Tuyển tập bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – toán 11

Đạo hàm của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Giới hạn x 0 sin x lim 1 x  b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác 2 Các dạng bài tập Dạng 1 Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương p[.]

Đạo hàm của hàm số lượng giác

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp

cos u



u k , k2

2 1 2 tan x



1cos x 1 2 tan x

y (tan 2x) (cot 4x) sin x

cos x

4

2cos x cos x '2sin 3x.3cos3x

cos x

4

2cos x.sin x6sin 3x cos3x

cos x

cos x

b) y (1 sin x) (1 cos x) (1 cos x) (1 sin x)2

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0

2

y 2y  2 2 2

2cot 2x 22

Câu 4 Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A y’ = 3cos 2x – sin 3x

B y’ = 3cos 2x + sin 3x

C y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

D y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5 Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A a = 1 B a = – 2 C a = 3 D a = 2 Câu 11 Cho hàm số ysin 2x2 Đạo hàm y' của hàm số là

2

2x 2cos 2 x

2 x



A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Câu 15 Cho hàm số y = sin 2x + x Số nào sau đây là nghiệm của phương trình

y’ = 0 trong khoảng ( ; ) 

(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1

2 Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức

x 1



   d) y = (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3)

y 1 2x xf) y 1 x

Câu 5 Đạo hàm của hàm số 5

y 2x 4 x bằng biểu thức nào dưới đây?

x 1

  

3y

x 1

  

1y

2

xy

A y'(1) = –4 B y'(1) = –5 C y'(1) = –3 D y'(1) = –2 Câu 9 Cho hàm số

y 03

Câu 10 Hàm số  2

x 2y

1 x





 có đạo hàm là:

Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

2

utan u u 1 tan u

2 Phương pháp giải:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

  2

1t4

1 192t 60t 3 0

1t16

Ví dụ 2: a) Cho y = tan x Chứng minh y’ – y2 – 1 = 0

b) Cho y = xsinx Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0

Lời giải

2

1y' tan x ’ 1 tan x

cos x

Ta có: y’ – y2 – 1 = 1 + tan2x – tan2x – 1 = 0 (đpcm)

b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x

Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y)

= x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)

= x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = 0 (đpcm)

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y x21 Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:

A x = 2 B x = 1 C Vô nghiệm D x = – 1 Câu 2 Cho hàm số   1 3 2

f x x 2 2x 8x 13

    , có đạo hàm là f’(x) Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:

A 2 2  B  2; 2 C 4 2  D  2 2

Câu 3 Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm là y’ Để y'0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A 2;0 9

 

B 9;0 2

     , có đạo hàm là y’ Tìm tất cả các giá trị của m để y 0 với x 

Câu 5 Cho hàm số 1 3   2

y mx m 1 x mx 33

Câu 6 Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm là y’ Để y 0 thì x nhận các giá

trị nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B ;0 

Câu 10 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – 5 với m là tham số Tìm tập hợp M tất

cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

  Giải phương trình f’(x) = 0

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b) Giả sử x

 là số gia của x sao cho x  x (a;b)

- Tích f '(x) x (hay y x ) được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ứng với số gia x , kí hiệu là df(x) hay dy

Vậy ta có: dyy' x hoặc df (x)f '(x) x

b) Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’ hay f’’(x) Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’’ hay f’’’(x) Tương tự,

ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp (n) của hàm số f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n)(x), tức là ta có: (n )  (n 1)

y  y  ' (nN,n 1).

c) Ý nghĩa của đạo hàm

- Ý nghĩa hình học + Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C), M là điểm di động trên (C) Khi đó M0 M là một cát tuyến của (C)

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M0 M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0 Điểm M0 được gọi là tiếp điểm

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tạix0a; b,

gọi (C) là đồ thị hàm số đó

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T

của (C) tại điểm M0 (x0; f(x0))

Phương trình tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm

M0 (x0; f(x0)) là: y = f’(x0).(x – x0) + f(x0)

- Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với

f(t) là hàm số có đạo hàm Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0

là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0

v(t0) = s’(t0) = f’(t0)

Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương

trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm Khi đó, cường độ tức thời của

dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t0

I(t0) = Q’(t0) = f’(t0)

d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có

y’ = (cos 3x)’sin 2x + cos 3x(sin 2x)’

= – 3sin 3x.sin 2x + 2cos 3x.cos 2x Suy ra dy = (– 3sin3x.sin2x + 2 cos3x.cos2x)dx b) yf (x)sin xcos x

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Tính đạo hàm cấp 3 là đạo hàm của đạo hàm cấp 2

Tương tự: Tính đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1

Ta có y’ = x’sin 2x + x (sin 2x)’ = sin 2x + 2xcos 2x

y’’ = (sin 2x)’ + (2x)’cos 2x + 2x(cos 2x)’ = 4cos2x – 4xsin 2x

y’’’ = 4(cos 2x)’ – (4x)sin 2x – 4x(sin 2x)’

