3tan 0

2 tan tan 1 0

tan 1

, 4

1

2

x

k l x







 



2 Điều kiện: cosx 0

Do cosx 0 nên chia hai vế (*) cho cos2x 0, ta được:

x



tan tan 1 3tan 3tan 3 1 tan

tan tan 3tan 3tan 3tan 3 0

3

x





  



 







3 (1) cos 22 x 3 sin 4x 1 sin 22 x (*)

        phương trình vô nghiệm

Do cos 2x 0 không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho 2

cos 2x  , ta được: 0 (*)

cos 2 2 3 sin 2 cos 2 1 sin 2

2

1 2 3 tan 2 1 tan 2 tan 2

2 tan 2 2 3 tan 2 0

2

, 2

tan 2 3

3

x

k l







   





Câu 10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Lời giải

2

Nếu m  1 PT 6 cos 1 0 cos 1

6

Trang 9

Nếu m 1 1mcos2x2m2 cos xm 2 0 *  là phương trình bậc 2 với ẩn là cos x Đặt     2  

f t  m t  m tm

Để phương trình có nghiệm thì phương trình f t   0 *  phảo có nghiệm thuộc đoạn 1;1

Cách 1:

Nhận thấy phương trình (*) có   m22m1m20, m  f t 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt

TH1: Cả 2 nghiệm của phương trình (*) đều nằm trong đoạn [-1;1] điều này tương đương với điều kiện sau:

   

2 1 2

m S

m









       

2

1

0 1

1

2

3

2

m

m m

m













 Hệ vô nghiệm  không tồn tại giá trị nào của m để cả 2 nghiệm của phương trình (*) nằm trong đoạn 1;1

TH2: Phương trình (*) có 1 nghiệm trong đoạn [-1;1] và 1 nghiệm nằm ngoài đoạn [-1;1]

   

        

(Các em giải điều kiện trên sẽ tìm ra điều kiện của m)

Cách 2:

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là   0m22m1m2 luôn đúng với 0 mọi x thuộc TXĐ

Phương trình (*) có nghiệm

2 1

1

t

m



2 2

1

t

m



1, 2 1;1

t t  

2

1

m



 





Giải hệ bất phương trình trên ta sẽ tìm được điều kiện của m

Câu 11 Giải phương trình sau: cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x



Trang 10

Điều kiện:

sin 0

sin 2 0 cos 0

x

x x











 





2 2 cos sin cos sin cos 2 cos sin

cos cos sin

x





1 cos sin cos sin sin cos sin

x

2

cos sin

1 2sin cos sin

cos sin

sin

1

sin sin cos sin sin cos 1 0 sin cos 0

sin sin cos 1

0

x











 

2

sin cos tan tan 1 tan 0 tan 1

,

x







 











Thay vào , họ nghiệm phương trình: ,

4



B Bài tập trắc nghiệm

Câu 12 Khi đặt ttanx thì phương trình 2sin2x3sin cosx x2cos2x1 trở thành phương trình nào

sau đây?

A 2t23t 1 0 B 3t23t 1 0 C 2t23t 3 0 D t23t 3 0

Lời giải Chọn D

Do cosx 0không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos2x 0ta có

2 tan x3tanx  2 1 tan xtan x3tanx 3 0

Đặt ttanx thì ta có phương trình t23t 3 0

Câu 13 Giải phương trình 2 sin2x 3 sin 2x 3

3



3



3



3



Lời giải Cách 1: Xét cosx 0 : Phương trình tương đương 23 ktm 

Xét cosx 0, chia cả hai vế cho cos x2 ta có:

2 tan x2 3 tanx3 tan x1 tan x2 3 tanx 3 0

tanx 3

3



Cách 2: pt  1 2 sin 2x 3 sin 2x2 2 sin 2 2

6

x 



Trang 11

Câu 14 Phương trình: 3cos 42 x5sin 42 x 2 2 3 sin 4 cos 4x x có nghiệm là:

A

C

6



Lời giải Chọn B



Câu 15 Cho phương trình 2

cos x3 sin cosx x 1 0 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Nếu chia hai vế của phương trình cho 2

cos x thì ta được phương trình 2

tan x3 tanx20

B Nếu chia 2 vế của phương trình cho 2

sin x thì ta được phương trình 2

2 cot x3 cotx 1 0

C Phương trình đã cho tương đương với cos 2 x  3sin 2 x   3 0

D x  k  không là nghiệm của phương trình

Lời giải Chọn B

 Với

2 sin 0 sin 0

x x

x k

Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy A đúng

cos x 3 sin cosx x sin x cos x 0

sin x 3 sin cosx x 2 cos x 0 tan x 3 tanx 2 0

cos x 3 sin cosx x sin x cos x 0

2 cos x 3 sin cosx x sin x 0 2 cot x 3 cotx 1 0

 Phương trình 1 cos 2 3sin 2 1 0 cos 2 3sin 2 3 0



3 1 sin x2 3 sin cosx x 3 1 cos x có các nghiệm là: 0

A x 4 k









(Vớitan    2 3) B x 8 k





  



