1 hàm số lượng giác p1 đáp án

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau 2 2sin cos 1x x   sin sinx x   2 2 1 tan 1 cos x x    cos cosx x  2 2 1 cot 1 sin x x    tan tanx x[.]

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức lượng giác

sin 3sin sin 3

4

3

cos 3cos cos 3

4

3 2

3 tan tantan 3

Bài 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

• Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

- Tuần hoàn với chu kì 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k

- Đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; k2 ,k

- Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ;  k2,k Bảng biến thiên của hàm số y cos x trên   ; 

- Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k 

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng xk,k  làm một đường tiệm cận

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A Với hàm số f x  cho bởi biểu thức đại số thì ta có:

1    

 

1 2

   , điều kiện: f x1 , f2 x có nghĩa và f2 x 0

B Hàm số ysin ;x ycosx xác định trên  , như vậy

Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:

1 Hàm số ysinx và ycosx xác định trên 

x y

x



 c) y 2 2sin x d) y sinx1

1 cos

x y

c) Hàm số xác định khi: 2 2sin x 0 sinx1: luôn đúng  x D

d) Hàm số xác định khi: sinx 1 1 Mặt khác: sinx 1   x  2

Lời giải

a) Hàm số xác định trên  khi chỉ khi:

2m3cosx0, x 3cosx2 ,m  x  cos 2

Điều kiện xác định: cos 0

Hàm số xác định khi: sinx  0 x k

Vậy DR k\ ,kZ

Câu 9 Chọn khẳng định sai?

Hàm số ycosx xác định với mọi x nên tập xác định là 

Hàm số ytanx xác định khi cos 0 ,

+)Điều kiện: sinx0xk,k  , suy ra tập xác định của hàm số ycotx là

2

x k x

  là tập xác định của hàm số nào sau đây?

A ycotx B ycot 2x C ytanx D ytan 2x

Câu 18 Tìm tập xác định D của hàm số tan 2

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 cos x0 cosx1 xk2với k  

Câu 20 Tìm điều kiện xác định của hàm số 1 3cos

sin

x y

Ta có 1s nx 1,i  x Do đó sinx 2 0,   x Vậy tập xác định D  

Câu 22 Tập xác định của hàm số cot

cos 1

x y

Điều kiện xác định của hàm số là sin 0

x x

x



 là \k,k

Câu 23 Hàm số nào có tập xác định là :

A

2 2

cos 2cot 1

x y

2 2 cos

y  x được xác định  2 2 cos x0cosx  1(luôn đúng với   ) x

Vậy tập xác định của hàm số y 2 2 cos x là 

Câu 24 Điều kiện xác định của hàm số 1

x là:

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số 1 cos

Hàm số tan

cos 1

x y

2

k x

Câu 37 Tập xác định của hàm số cos 3

cos cos cos

x y

Ta có  1 cos 2x1 nên 5 3cos 2 x0,   x

Lời giải Đáp án B

Vì  1 cosx1 nên 1 cos x0 và 1 cos

1 cos

x x

Vì  1 sinx1 neen 2sinx0,   x

Hàm số xác định khi

2cot 1 0

3sin 0

x x x

A m 2 B m  2 C m 0 D m  

Lời giải Chọn A

Điều kiện xác định: sinx m 0sinxm

Mà sinx   1;1 nên  1;1 1

1

m m

m x có tập xác định  khi

A m0 B 0m1 C m 1 D  1 m1

Lời giải

Hàm số có tập xác định  khi mcosx 1 0,x  *

Khi m0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m0

Khi m0 thì mcosx   1  m 1;m1 nên  * đúng khi     m 1 0 0 m1

Khi m0 thì mcosx 1 m  1; m 1 nên  * đúng khi m    1 0 1 m0

Vậy giá trị m thoả  1 m1

Câu 47 Tìm m để hàm số y 5sin 4x6 cos 4x2m xác định với mọi 1 x

Hàm số y 5sin 4x6 cos 4x2m xác định với mọi 1 x khi và chỉ khi

5sin 4x6 cos 4x2m 1 0, x R 5sin 4x6 cos 4x2m 1 0, x R

Ta có:  615sin 4x6 cos 4x 61 min 5sin 4 x6 cos 4x2m12m 1 61;

