Chuỗi khoảng trong giải tích khoảng

Do đó, với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn các mối quan hệ trên và để mở rộng cho khái niệm và các phép toán về khoảng, tôi chọn đề tài: ”Chuỗi khoảng trong giải tích khoảng”.. - Tìm hiểu

TRONG GIẢI TÍCH KHOẢNG

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016

SVTH: Nguyễn Thị Phương

LỜI CẢM ƠN

Em xin dành trang đầu tiên này để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, những người đã hết lòng dạy dỗ, truyền đạt cho em những kiến thức khoa học và kinh nghiệm quý báu để em có được ngày hôm nay

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS.Phan Đức Tuấn, người

đã gợi ý và hướng dẫn đề tài khóa luận “Chuỗi khoảng trong giải tích

khoảng” Thầy đã nhiệt tình và hết lòng giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

để em có thể hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng, cho phép em được gởi lời cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, các thầy cô phản biện và các ủy viên hội đồng đã giành thời gian quý báu để đọc, nhận xét, đánh giá và tham gia hội đồng chấm khóa luận này

Đà Nẵng, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Phương

SVTH: Nguyễn Thị Phương 1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Khoảng không phải là một hiện tượng hoàn toàn mới trong toán học, nó

đã xuất hiện nhiều lần dưới những cái tên khác nhau trong quá trình lịch sử Tính toán thực tế với khoảng không được phổ biến như các kỹ thuật số khác, cũng không bị lãng quên hoàn toàn Sự ra đời của khoảng hiện đại được đánh dấu bằng sự xuất hiện của cuốn sách Interval Phân tích theo Ramon E Moore vào năm 1966, một năm sau đó ông xuất bản một bài viết về máy tính khoảng Chuỗi có vai trò trong Giải tích toán học và có nhiều ứng dụng

Do đó, với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn các mối quan hệ trên và để

mở rộng cho khái niệm và các phép toán về khoảng, tôi chọn đề tài: ”Chuỗi khoảng trong giải tích khoảng”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu tính chất và các phép toán của chuỗi khoảng

- Tìm hiểu các tiêu chuẩn so sánh chuỗi khoảng hội tụ hay phân kì

- Tìm hiểu không gian Mêtric trong chuỗi khoảng số học

3 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có liên quan để thực hiện đề tài

4 Nội dung nghiên cứu:

Nội dung của bài khoá luận ngoài phần Mở đầu và Kết luận gồm có 2 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian Mêtric số học và chuỗi số

Chương 2: Không gian Mêtric khoảng và chuỗi khoảng

Chương này tôi trình bày về khái niệm khoảng, chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương và các tiêu chuẩn so sánh xét sự hội tụ của chuỗi khoảng

SVTH: Nguyễn Thị Phương 2

5 Đóng góp đề tài:

Đề tài này có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hi vọng có thể giúp cho người đọc hiểu rõ hơn về giải tích khoảng, các phép tính toán trên khoảng và các tiêu chuẩn hội tụ trên chuỗi khoảng

SVTH: Nguyễn Thị Phương 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I Không gian Mêtric

1.1 Định nghĩa 1.1. Cho tập X 0 và ánh xạ d : X X  

( , )x y d x y( , )

là Mêtric nếu thoả mãn các điều kiện sau:

+ d x y( , ) không âm với mọi x y X, 

SVTH: Nguyễn Thị Phương 4

d x y( , )  x y  y x d y x( , ),x y, 

d x z( , )   x z x y  yz    x y y z

d x y( , )d y z( , )

Vậy d là một Mêtric trên

1.2 Sự hội tụ trong không gian Mêtric

Định nghĩa 1.2 Cho X d là một không gian Mêtric, dãy các phần tử , 

 x n n  X gọi là hội tụ về x trong không gian MêtricX d Nếu dãy số , 

lim n lim  n,  0

     0, N N: n N d x x n,  (1.2)