 



(Vớitan     1 3)

C x 8 k





 



 



(Vớitan    1 3) D x 4 k





  





(Vớitan     2 3)

Lời giải Chọn A

cosx 0 không thỏa mãn phương trình, nên ta có:

3 1 sin  x  2 3 sin cos x x  3 1 cos  x  0

3 1 tan x 2 3 tan x 3 1 0

Trang 12

tan 1

4

3 1

x





 



 



(Vớitan    2 3)

Câu 17 Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

sin x 3 1 sin cos x x 3 cos x 3

2

x 

x  x  



tanx 2 3 cos x1 0 D sin x  0

Lời giải Chọn C

sin x 3 1 sin cosx x 3 cos x 3 sin x cos x

1 3 sin 2x  3 1 sin cos x x 0 sinx1 3 sin x  3 1 cos x 0

sinx0cos x 1 cos x 1 0

 1 3 sin x 3 1 cos  x 0 1 3 sin x 3 1 cos  x

3 1

 Vậy phương trình đã cho tương đương với    2 

tanx 2 3 cos x1 0

Câu 18 Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2x3 3 sin cosx xcos2x2 Khẳng định nào sau

đây là đúng?



5







 



Lời giải Chọn D

2 sin x 3 3 sin cosx x cos x 2 sin x cos x

2

3 3 sin cosx x 3cos x 0 3cosx 3 sinx cosx 0

k

 3 sinxcosx 0 3 sinxcosx

1

3

k

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm

6



và 2



Chọn D

2 1 sin xsin 2x 2 1 cos x 2 Trong các mệnh đề sau, mệnh 0

đề nào sai?

A Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x2 thì ta được phương trình tan2x2 tanx 1 0

B Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x2 thì ta được phương trình cot2x2 cotx 1 0

C Phương trình đã cho tương đương với cos 2xsin 2x1

8

 là một nghiệm của phương trình

Lời giải

Chọn C

Trang 13

2 1 sin xsin 2x 2 1 cos x 2 0

 2 11 cos 2 sin 2  2 11 cos 2 2 0

x

 2 1 1 cos 2  x sin 2x  2 1 1 cos 2  x 2 2 0

2 2 cos 2x sin 2x 0

Như vậy, mệnh đề: “Phương trình đã cho tương đương với cos 2xsin 2x1” sai

A

3

x  k



3



3



3



Cách 1: Xét cosx 0 : Phương trình tương đương 23 ktm 

2 tan x2 3 tanx3 tan x1 tan x2 3 tanx  3 0

tanx 3

3

x  k k



1 2 sin 3 sin 2 2

6

x 



Câu 21 Phương trình 6sin2x  7 3sin 2 x  8cos2x  6 có các nghiệm là:

A

3 4 2 3









6







  



3







  



12









Lời giải

TH1: cos 0

2



    thỏa mãn phương trình

TH2: cos x  0

6sin x  7 3sin 2 x  8cos x  6

2

1

6 tan 14 3 tan 8 6

cos

x

6 tan x 14 3 tanx 8 6 tan x 1

14 3 tan x 14 0

1

3



sin x 3 1 sin cos x x 3 cos x0

4

k





 







  



4



Trang 14

2 3

2

4

k





 







  



3



tan

3 0

3

x x







4

3

k





 



  





3



3



3



3



Lời giải Cách 1: Xét cosx 0 : Phương trình tương đương 23 ktm 

2 tan x2 3 tanx3 tan x1 tan x2 3 tanx30

tanx 3

3



1 2 sin 3 sin 2 2

6

x 



Câu 24 Phương trình 4sin 22 x3sin 2 cos 2x xcos 22 x0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;?

Dễ thấy cos 2x  không thỏa mãn phương trình Dó đó, phương trình đã cho tương đương với: 0

2

4 tan 2x3 tan 2x 1 0

tan 2 1

1 tan 2

4

x x











 

1





 





 

 Xét  1 , vì x0; 0

8 k 2



    k 1 (do k   )

Xét  2 , vì x0; 1 1

0 arctan



   k  1; 2 (do k   )

Do đó, trong khoảng 0; thì phương trình đã cho có 3 nghiệm

Câu 25 Số nghiệm của phương trình cos2x3sin cosx x2 sin2x trên 0 2 ; 2  ?

Lời giải

Chọn C

Tiêu đề	5 phương trình đẳng cấp đáp án
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu tự học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	541,57 KB