Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

Phùng Đức Thắng khóa luận “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào khác.. Các kết quả được n

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Phùng Đức

Thắng đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập & thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

TỪ THỊ YẾN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của ThS Phùng Đức Thắng

khóa luận “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán

học” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào khác

Trong khi thực hiện khóa luận tôi đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

TỪ THỊ YẾN

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CHUỖI SỐ 3

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 3

1.2 Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số 4

1.3 Bài toán tính tổng chuỗi số 16

Chương 2 CHUỖI HÀM 20

2.1 Định nghĩa 20

2.2 Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 20

2.3 Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 21

2.4 Bài toán tính tổng chuỗi hàm 28

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quả được nghiên cứu trong giải tích có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Toán học và nhiều ngành khoa học khác như: Vật lý, Thiên văn, Địa lý…

Quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết về chuỗi rất được quan tâm Nó gồm 2 phần :

1 Chuỗi số

2 Chuỗi hàm

Trong toán học một chuỗi là một tổng của một dãy các biểu thức toán học Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô hạn, có

số lượng các biểu thức dài vô hạn Chuỗi hữu hạn có thể được xử lý bằng các phép tính đại sơ cấp Trong khi đó, các chuỗi vô hạn cần các công cụ giải tích trong các ứng dụng toán học

Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi có ý nghĩa rất lớn cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành Để tìm hiểu về lý thuyết

chuỗi và được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài “Một số

bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học” để thực hiện

khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hệ thống lại những bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các bài toán cơ bản của chuỗi số

Các bài toán cơ bản của chuỗi hàm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm

Phạm vi nghiên cứu: Giải tích cổ điển

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp, đánh giá, so sánh

Chương 1 CHUỖI SỐ

Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản của chuỗi số, phần tiếp theo chúng tôi trình bày hai bài toán cơ bản của chuỗi số là: xét sự hội tụ của chuỗi số và tính tổng chuỗi số

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1 Cho dãy số a a1, 2, ,a n, Đặt 1 2

{ }A n là dãy tổng riêng của chuỗi số

Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số

1

k k

a

∞

=

∑ hội tụ về A thì với mọi n nguyên dương

hiệu A A− n được gọi là phần dư thứ n của chuỗi Kí hiệu: r n

Định lý 1.1 Điều kiện cần và đủ để chuỗi

1

n n

Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Cauchy về

sự hội tụ của chuỗi số như sau:

Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi

1

n n

Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộp

lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì chuỗi mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho

Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất:

1.2 Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi số

Phần này chúng tôi đưa ra những công cụ cho phép chúng ta xét sự hội

tụ được của một chuỗi số, công cụ này cho phép chúng ta nhận biết được khi nào một chuỗi là hội tụ hoặc phân kỳ và đưa ra một số ví dụ cụ thể minh họa

1.2.1 Các dấu hiệu hội tụ

Định lí 1.5 (Dirichlet) Giả sử rằng:

i) Chuỗi số

1

n n

b

∞

=

∑ là hai chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số tự nhiên n0 và một hằng số C > 0 sao cho a n ≤b n với mọi n≥n0

Khi đó:

i Nếu chuỗi

1

n n

a

∞

=

∑ hội tụ

ii Nếu chuỗi

1

n n

a k b

b

∞

=

∑ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

b) Nếu k = 0 và

1

n n

a n

n n

≥+

các chuỗi

1

n n n

a n

n n n

n n

∑ hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh thì chuỗi đã cho hội tụ

Nhận xét: Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các chuỗi

trội hay dễ thấy sự hội tụ hay phân kì của chúng

Định lí 1.9 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

1

n n

1

x p x

p dt

p t

∑ hội tụ khi p>0 và phân kỳ khi p≤0

Định lí 1.10 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương

1

n n

1 Nếu c<1 thì chuỗi đã cho hội tụ

2 Nếu c>1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Ví dụ 5

Xét sự hội tụ của chuỗi số

1+ +a ab+a b+a b + + a b n n− +a b n n +

trong đó a, b là hai số dương khác nhau

Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là c n, ta có

1, 2,

1, 2,

k k k

k k k

Như vậy tồn tại limn

n n

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ

Định lí 1.11 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số dương

1

n n

a

d a

+

→∞ = Khi đó:

