CHUỖI số trong giải tích 2

CHUỖI SỐ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Chương 5 Phần 1 CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨA 1 2 , n n S a a a n N Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu 1 n n a ( Nếu {an} bắt đầu từ 0[.]

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

Chương 5:

Phần 1: CHUỖI SỐ

ĐỊNH NGHĨA

Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới

{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:

1

n n

ĐỊNH NGHĨA

1

n n

Vậy chuỗi phân kỳ.

1 2

1

2

n

1 3

Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3

TÍNH CHẤT

1

n n

• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ

• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ

Điều kiện cần của sự hội tụ

1

n n

n a

n

0

n a

x S

x

Chuỗi ht và có tổng là

1

x x

CHUỖI KHÔNG ÂM.

Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy

Ví dụ

2 2

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

f(x) dương, ltục và giảm nên

h tụ

1 1

2 2

Tiêu chuẩn so sánh

1

n n

a hội tụ

1

n n

b

phân kỳ

1

n n

Dạng 2: an, bn > 0, li m n

n

n

a K

b

1

n n

b hội tụ

1

n n

a hội tụ

1

n n

b

phân kỳ

1

n n

• 0 < K < : hai chuỗi cùng bản chất

• K = 0

• K =

n n

a

K n

k h i n

K n

Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa

3 / 2 3

1

nên hội tụ

7 /

Tiêu chuẩn D’Alembert

1

n n

a

1

n n

n

a D

Tiêu chuẩn Cauchy

2

n n

Tiêu chuẩn Rapb(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1)

1

1

li m

n n

n

n n

Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ

1

2 ( 1) ! 2

n

a D

e n n

1

n n

n

a D

e n n

1

e e

Không KL

1 1

n

1 1

n

n

2

6 5 ( 2 2 ) ( 2 3 )

n n

R

chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb

n n

Nên dùng điều kiện cần để có kết quả

nhanh hơn(đối với VD này)

1 ( 1)

Xét hàm số:

2 3

Mẫu số của thay đổi dấu

không phải chuỗi đan dấu

n

n

n n

( 1)

n n

2 1

n

n n

CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý

Sự hội tụ tuyệt đối

Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert

Nếu

1

n n

Cauchy hoặc D’Alembert thì

1

n n

a phân kỳ theo tc so sánh

thì không có kết luận gì cho

1

n n

a

n a

n

n a

2

s i n

2 3

n n

b

1 n 1 3 n

n b

2 2

n

1

n n

b

n