Ví dụ 1.2 ChoX  với Mêtric thông thườngd thì sự hội tụ theo Mêtric d

chính là sự hội tụ của các dãy số thông thường

Thật vậy, d x x n,  x n   x 0 x n x theo nghĩa dãy số thông thường

Mệnh đề 1.1

a Dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất

b Nếu dãy  x n n hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x

Vậy theo kết quả của dãy số ta có điều phải chứng minh 

1.3 Không gian Mêtric đầy đủ

Định nghĩa 1.3 Giả sửX d, là không gian Mêtric, dãy  x n n X là dãy

Cauchy (dãy cơ bản) khi và chỉ khi:

     0, N N: n m, N d x x m, n  (1.3)

Hay

    0, N N: n N d x n p ,x n  , p (1.4)

Định lý 1.1 Giả sửX d, là không gian Mêtric, dãy x n n X. Khi đó

i Nếu dãy  x n n là dãy hội tụ thì  x n n là dãy Cauchy

ii Nếu  x n n là dãy Cauchy và  x k n n là dãy con của nó sao cho  x k n n hội

ii Với mọi   0cho trước,

Do  x n n là dãy Cauchy nên 1 : , 1  , 

Định nghĩa 1.4 Không gian Mêtric X d, gọi là đầy đủ khi và chỉ khi mọi

dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.3 Ta có cùng với Mêtric thông thường là đầy đủ

Định nghĩa 2.2 Cho chuỗi số (1.5) Khi đó

i Tổng hữu hạn S n     a1 a2 a n tổng riêng thứ n của chuỗi (1.5)

ii Nếu tồn tại hữu hạn giới hạn lim n

  thì chuỗi số đã cho gọi là hội

tụ S được gọi là tổng của chuỗi

Ta kí hiệu

1

n n

SVTH: Nguyễn Thị Phương 7

11

Vậy chuỗi số đã cho phân kì

1 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

Định lý 2.1 Nếu

1

n n

n n

a







SVTH: Nguyễn Thị Phương 9

S n là tổng riêng thứ n của chuỗi khoảng:

1

n n

i Vì an   0, n nên Sn1  Sn, n suy ra dãy   Sn là dãy đơn điệu tăng

ii Nếu dãy   Sn bị chặn trên thì dãy

1

n n

4 1

a b

Vì

3 3

7/2

8 5 4

là chuỗi hội tụ nên chuỗi số đã cho hội tụ

c Tiêu chuẩn Dalembert

Cho chuỗi dương

1

n n

a D

a







+ Nếu D  1: chuỗi đã cho hội tụ

+ Nếu D  1: chuỗi đã cho phân kì

+ Nếu D  1:chưa kết luận được chuỗi số đã cho là hội tụ hay phân

SVTH: Nguyễn Thị Phương 12

d Dấu hiệu Cauchy

Cho chuỗi dương

1

n n

limn

n n





Khi đó:

+ Nếu C<1 : chuỗi số đã cho hội tụ

+ Nếu C>1 : chuỗi số đã cho phân kì

+ Nếu C=1 : chưa kết luận chuỗi đã cho hội tụ hay phân kì

Ví dụ 4.4 Xét sự hội tụ của chuỗi

Nên chuỗi đã cho hội tụ

2 Chuỗi đan dấu

Định nghĩa 5.1 Cho dãy số  a n  Khi đó,

SVTH: Nguyễn Thị Phương 13

Định lý 2.3.(Dấu hiệu hội tụ Lepnit)

Cho chuỗi số đan dấu  

 khi đó nếu  a là dãy n

đơn điệu giảm dần tới 0 thì  

SVTH: Nguyễn Thị Phương 14

CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN MÊTRIC KHOẢNG

VÀ CHUỖI KHOẢNG

I Không gian Mêtric khoảng:

1.1 Các khái niệm cơ bản :

Đoạn [a,b] là tập hợp các số thực thỏa mãn:

 a b,  x /a x b (2.1)