1) Nếu d < 1 thì chuỗi số đã cho hội tụ

2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì

Ví dụ 7

Chứng minh rằng nếu 1 ( )

n n

n

a

q a a

a q

a q

a q

x n n

n n

Suy ra chuỗi hội tụ khi 0≤ <x e

Chuỗi phân kỳ khi x>e

i) Các dấu hiệu Cauchy, D’Alembert không áp dụng được trong trường

hợp c=1 hay d =1, nhưng nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà n 1

a

d a

iii) Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D’Alembert nếu các giới hạn

a

+

→∞ →∞ các giới hạn này luôn tồn tại và có kết quả tương tự

Định lí 1.12 (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương

1

n n

p p p

Theo dấu hiệu Gauss, nếu p>2 thì chuỗi đã cho hội tụ, còn với p<2thì chuỗi đã cho phân kì

Định lí 1.14 (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy { }a n là dãy đơn điệu giảm và

n n

n n

=

−+

∑ là chuỗi đan dấu với 1

2

=+

a

n đơn điệu và giảm

dần về 0 khi n→ ∞ nên theo định lý Leibniz thì đó là chuỗi hội tụ

Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 2

1.3 Bài toán tính tổng chuỗi số

Định nghĩa 1.5 Cho dãy số a a1, 2, ,a n, Đặt 1 2

a

∞

=

∑ phân kỳ

Ta gọi a n là số hạng của chuỗi số,

Chương 2 CHUỖI HÀM

Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản của chuỗi hàm, phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán cơ bản của chuỗi hàm là: Tìm miền hội tụ, xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm và tính tổng chuỗi hàm

2.1 Định nghĩa

Chuỗi hàm là tổng hình thức u1 + u2 + … + un + … = ( )

1

n n

Sau đây chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ nhất:

2.2 Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Định nghĩa 1.6 Cho chuỗi hàm ( )

1

n n

+∞

=

∑ xác định trên tập U

Nếu dãy các tổng riêng { }S n hội tụ tại x0∈U thì ta nói chuỗi hàm (2.1)

hội tụ tại điểm x0 Nếu dãy { }S n phân kì tại x0 thì ta nói chuỗi hàm (2.1) phân kì tại x0

Nếu dãy các tổng riêng{ }S n hội tụ tại mỗi điểm trên tập U thì ta nói rằng chuỗi hàm (2.1) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội

tụ của chuỗi hàm đó

Giới hạn của dãy tổng riêng trên U được gọi là tổng của chuỗi hàm trên U, tức là có hàm ( ) ( )

1

n n

Có thể kiểm tra được rằng với mọi x1 ≥1 chuỗi phân kỳ tại x1

Như vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm

Tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 2:

2.3 Bài toán xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Định nghĩa 1.7 Nếu dãy các tổng riêng { }S n hội tụ đều trên tập U thì ta nói

rằng chuỗi hàm ( )

1

k k

Với mỗi x bất kỳ cố định thuộc ℝ , chuỗi đã cho là một chuỗi đan dấu

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Vì thế, miền hội tụ của chuỗi hàm này là ℝ

Vậy chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên ℝ

Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu tồn tại số ε0>0 và với mọi n đều tồn tại số tự nhiên n0 >n và tồn tại x0∈U sao cho

0( 0) ≥ε0

n

r x thì chuỗi hàm không hội tụ đều

Định lí 1.15 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm ( )

1

k k

n n

∑ hội tụ với mọi x>0, nên chuỗi đã cho hội tụ trong

(0,+∞) Tuy nhiên ta sẽ chỉ ra rằng trong khoảng đó chuỗi không hội tụ đều

Ký hiệu ( )S x n là tổng riêng thứ n của chuỗi Ta thấy

n n n n

n n

Định lí 1.16 (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm ( )

1

n n

sin

n

nx n

x

x n

c)

