50 bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – toán 11

Đạo hàm của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Giới hạn x 0 sin x lim 1 x  b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác 2 Các dạng bài tập Dạng 1 Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương p[.]

Đạo hàm của hàm số lượng giác

1 Lý thuyết

a) Giới hạn:

x 0

sin x

x

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

2 Các dạng bài tập

Dạng 1 Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x2 – 3x + 2)

c) y 1 2 tan x

d) y = tan 3x – cot 3x

e) y tan 2x 1cot 4x sin x

3

Lời giải

Đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x))

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x

2

1

cos x

2



2

1

sin x

x  k ,k 

(sin u)’ = u'.cos u (cos u)’ = – u'.sin u

2

u

cos u



2



2

u

sin u



u  k ,k 

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2)

c) Ta có: 1 2 tan x

y

2 1 2 tan x





 



2

2 cos x

2 1 2 tan x



1 cos x 1 2 tan x



d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

y

cos 3x sin 3x

sin 3x.cos 3x



2

3 1 sin 6x 4

sin 6x

Cách 2: Ta biến đổi:

sin 3x cos3x

y

cos3x sin 3x

cos3x.sin 3x



sin 6x

   2cot 6x

sin 6x

y (tan 2x) (cot 4x) sin x

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

2

1

y sin 3x

cos x

b) y 1 sin x

1 cos x







ytan x 2 x 1

d) y (sin x cos x) 3cos x 1sin x

3

Lời giải

4

cos x ' y' 2sin 3x sin 3x '

cos x

4

2cos x cos x ' 2sin 3x.3cos3x

cos x

4

2cos x.sin x 6sin 3x cos3x

cos x

cos x

b) y (1 sin x) (1 cos x) (1 cos x) (1 sin x)2

(1 cos x)

 



cos x(1 cos x) sin x(1 sin x) cos x sin x 1

2

2 2

x 2 x 1 '

y tan x 2 x 1

cos x 2 x 1

2 2

1 2x

x cos x 2 x 1









d) y (sin x cos x) 3cos x 1sin x (sin x cos x) 3cos x 1sin x

(cos x sin x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3sin x cos x

3cos x sin x cos x sin x 3sin x sin x cos x cos x

cos x sin x sin x cos x

cos 2x sin 2x

Dạng 2 Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y 12

cos x

Khi đó, ta có:

1 cos x tan 1

cos x cos x

b) Trước tiên, ta có:

2

2 y

sin 2x

Khi đó, ta có:

2

y 2y  2 2 2

2cot 2x 2

2 sin 2x

sin 2x sin 2x

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y = sin 2x – 2cos x

b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos 2x2sin x0 cos 2x sin x cos x

2





2

2











2 2k x



   



 

   



,k

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos 2x 8sin 2x 10  04sin 2x3cos 2x5

sin 2x cos 2x 1

Đặt 4 cos a

5  và 3

5sin a, do đó ta được:

sin 2x cosacos 2x.sin a 1 sin 2x(  a) 1

2x a 2k

2



2 4



3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A y’ = - tan x B y ' 12

cos x

sin x

cot2x

Câu 2 Hàm số y 3sin 7x

2

  có đạo hàm là:

A 21cos x

2

2

21 cos x 2

Câu 3 Hàm số y sin 3x

6



  có đạo hàm là:

A 3cos 3x

6



  B 3cos 6 3x





6



Câu 4 Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A y’ = 3cos 2x – sin 3x

B y’ = 3cos 2x + sin 3x

C y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

D y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5 Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A tan 2x 2x2

cos x

B 2x2

cos 2x

C tan 2x 2x2

cos 2x

D tan 2x x2

cos 2x

Câu 6 Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A 30cos3x.sin5x

B – 8cos8x + 2cos2x

C 8cos8x – 2cos2x

D – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7 Hàm số y sin x

x

 có đạo hàm là:

A y' x sin x 2 cos x

x



2

x cos x sin x

y'

x





C y' x cos x2 sin x

x



2

x sin x cos x

y'

x





Câu 8 Hàm số y 1cot x2

2

 có đạo hàm là:

A x 2

2sin x

B x2 2

sin x

D 2x 2

sin x

Câu 9 Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A y 12

sin 2x

cos 2x

sin 2x

cos 2x

 

Câu 10 Đạo hàm của hàm số y sin x cos x

sin x cos x





 có biểu thức dạng

2

a

(sin xcos x)

Vậy giá trị a là:

A a = 1 B a = – 2 C a = 3 D a = 2

ysin 2x Đạo hàm y' của hàm số là

2

2x 2

cos 2 x

2 x



2

x

cos 2 x

2 x



C 2

2

x

cos 2 x



2

(x 1)

cos 2 x

2 x



y sin 2x.cos x

x

y 2sin 2x.cos xsin x.sin 2x2 x

y 2sin 2x.cos xsin x.sin 2x2 x

y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x

x x

y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x

x x

Câu 13 Cho hàm số   3 2 x

y f x sin 5x.cos

3

  Giá trị đúng của f

2



 

   bằng

A 3

6

4

3

2

Câu 14 Cho hàm số y = cos2x + sin x Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm

thuộc khoảng (0; )

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Câu 15 Cho hàm số y = sin 2x + x Số nào sau đây là nghiệm của phương trình

y’ = 0 trong khoảng ( ; )

A

6



6



B

3



3



C

6



12



D

3



và 6



BẢNG ĐÁP ÁN