Đoạn [ , ]a b sẽ được viết lại thành [ , ]x x  X và gọi khoảng trong đó x

gọi là khoảng trái của X và x gọi là khoảng phải của X

Khoảng thoái hoá: Người ta nói rằng X là khoảng thoái hoá nếu

x  x Khoảng thoái hóa có chứa một số thực x thuộc Ta quy

ước số thực x có thể xem là một khoảng thoái hóa [x,x] Do đó, ta có thể viết 0 = [0,0]

1.2 Hợp, giao của hai khoảng:

Giao của hai khoảng X và Y được gọi là rỗng nếu y< x hoặc x  y

Ta có thể viết X  Y (2.2) Giao của hai khoảng X và Y được kí hiệu:

X   Y  z z :  X z Y ,  

=max x y, , min x y,  (2.3)

Hợp của hai khoảng X và Y được định nghĩa

X Y {z :z X  hoặc z Y  } =min x y, , max x y,  (2.4)

 Tầm quan trọng của sự giao nhau

Sự giao nhau giữa hai tập hợp đóng vai trò quan trọng việc phân tích khoảng Nếu chúng có hai khoảng chứa cùng một kết quả của sự quan tâm, bất kể thế nào chúng vẫn có kết quả thu được sau sự giao nhau đó trong đó có thể hẹp hơn nhưng cũng chứa đựng một kết quả

Ví dụ 1.2 Giả sử có hai người cùng làm thí nghiệm về một phép đo độc lập

của cùng một đại lượng vật lý Người thử thứ nhất ước tính q = 10.3 với sai số

đo nhỏ hơn 0.2, người thử thứ hai ước tính q = 10.4 với sai số đo nhỏ hơn 0.2

Có thể gọi X = [10.1, 10.5] và Y = [10.2, 10.6] lần lượt đại diện cho các phép

đo trên của người 1 và người 2 Khi đó : X Y = [10.2, 10.5]

Phép giao có thể bằng rỗng với ngụ ý rằng có ít nhất một phép đo là không đúng

1.3 Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của một khoảng

Cho X là một khoảng Khi đó:

1 Độ rộng của khoảng X được định nghĩa và kí hiệu

 ( ) X   x x (2.5)

2 Giá trị tuyệt trị tuyệt đối cả nó với điểm cuối

X  maxx , x  (2.6)

với mọi x  X với mọi X

3 Trung điểm của khoảng X được xác định:

1.4 Quan hệ thứ tự trong một khoảng

Ta đã biết rằng các số thực được sắp xếp theo các mối quan hệ, mối quan hệ này được gọi là mối quan hệ bắc cầu

Nếu a < b và b < c thì a < c với mọi a, b, c thuộc

Mối quan hệ tương ứng này cũng được xác định cho khoảng:

X < Y thì x  y (2.8)

Chẳng hạn:0,1  2, 3

Ta có : A < B và B < C thì A < C (2.9) Với A, B, C là các khoảng cho trước

Ta có thể gọi X là khoảng dương nếu X > 0 hoặc X âm nếu X < 0, điều đó có nghĩa là X > 0 nếu x >0 ,với mọi x X

X  Y khi và chỉ khi yx và x  y (2.10)

Ví dụ 1.4 Ta có khoảng    1,3  0,3 , đây là cách sắp xếp một phần, không phải mọi cặp khoảng có thể so sánh dưới dạng bao gồm Chẳng hạn, nếu X và Y là khoảng chồng chéo nhau: X  2,5 ,Y 4,20, khi đó X không chứa trong Y và Y cũng không chứa trong X Tuy nhiên,

 4,5

X Y chứa trong cả X và Y

1.5 Các phép toán của khoảng số học

Khái niệm thoái hoá cho phép chúng ta xem một khoảng khép kín gần như mở rộng của hệ thống số thực Thật vậy, rõ ràng chỉ có một cặp

 x x, x giữa các yếu tố của hai hệ thống

SVTH: Nguyễn Thị Phương 17

1.5.1 Định nghĩa các phép toán số học trong một khoảng

Chúng ta đang xác các phép toán số học cơ bản giữa các khoảng Điểm mấu chốt trong định nghĩa này tính toán với các khoảng được tính toàn bộ Chẳng hạn như khi ta thêm hai khoảng, kết quả của khoảng là tập hợp các khoảng chứa các cặp số từ 2 cặp ban đầu