Yêu cầu bài toán 61 1

sin cos 2 sin cos

h x  x x m x x Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là

x y

Hàm số xác định trên  khi và chỉ khi 2 sin2 xmsinx 1 0,   x

2

2 2

8

48

Vậy m   2 2; 2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

DẠNG 2 TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Hàm số y f x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số ( ) T 0 sao cho với mọi xD ta có

* y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2



T a

* y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 



T a

* y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 



T a

y x   tuần hoàn và có chu kỳ T2 

c) Hàm số sin 2 cos 2 1sin 4

y  x  x  x

      tuần hoàn và có chu kỳ 2

52



d) Hàm số ycosxcos 3.x không tuần hoàn

Vì ta có hàm số ycos x có chu kỳ T12và hàm số ycos 3.x có chu kỳ 2 2

Câu 4 Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn sin(x  T )  sinxvới mọi x   phải có dạng T  k 2  , k

là một số nguyên nào đó Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn sin(x  T )  sinxvới mọi

b) ycos2xsin2xcos 2x là một hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T  

c) ycos2xsin2x với mọi 1 x nên y là một hàm hằng, là một hàm số chẵn Vì với mọi T,

 là hàm số tuần hoàn vì  T 2 thỏa mãn:

22

 là hàm số tuần hoàn và có chu kì T 2

B Bài tập trắc nghiệm

Câu 7 Cho các hàm số: ysin 2x, ycosx, ytanx, ycotx Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với

chu kỳ T 

Lời giải Chọn C

Hàm số ytanx, ycotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T

Hàm số ysin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

2

T   Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T2

Câu 8 Chu kỳ của hàm số 3sin

Hàm số y sinx tuần hoàn có chu kỳ là 2

Câu 10 Trong các hàm số ytanx ; ysin 2x; ysinx; ycotx , có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính

định là \k,k nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu

Xét hàm số ysin 2x: Ta có sin 2xksin 2 xk2sin 2x ,    x ,  k

Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 nên không thỏa yêu cầu

Câu 11 Trong bốn hàm số: (1) ycos 2x, (2) ysinx; (3) ytan 2x; (4) ycot 4x có mấy hàm số

tuần hoàn với chu kỳ ?

Do hàm số ycotx tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm số (4) ycot 4x tuần hoàn chu kỳ

4



Câu 12 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

A ycosx B ycos 2x C yx2cosx D 1

tuần hoàn với chu kì T 4 

Câu 15 Tìm chu kì T của hàm số 1sin 100 50 





Áp dụng: Hàm số tuần hoàn với chu kì T

Câu 18 Hàm số nào sau đây có chu kì khác?

Câu 19 Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2?

A ycos3x B sin cos

Chu kỳ của sin

2

x

là 1 2

412

T     và Chu kỳ của 3

cos2

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T và 1 T vừa tìm được ở trên 2

Chu kì của hàm ban đầu T 4

Câu 22 Tìm chu kì T của hàm số cos 2 sin

y x tuần hoàn với chu kì T4 

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T và 1 T 2

Câu 23 Tìm chu kì T của hàm số ycos 3xcos 5 x

Câu 24 Tìm chu kì T của hàm số 3cos 2 1 2 sin 3

  tuần hoàn với chu kì T4 

Câu 25 Tìm chu kì T của hàm số sin 2 2 cos 3

Suy ra hàm số sin 2 2 cos 3

    tuần hoàn với chu kì T2 

Câu 26 Tìm chu kì T của hàm số ytan 3xcot x

Suy ra hàm số ytan 3xcotx tuần hoàn với chu kì T

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T và 1 T 2

Câu 27 Tìm chu kì T của hàm số cot sin 2

y  x tuần hoàn với chu kì T 3 

Câu 28 Tìm chu kì T của hàm số sin tan 2

tuần hoàn với chu kì T 4 

Câu 29 Tìm chu kì T của hàm số y2 sin2x3cos 3 2 x

Hàm số y 2 cos 2x tuần hoàn với chu kì T2 

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T

Câu 30 Tìm chu kì T của hàm số ytan 3xcos 2 2 x

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T.