= – 8sin 2x – 4sin 2x – 8cos 2x

42 (x 2) ' 168y

y(4) = 24 Suy ra y(5) = 0, … y(n) = 0

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra  n n *

Ví dụ 1 Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình: s =

t3 – 3t2 + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét Tính gia tốc của

Vậy s’’(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2

Dạng 4 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm của đạo hàm

Phương pháp giải:

Lưu ý hai kết quả sau để áp dụng:

- Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động với phương trình s

= s(t) là v(t0) = s’(t0)

- Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t)

là I(t0) = Q’(t0)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) =

t2 + 4t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét)

a) Tính đạo hàm của hàm số f(t) tại điểm t0 b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5

Lời giải a) Ta có: f’(t) = 2t + 4

Vậy f’(t0) = 2t0 + 4

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = f’(5) = 2.5 + 4 =

14 (m/s)

Ví dụ 2: Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm

số Q = 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Tính cường

độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10

Lời giải

Vì Q’(t) = 6 nên cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10 là I

= Q’(10) = 6

x 1



3dxdy

Câu 12 Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) =

t2 + t + 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét) Vận tốc tức thời của

chuyển động tại thời điểm t = 2 là

A 5 (m/s) B 6 (m/s) C 7 (m/s) D 4 (m/s) Câu 13 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình   1 3 2

s t t 2t 4t3

trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét Sau bao lâu thì chuyển động dừng lại?

Câu 14 Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm

số Q = 3t2 + 6t + 5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Tính

cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 1

Câu 15 Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

s t 6t2

   với t (giây)là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di

chuyển trong thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu

chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

- Nếu cho x0 thì thế vào y = f(x) tìm y0

- Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho a) Biết tiếp điểm là M(1; 1)

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5

Lời giải

Đặt f(x) = x3

Khi đó: f'(x) = 3x2

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1 Hay y = 3x – 2

b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Hoành độ tiếp điểm xM = 2 nên tung độ yM = (xM)3 = 8 Vậy M(2; 8)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8 Hay y = 12x – 16

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Tung độ tiếp điểm  3 3  3

y  5 x  5 x  5M 5;5Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M  k f 35 3 25.3

Phương trình tiếp tuyến tại M là:y3 25 x3  355

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 2

x 1





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

Tiếp điểm có tung độ: M

b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: M  

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm Giao điểm của đồ thị với trục tung: M  

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M Khi đó k = f'(0) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2 Hay y = x + 2

Dạng 2 Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Ta có y' = f'(x) = x – x

a) Gọi M x ; y 0 0 C mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

0 2

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d)y 1x 1

c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc

k 0

 

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0

0 2

Phương trình tiếp tuyến   tại điểm M1(2; 5) là:   : y 1 x 2    5 y x 7

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến 

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x0; f(x0) Tính y' = f'(x)

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x0)

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x0)(x – x0) + f(x0)

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(xA; yA)

Nên yA = f'(x0)(xA – x0) + f(x0) Phương trình đưa về ẩn x0 Giải phương trình tìm x0

Bước 3: Với x0 tìm được, quay lại dạng 2 Từ đó viết phương trình d

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết

tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9)

1k

2x 3

 



Tiếp tiếp (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ  m 0,k0

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên 2

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2(– 2; 0) là  d : y  x 2    0 y x 2

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2

x

3

   có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A y – 16 = – 9(x + 3)

B y = – 9(x + 3)

C y – 16 = – 9(x – 3)

D y + 16 = – 9(x + 3)

Câu 12 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 2x có đồ thị (C) Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm M, N

trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017 Khi đó x1

+ x2 bằng:

A 4

43

Trong đó x được gọi là số gia của biến số tại x0

y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại x0

trong đó xx0 được hiểu là xx0 và x < x0

- Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f ' x 0 được định

nghĩa là:

0

0 0

trong đó xx0 được hiểu là xx0 và x > x0

- Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu

và chỉ nếu f ' x 0 và f ' x 0 tồn tại và bằng nhau Khi đó ta có:

 0    0 0

f ' x f ' x f ' x

c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b)

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b -) và đạo hàm phải f’(a+)

d) Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:

e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0 Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm

x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0

2 Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

a) Cách 1: Với x là số gia của đối số x0 = 2

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

c) Cách 1: Với x là số gia của đối số x0 = 3

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

x 0

3x x 3x x xlim

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

 ứng với số gia x của đối số x tại x0 = – 1

A Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R

B Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R

C Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R

D Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R

Câu 14 Cho hàm số y = |2x – 3| Khẳng định nào là đúng:

Câu 15 Cho hàm số y = f(x) =x2 - 2|x + 3| Khẳng định nào là đúng:

A Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R

B Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R

C Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R

D Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A C C B A B A B B D D A C A A