Việc nhân của chuỗi khoảng được đưa ra ở các mức tối thiểu và tối đa

Trên thực tế rằng, việc kiểm tra các dấu hiệu: X Y X Y, , , Các trường hợp được thể hiện ở bảng sau:

SVTH: Nguyễn Thị Phương 20

Ví dụ 1.9 Nếu X  0,2 theo công thức (2.23) ta có thể viết X   1  1,1

công thức này rất hữu ích khi chúng ta sử dụng các khoảng mở để mô tả các con số trong các điều kiện

2 Khái niệm Mêtric khoảng

2.1 Khoảng cách trong giải tích khoảng

2.2 Khái niệm Mêtric trong giải tích khoảng

Cho  X X:  x x x x, , ,   là không gian các khoảng Xét

SVTH: Nguyễn Thị Phương 22

00

Vậy D là một Mêtric trên 

3 Sự hội tụ của dãy khoảng

Định nghĩa 3.1 Ký hiệu  X n n ,X n x x n, nđược gọi là dãy các khoảng trong  nếu x n x n, n và  x n n , x n n là các dãy số thực trong

Định nghĩa 3.2 Cho  X là dãy các khoảng Ta nói k  X là dãy hội tụ nếu k

SVTH: Nguyễn Thị Phương 23

Mệnh đề 1.1 Khoảng X những phần tử của không gian Mêtric n    ,d hội

tụ đến phần tử X0 của  nếu lim ( n, ) 0

n n

n n

n n

n n

1 2 1 , n

nên khoảng hội tụ của chuỗi khoảng đã cho  0, 2

Nhận xét 3.1 Nếu một dãy khoảng hội tụ trong thì giới hạn đó là duy nhất.

n n

n n

Vậy dãy  X n n   hội tụ đến X

II Chuỗi khoảng

2.1 Khái niệm về chuỗi khoảng

Định nghĩa 2.1 Cho dãy khoảng  X n , khi đó :

Giả sử, với mọi   0tồn tại n0 sao cho d S S n, m, với nn n m0, , 

Ta cần chứng minh chuỗi khoảng (1) hội tụ

n n

n n

n n

SVTH: Nguyễn Thị Phương 28

1

1 1 ,

1 1 ,

Giả sử, với mọi   0tồn tại n0 sao cho d S S n, m, với nn n m0, , 

Ta cần chứng minh chuỗi khoảng (1) hội tụ

SVTH: Nguyễn Thị Phương 29

Định lý 2.3 Giả sử

1

n n

n n

x x

 từ đó ta có điều phải chứng minh

2.2 Chuỗi khoảng dương

Chuỗi khoảng dương

1

n n

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 2.6.( Tiêu chuẩn so sánh 1) Cho chuỗi khoảng dương

  nếu tồn tại n0 sao cho X n Y n,  n n0 Khi đó

i Nếu chuỗi khoảng

1

n n

SVTH: Nguyễn Thị Phương 32

i Nếu

1

n n

n n

SVTH: Nguyễn Thị Phương 33

Ví dụ 2.5 Xét sự hội tụ của chuỗi khoảng sau:

1

1 1 , 1

n n

n n

n n

i Nếu k0,  thì chuỗi khoảng đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

ii Nếu k 0 và chuỗi khoảng

1

n n

Tương tự như các suy luận trên

sao cho  2 0,k    2 0, n2 để k2s1n  s n k 2s1n, n n1 với

s  s  đồng thời được chặn trên hay không

Sử dụng nhận xét 2.1 trên ta suy ra điều phải chứng minh

n y

x

n x y n n y

       

