BÀI 2 số HẠNG dãy số đáp án

https www nbv edu vn Trang 1 LýTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11. thuyết 1 Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu   u n u n    Người.

1 , , , ., , ., 2 3 n

trong đó u nu n  hoặc viết tắt là  u n , và gọi u1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M1,2,3, ,m với *

m   được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u1, , , ., ,u2 u3 u n trong đó u1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

II CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

A Phương pháp giải

Bài toán 1: Cho dãy số (u n): u n  f n( ) (trong đó f n( ) là một biểu thức của n ) Hãy tìm số

hạng u k

Phương pháp: Thay trực tiếp nk vào u n

Bài toán 2: Cho dãy số (u n)cho bởi 1

n n n

u u u u

1

2 1 2 3

1 1 1 2

u u

32

72

4

172

17

112

u u

412

41

129

u u u

992

99

170

u u u

7

2392

5772

2 408 1393577

408

u u u

13932

n

n u n

https://www.nbv.edu.vn/

Lời giải Chọn C

Vì u  4  1 2.44 8

Câu 3 Cho dãy số  u n , biết  1 2

n n n

.3

u  

Lời giải Chọn D

Ta có  

3 3 3

.16

.32

.8

u 

Lời giải Chọn A

n

u n   Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:

Lời giải Chọn D

3 5

Lời giải Chọn A





 Viết năm số hạng đầu của dãy số

Câu 8 Cho dãy số  u n , biết

Câu 9 Cho dãy số  u n , biết 1

n

n u n

https://www.nbv.edu.vn/

Lời giải Chọn B

Câu 16 Cho dãy số u với n u n n 1

n

a n u

n

a n u

.1

n

a n u

Ta có: u n 2n1,u n 2017n1009

Câu 19 Số 9

41 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số 2

21

n

n u

Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh

(ii) Ta thấy dãy  u n là dãy số âm nên loại các phương án C,D Đáp án đúng là A hoặc B Ta chỉ

cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được Chẳng hạng kiểm tra u thì 1

Thay n bằng n  trong công thức 1 u ta được: n u n12n12.2n Chọn A

Câu 24 Cho dãy số  u n , với u n 5 n1 Tìm số hạng u n1

n n

n u n

1

.1

n n

n u

1

.1

n n

n u

n u

n u

1 11

1 11; ;

2 31; ;

3 7

Lời giải Chọn D

https://www.nbv.edu.vn/

Vậy số 19 là số hạng thứ 5 của dãy

Câu 29 Cho dãy số  u n xác định bởi u n  1 cosn  n Giá trị u bằng 99

Lời giải Chọn C

Ta có: u2019 2.2019 1 4039

Câu 31 Cho dãy số  u n với u   n 1 2 n Khi đó số hạng u2018 bằng

A 22018 B 201722017 C 1 2 2018 D 201822018

Lời giải Chọn C

Ta có:

2 11

Ta có 22 1 39

1 362

n n

n n

https://www.nbv.edu.vn/

DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 35 Cho dãy số  u n với   

Câu 36 Cho dãy số  u n xác định bởi

13

.3

.27

u 

Lời giải Chọn A

n n

u u

.4

.8

.16

u 

Lời giải Chọn A

Ta có u2 2.7 3 17,  u32.17 3 37,u4 2.37 3 77,u5 2.77 3 157 

Câu 39 Cho dãy số  u n xác định bởi 1

1

13

Ta có u1 1,u2   1 3 2,u3   2 3 5

2

( 2)2

0

21

n n n

u u

64

u u

n

n

n u n

1.2

n

n

n u

u u

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1 Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của u n

Cách 2 Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho u n

Bước 2 Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức * đúng

Với n1;u12.1 1 3  (đúng) Vậy  * đúng với n 1

Giả sử  * đúng với nk Có nghĩa ta có: u k 2k1 2 

Ta cần chứng minh  * đúng với nk1 Có nghĩa là ta phải chứng minh:

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát u có dạng: n u n 2n n 1 * 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức  * đúng Với n 1, có:u 1 212 (đúng) Vậy  * đúng với n 1

Giả sử * đúng với n , có nghĩa ta có:k 2 2k  

Vậy  * đúng với nk1 Kết luận  * đúng với mọi số nguyên dương n

Câu 2 Dãy số  u n được xác định bằng cộng thức: 1 3

Ta phải chứng minh  1 đúng với nk1.