DẠNG 3 TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó

 Nếu D là tập đối xứng (tức  x D  x D), thì ta thực hiện tiếp bước 2

 Nếu D không phải tập đối xứng(tức là  x D mà  x D) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ

Bước 2: Xác định f x:

 Nếu fx f x , x D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn

 Nếu fx f x , x D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ

 Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ

Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

Câu 2 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y2 sin x x b) ycosxsin 2 x

Chú ý: Đôi khi người ta còn phát biểu bài toán dưới dạng:

Với câu a) Chứng minh đồ thị hàm số y2 sinx x nhận trục tung làm trục đối xứng Với câu c) Chứng minh đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Câu 3 Các hàm số sau chẵn hay lẻ, vì sao?

4sin x 1

cos 2

y x

4 6

Câu 4 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y f x tanxcotx b)   sin 2 9

TXĐ: D  ,  x   x 

Và y(x)  sin x   sin x  sin x  y x 

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

Câu 8 Chọn phát biểu đúng:

A Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số chẵn

B Các hàm số ysinx, ycosx, ycotx đều là hàm số lẻ

C Các hàm số ysinx, ycotx, ytanx đều là hàm số chẵn

D Các hàm số ysinx, ycotx, ytanx đều là hàm số lẻ

Hàm số ycosx là hàm số chẵn, hàm số ysinx, ycotx, ytanx là các hàm số lẻ

Câu 9 Khẳng định nào dưới đây là sai?

Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A ycot 4x B ytan 6x C ysin 2x D ycosx

Câu 11 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A ysin 2016x cos 2017x B y2016 cosx2017 sinx

C ycot 2015x2016sinx D ytan 2016xcot 2017x

y f x  x; y f x cos 3x thỏa mãn điều kiện fx f x ,  x

nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y f x x25x2 có trục đối xứng là 5

Câu 13 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y 2 cosx B y 2 sinx C y2sinx D ysinxcosx

Lời giải Chọn A

Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A

Xét A: Do tập xác định D   nên  x   x 

Ta có fx 2 cosx 2 cosx f x  Vậy hàm số y 2 cosx là hàm số chẵn

Câu 14 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A ysin 2x B yxcosx C ycos cotx x D tan

sin

x y

Câu 16 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A ysin cos 2x x B sin3 cos

x



3cos sin

Lời giải

Nhận xét: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung

Xét hàm số ysin cos 2x x, tan2

x y

x



 và

3cos sin

y x x là các hàm số có tính lẻ Nên đồ thị không đối xứng qua trục tung

A ycot 4x B sin 1

cos

x y

x



 C ytan2x D y cotx

Lời giải Nhận xét: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Câu 18 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y 1 sin2x B y cot sinx 2x

C yx2tan 2xcotx D y 1 cotxtanx

Tập xác định D\k,k Do đó   x D  x D

cot sin cot sin

f x  x x  x x f x f x  là hàm số chẵn Xét: hàm số yx2tan 2xcot x

Câu 19 Xét tính chẵn lẻ của hàm số   cos 2 sin 2

Ta có cos 2 sin 2 1 cos 2 sin 2  1 sin 2 cos 2  0

a, Xét hàm số   1 2

3sin3

b, Xét hàm số g x sin 1 có tập xác định là x D 2 1; Dễ thấy D không phải là tập đối 2

xứng nên ta kết luận hàm số g x  không chẵn không lẻ

Hàm số có tập xác định D  

Ta có f xsin2007xcosnx sin2007xcosnx f x 

Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

Lời giải

Chọn B

2

x x  k k Vậy phát biểu 1 sai

Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn

Hàm số đã cho xác định trên tập D   nên ta loại A

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho

x y

2sin tan

x y



 , tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng

x y



12sin 1

 có tập xác định không đối xứng nên không thỏa mãn đồ thị đối xứng  loại

Câu 26 Cho hàm số   cos 22