Bài giảng số 3: Phương trình đẳng cấp bậc 2 và bậc 3 đối với sinx và cosx

 Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa sin , cos x x thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn hoặc là số lẻ.. (Tương tự đối với việc chia cho sinx để đưa [r]

Bài giảng số 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VÀ BẬC 3 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa sin , cosx x thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn hoặc là số lẻ Chẳng hạn:

 sin , cos x x bậc 1

sin x, cos x, sin cos ,x x cos2 , sin 2x x bậc 2

sin x, cos x, sin xcos , sin cosx x x c, os3 , sin 3x x đều bậc 3

 Cách giải: Ta xét 2 trường hợp sau:

 Trường hợp 1: cosx 0

 Trường hợp 2: cosx 0 Khi đó ta sẽ chia cả 2 vế cho os m

c x (ở đó m là bậc của phương trình đẳng cấp), ta được phương trình bậc m với ẩn là tan x

(Tương tự đối với việc chia cho sinx để đưa về cotx)

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2  

os 3 sin 2 1 sin 1

Giải

Vì cosx 0 không là nghiệm của (1) nên chia cả 2 vế của (1) cho cos2x  ta được: 0

1 2 3 tan x 1 tan x tan x   3 tanxtan2x

tan 0

x x





 

 

3

x k

k Z













   



Vậy nghiệm của phương trình là  

3

x k

k Z











   



c x x x x x

Giải

Khi

2

x  k



  thì cosx 0 và sinx  1  2 vô nghiệm

Do cosx 0 không là nghiệm nên chia cả 2 vế của (2) cho cos3x , ta được:

 

1 4 tan x3 tan xtanx 1 tan x  0

3 tan x 3 tan x tanx 1 0

tanx 1 3 tan x 1 0

3 tan

3

x x

 









4 6

k











  



   





Vậy nghiệm của phương trình là 4  

6

k Z











  







   



Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 2 2 4  

3cos x4 sin xcos xsin x0 3

Giải

Do cosx 0 không là nghiệm nên chia cả 2 vế của (3) cho cos4x  , ta được: 0

3 4 tan xtan x0

2 2

x x

 





4

tan tan

3

x

x





    









4 3

k Z











  



   



Ví dụ 4: Giải phương trình: os2 2 1  

c x

x



Giải

Điều kiện: sin 2x 0 và tanx  1

cos os sin

sin

1 cos

x

x







cosx cosx sinx

(do tanx  1 nên sinxcosx0)

x

x

1 sin 2 sin

x x



 





2 2

tan 1 vì tan 1

tan do cos 0

os cos

x







 

2

4

2 tan tan 1 0

k













4

x  k k



     (nhận do sin 2x 0)

Vậy nghiệm của phương trình là  

4

x  k k



Ví dụ 5: Cho phương trình:

4 6 m sin x3 2m1 sinx2 m2 sin xcosx 4m3 cosx0 5

a) Giải phương trình khi m 2

b) Tìm m để phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0;

4



 

Giải

Khi

2

x  k



  thì cosx 0 và sinx  1 nên (5) trở thành:

4 6m 3 2 m 1 0

      1 0(vô nghiệm)

Do cosx 0 không thỏa mãn (5) nên chia cả 2 vế của (5) cho cos3x , ta được:

4 6 m tan x3 2m1 tanx 1 tan x 2 m2 tan x 4m3 1 tan x  0

tan





 





tan





 



a) Khi m 2 thì (5) trở thành:

tan







4



b) Ta có: 0;

4

x  

  

  thì tanx t 0;1

t  mt m   2  

2

3

2

2

t

m

t



 (do t 2 không là nghiệm)

2

3 2

t

t



 và  d :y2m

Ta có:  

2 2

2

y f t

t

  



Do  5 luôn có nghiệm t  1 0;1 nên yêu cầu bài toán  (d) không có điểm chung với (C) hoặc

(d) cắt (C) tại điểm duy nhất t 1

3 2 2

m m















3 4 1

m m















Vậy với

3 4 1

m

m













thỏa mãn yêu cầu bài toán

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

 

4

arctan 5















4

x  k



3 sin x2 2sinxcosx3cos x2   3 0 ĐS:

4

x k















4 4sin x3 3cos x3 3sinxsin xcosx2  0 ĐS: 3

4















  



sin xcosx sinx cos x

cos x

6 2 3( ) 2

4

sin x  sinx

4

x  k



4

x  k



8 sin sin 2x xsin 3x6 cos3x ĐS:

arctan 2

3













Bài 2: Giải các phương trình sau:

3











  





   



2 cos 2

x x

x

3 sinx4sin3xcosx 0 ĐS:

4

x  k



3











  





   



Bài 3: Cho phương trình: sin2x(2m2)sin cosx x(m1)cos2x m

a) Giải phương trình với m 2 ĐS:







b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS:  2 m1

3sin x (2m 1)sin cosx x (m 1) cos xm có nghiệm 0;

4

x   

ĐS: m

2

x xm x

a) Giải phương trình với m 1 Đs: sin 2 2

3

x 

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm m1