Có nghĩa ta phải chứng minh: u k12.5 k

Từ hệ thức xác định dãy số:  u n và giả thiết quy nạp ta có:

Ta sẽ chứng minh u  n 2.3n5 1  bằng phương pháp quy nạp

Với n  , ta có: 1 u 1 2.31 1 1 (đúng) Vậy  1 đúng với n 1

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u và chứng minh bằng phương pháp quy nạp n

Với n 1, có:u 1 1 8  (đúng) Vậy (1) đúng với 3 n  1

Giả sử (1) đúng với nk, có nghĩa ta có:u k  k8 2 

Ta cần chứng minh (1) đúng với nk1 Có nghĩa là ta phải chứng minh:

Vậy (1) đúng với nk1 Kết luận  * đúng với mọi số nguyên dương n

Câu 7 Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát u theo n của các dãy số sau : n

n

u

n u

u

2 3

2

11

u

3 4

3

11

u

4 5

4

11

u

u k

k k

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát u có dạng: n u n 3n4, n 1 * 

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức *

Đã có: * đúng với n  1

Giả sử  * đúng khi nk Nghĩa là ta có:u k 3k 4

Ta chứng minh  * đúng khi nk1 Nghĩa là ta phải chứng minh: u k13(k1) 4

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

k k

u  u   k   k 

Kết luận:  * đúng khi nk ,suy ra 1  * đúng với mọi số nguyên dương n

Câu 8 Cho dãy số (u n)xác định bởi: 1

2 Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n 1 u121 1   3 1 bài toán đúng với N 1

https://www.nbv.edu.vn/

Câu 9 Cho hai dãy số (u n), ( )v được xác định như sau n u13,v1 và 2

1 1

Câu 3 Cho dãy số 1 3 2 5, , , ,

2 5 3 7 Công thức tổng quát u nào là của dãy số đã cho? n

3

;3

2

;2

Chọn C

Ta có:

Các số hạng đầu của dãy là          1 ;1 1 ;2 1 ;3 1 ;4 1 ; 5 u n  1 n

Câu 7 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;  .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

1

;3

1

;3

1

;3

1

5 4 3

2 ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?

3

13

n n

u 

DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI

Câu 9 Cho dãy số  u n xác định bởi 1  

1

1

13

Ta có

0 1

1 2

2 3

1 333

https://www.nbv.edu.vn/

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có u k13.u k 3.3k13k

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta dã chứng minh được u n 3n1,n *

Câu 10 Cho dãy số có các số hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001 Số hạng tổng quát của dãy số này có

n n

n sè

Câu 11 Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng

thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm

u n   B

2

)1(

u n    D

2

)2)(

1(

Thật vậy, ta chứng minh được u nn  * bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n 1 u1 Vậy 1  * đúng với n  1

+ Giả sử  * đúng với mọi  *

nk k  , ta có: u k  Ta đi chứng minh k  * cũng đúng với 1

Câu 14 Cho dãy số  u n với

 

1

2 1 1

112

https://www.nbv.edu.vn/

Câu 16 Cho dãy số  u n với

1 1

n

n

u u

n

 



Lời giải Chọn C

u u

u     

  B  

1

1

1 2

n n

1

12

n n

n n

Lời giải Chọn D

https://www.nbv.edu.vn/

Ta có:

1 1 2

2 3

1

1

2

2

2

n n

u u u u u

3 1

Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n 2020

Câu 23 Cho dãy số  u n xác định bởi 1

u

u

u

…

Dự đoán u n 2n1,n * Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp

Câu 25 Cho dãy số  u n với

11





Lời giải

02

https://www.nbv.edu.vn/

Lời giải Chọn D

Ta có

2 2

3 3

4 4

10 2 3.2

17 2 3.3

28 2 3.4

Ta có thể chứng minh công thức dự đoán trên bằng quy nạp

Câu 28 Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi sau

1

1

3122

Ta có thể chứng minh công thức dự đoán trên bằng quy nạp

Câu 29 Cho dãy số  u n xác định bởi

n

u

u u

n

u v

n

v  n

Lời giải Chọn D

Cách 1:

u v

Ta có:

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng Với (đúng) Vậy đúng với

Giả sử đúng với Có nghĩa ta có:

Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có:

n

1

32

https://www.nbv.edu.vn/

Vậy đúng khi Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n

Câu 31 Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau:

Lời giải Chọn B

Nếu dãy số  u n được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án

Nếu dãy số  u n được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có thể

thử giá trị n vào từng đáp án

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI

https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

14

n

n n

11

11

4

n

n n

https://www.nbv.edu.vn/

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://diendangiaovientoan.vn/

ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!