Ta thấy, nếu    1n , 1n

s  s  không bị chặn trên, khi đó     sn n , sn n

không bị chặn trên do nhận xét 2.1 , định lý 2.6 nên từ đó, ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.7 Xét sự hội tụ của chuỗi khoảng sau:

SVTH: Nguyễn Thị Phương 36

Mà

1

1 1

3 1

1

ln 1 ,

1 ,

n

n

n n

n n

Định lý 2.8 Tiêu chuẩn Dalembert trong giải tích khoảng

Cho chuỗi khoảng

1

n n

X







i Nếu D1 : chuỗi khoảng đã cho hội tụ

ii Nếu D 1: chuỗi khoảng đã cho phân kì

iii Nếu D 1:chưa kết luận được chuỗi khoảng đã cho là hội tụ hay phân kì

i n

n i

   sử dụng các phương pháp trên ta chứng minh dãy

 s n n không bị chặn trên Khi đó, chuỗi khoảng (1) đã cho phân kì

Trong trường hợp l  1ta không thể kết luận chuỗi khoảng đã cho hội tụ hay phân kì

Ví dụ 2.8 Xét sự hội tụ của chuỗi khoảng:

 

1 1 ,

i Nếu L 1 chuỗi khoảng đã cho hội tụ

ii Nếu L 1 chuỗi khoảng đã cho phân kì

X  L 

Ta có   sn n bị chặn nên ta kết luận chuỗi khoảng đã cho hội tụ

ii Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng cách nhƣ câu a

Ví dụ 2.9 Xét sự hội tụ của chuỗi khoảng:

SVTH: Nguyễn Thị Phương 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R.Baker Kearfott Michael J.Clo – Roman E.Moore – Nhà xuất bản năm 1979

[2] Methods and Application of Interval Analysis - Roman E.Moore – Nhà xuất bản năm 1979

[3] Tôpô đại cương - Đo độ và Tích phân – Nguyễn Xuân Liêm – Nhà xuất bản Giáo dục

[4] Matloka, Fuzzy Mappings – Sequences and Series, Institute of Eco – nomical Cybernrtics, Department of Mathematics

SVTH: Nguyễn Thị Phương 40

PHẦN KẾT LUẬN

Khóa luận này chủ yếu đọc hiểu và làm rõ một số nội dung sau:

1 Nhắc lại các kiến thức về không gian Mêtric và chuỗi số trên trường số thực

2 Trình bày các khái niệm, định nghĩa, định lý và các quan hệ cũng như các phép toán trên khoảng Sự hội tụ của dãy khoảng, khái niệm Mêtric trên khoảng, trình bày khái niệm chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương và các tiêu chuẩn so sánh sự hội tụ của chuỗi khoảng dương

Trong quá trình làm khóa luận sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

SVTH: Nguyễn Thị Phương

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 2

MỞ ĐẦU 1 1.Lý do chọn đề tài: 1

2.Mục đích nghiên cứu: 1

3.Phương pháp nghiên cứu: 1

4.Nội dung nghiên cứu: 1

5.Đóng góp đề tài: 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

I Không gian Mêtric 3

1.1 Định nghĩa 1.1 3

1.2 Sự hội tụ trong không gian Mêtric 4

1.3 Không gian Mêtric đầy đủ 5

II Chuỗi số 6

1 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ 7

2 Chuỗi số dương 9

2.Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 10

CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN MÊTRIC KHOẢNG 14

VÀ CHUỖI KHOẢNG 14

I Không gian Mêtric khoảng: 14

1.1 Các khái niệm cơ bản : 14

1.2 Hợp, giao của hai khoảng: 14

1.4 Quan hệ thứ tự trong một khoảng 16

1.5 Các phép toán của khoảng số học 16

1.5.1 Định nghĩa các phép toán số học trong một khoảng 17

2 Sự hội tụ của dãy khoảng 22

3 Khái niệm Mêtric khoảng 21

3.1 Khoảng cách trong giải tích khoảng 21

3.2 Khái niệm Mêtric trong giải tích khoảng 21

II Chuỗi khoảng 25