1

( 1) , 22

n n n

x x

x n

∞

=

∑ hội tụ đều trên đoạn [ ]−1,1

a) Dãy tổng riêng A n( )x của chuỗi hàm

1

( )

n n

sin2

Chuỗi đã cho có dạng

1

( ) ( )

n n n

a x

∞

=

∑ hội tụ đều trên U

b) Dãy hàm { }b n đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là với mọi x U∈ dãy số {b n( )x } là dãy đơn điệu và tồn tại số M >0 sao cho

a n

a n

n − đơn điệu giảm đến 0 khi

n→ ∞ Do đó theo dấu hiệu Abel chuỗi

1

n x n

a n

+∞

=

∑ hội tụ với mọi x>x0

Phần cuối cùng chúng tôi trình bày bài toán cơ bản thứ 3

2.4 Bài toán tính tổng chuỗi hàm

Việc tính tổng của chuỗi hàm một cách trực tiếp là rất khó khăn

Ví dụ

Cho hai chuỗi hội tu

= − + − + −+1 1 2 ( 1) 1 1

x

n , x <1 Chính vì vậy để tính được tổng của chuỗi hàm này ta sẽ đưa ra và sử dụng một số tính chất của tổng chuỗi hàm để việc tính tổng chuỗi hàm được thuận lợi hơn

Định lí 1.19 (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm ( )

1

n n

Chú ý Định lí chỉ là điều kiện đủ Ví dụ chuỗi

0

11

n n

∑ với x∈ −( 1,1) có

tổng là một hàm liên tục nhưng chuỗi hàm

0

n n

( )

(1 )n n

Với x≠0 thì chuỗi hàm là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội là <

2 2

1

1n

Từ đó ta thấy hàm ( )un x đạt cực đại tại x= 1

n

và đạt cực tiểu tại x= − 1

n Đồng thời ta có:

u x

n n, với x∈ −∞ +∞( ; )

hội tụ đều trong khoảng(−∞ +∞; )

Mặt khác, các hàm ( )un x liên tục trong (−∞ +∞; ) nên tổng f(x) của nó là hàm liên tục trong khoảng này

Định lí 1.20 (Định lí Dini) Giả thiết rằng:

a) Chuỗi hàm ( )

1

n n

Định lí 1.21 (Qua giới hạn từng số hạng) Cho chuỗi hàm ( )

1

n n

+∞

=

∑ , U là tập hợp con của tập số thực và x 0 là điểm tụ của U Giả sử rằng:

a) Chuỗi hàm hội tụ đều trên U và có tổng là S

+∞

=

∑ Giả sử rằng:

a) u n (n = 1, 2, …) là các hàm khả tích trên [ ]a b,

b) Chuỗi hàm ( )

1

n n

Hãy tính tổng của các chuỗi hàm sau

n n n

( 1)n n n

xx

x x

x x

Định lí 1.23 (Lấy đạo hàm từng số hạng) Cho chuỗi hàm ( )

1

n n

+∞

=

∑ Giả thiết rằng:

a) Chuỗi hàm hội tụ tại một điểm x0 nào đó thuộc ( )a b, .

x n

Trong khoảng hội tụ ta có thể đạo hàm từng số hạng

( 1)(2 1)3

n n

( 1)

n n n

x n

Tại x= ±1 chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibniz

Trong khoảng hội tụ ta có thể đạo hàm từng số hạng

1

n n n

2 1 1

π

Vậy

1 1 1

n n

22sin

22sin

KẾT LUẬN

Khóa luận với đề tài “Một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi

trong giải tích toán học” nghiên cứu tổng quan về một số bài toán cơ bản của

lí thuyết chuỗi bao gồm nội dung cơ bản của: Chuỗi số và chuỗi hàm

Với đề tài này, khóa luận mong muốn đóng góp kinh nghiệm, giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu hơn về một số bài toán cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích nói chung và học phần giải tích 2 nói riêng

Dù đã hết sức cố gắng song do trình độ và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, thời gian có hạn nên khóa luận chưa đưa ra được nhiều dạng bài tập minh họa Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Liasko.I.I, Boiatruc.A.K, GaiIa.G, Golovac G.P (1977), Giải tích toán học trong các ví dụ và bài tập tập 1, tập 2 (tiếng Nga), NXB Golovnoie, Kiev

2 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2002), Giáo trình

giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,

3 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2002), Bài tập

giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

4 Đinh Thế Lục, Phạm Duy Điển, Tạ Duy Phượng (2005), Giải tích toán học

hàm số một biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

5 Jean, Marie, Monier (2009), Giáo trình toán tập 3, tập 4, NXB Giáo dục

Việt Nam