SKKN Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12

Là giáo viên tôi luôn trăn trở, tìm cách để giúp cho học sinh của mình có được các định hướng trước mỗi bài toán khó để học sinh có thể tìm thấy được những thuật toán, tạo tích lũy cho b

NỘI DUNG

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Hiện nay, hệ thống các bài toán trong giáo dục cần phải đổi mới phù hợp với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi trong hình thức thi cử Sự đổi mới này đòi hỏi người học phải tư duy nhiều hơn, tìm tòi sáng tạo để phá vỡ lớp bảo vệ của bài toán và đi đến bản chất của vấn đề, từ đó giải quyết nhanh chóng và hiệu quả Đối với giáo viên phổ thông, việc phát triển kỹ năng này cho học sinh, đặc biệt là những học sinh khá và giỏi, là yếu tố then chốt giúp nâng cao chất lượng học tập và chuẩn bị cho các kỳ thi cạnh tranh.

Với nhiều năm giảng dạy và sự nghiên cứu cá nhân, tác giả đã tích lũy kinh nghiệm học hỏi từ các giáo viên, giảng viên lâu năm để đúc kết một chuyên đề quan trọng về hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong chương trình giải tích lớp 12 Chuyên đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và vận dụng lý thuyết trong giải toán cực trị hàm số, nâng cao kỹ năng và khả năng tư duy logic.

Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong giải tích 12 nhấn mạnh việc dựa vào các kỹ năng biến đổi đồ thị và sử dụng phần mềm GeoGebra để rút ra các quy tắc chung về tìm cực trị Phương pháp này giúp hệ thống hóa các bài toán cơ sở, tạo thành nền tảng cho việc vận dụng giải các bài toán khác một cách nhanh chóng và phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Đề tài không chỉ cung cấp kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, giúp học sinh biến các vấn đề phức tạp thành những bài toán dễ tiếp cận nhờ hiểu rõ bản chất của dạng toán Từ kiến thức cơ bản, học sinh tự nhiên tiếp cận các kiến thức nâng cao, không bị chèn ép hay áp đặt, qua đó nâng cao khả năng tư duy và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.

THỰC TRẠNG

502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared

Việc rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải bài toán trắc nghiệm cực trị trong giải tích 12 là một thách thức lớn đối với học sinh Nhận thức được thực trạng này, tôi đã tiến hành thực nghiệm tại các lớp của trường THPT Quỳnh Lưu 4 bằng hai bài kiểm tra 10 phút trên 10 học sinh mỗi lớp Đề kiểm tra số 1 được thực hiện trước khi giảng dạy chuyên đề, nhằm đánh giá mức độ vận dụng của học sinh trong việc giải quyết các bài toán cực trị.

Câu 1 (VD) Cho hàm số   1 3 1 2 2 1

3 2 f x  x  x  x , hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 2 (VDC) Cho hàm số f x   có đạo hàm f x      x 3  6 x 2  x 2  4  với mọi x Hàm số y  f x  2  3 x  2  có tối đa mấy điểm cực trị?

Để chọn đáp án đúng trong đề kiểm tra số 2 sau khi đã giảng dạy chuyên đề, học sinh cần phân tích kỹ đề bài và các phương án lựa chọn Quá trình làm bài yêu cầu vận dụng kiến thức đã học, áp dụng các quy tắc và công thức phù hợp để xác định đáp án chính xác nhất Học sinh cần trình bày rõ ràng các bước phân tích và lý luận để đảm bảo chọn đúng đáp án, góp phần nâng cao khả năng vận dụng kiến thức trong các bài kiểm tra.

Câu 1 (VD) Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     x 2  16 , x x  R Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f x  4  8 x 2  m  có đúng 9 điểm cực trị?

Trong câu hỏi này, chúng ta xét hàm số liên tục y = f(x) có đồ thị đạo hàm y = fʼ(x) được minh họa trong hình vẽ Tập S bao gồm tất cả các giá trị nguyên m thuộc đoạn [-21, 21] sao cho hàm số y = f(x) = 2 + 2mx - 1 có đúng 7 điểm cực trị Nhiệm vụ là xác định số phần tử của tập S dựa trên điều kiện về số điểm cực trị của hàm số đã cho.

“Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó”

Kết quả thực nghiệm trên được trình bày và phân tích trong phần phụ lục ở trang 35 trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này.

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Các bài toán cực trị trong giải tích 12 thường xuyên xuất hiện trong đề thi minh họa, đề thi thử và đề thi tốt nghiệp THPT, nhằm phân loại học sinh khá, giỏi để phát hiện và đào tạo các học sinh có khả năng chuyên môn cao Mặc dù có nhiều phương pháp giải khác nhau, việc đào sâu nghiên cứu và định hướng giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán dạng này, góp phần nâng cao trình độ và mở rộng khả năng tư duy giải toán.

Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho các bài toán cực trị trong giải tích 12 giúp nâng cao kỹ năng xác định đúng hướng tiếp cận bài toán Đây còn là quá trình liên kết các dạng bài toán có cùng đặc trưng bằng cách biến đổi phù hợp, từ đó rút ngắn thời gian và tăng hiệu quả giải quyết Việc hiểu rõ các phép đổi biến trong giải tích giúp chuyển các bài toán phức tạp thành các dạng đơn giản hơn, dễ dàng tra kết quả bằng cách đưa giả thiết vào và nhận kết quả chính xác Kỹ năng này không chỉ hỗ trợ học sinh trong quá trình ôn tập mà còn phát triển khả năng tư duy, vận dụng kiến thức linh hoạt vào các đề thi và bài tập thực tế.

Với hơn hai mươi năm giảng dạy và tự nghiên cứu, tác giả đã đúc kết phương pháp giải bài toán cực trị trong giải tích 12 dựa trên việc sử dụng biến đổi đồ thị, phần mềm GeoGebra và hệ thống các bài tập tìm cực trị của hàm hợp Các định hướng này bao gồm việc hướng dẫn học sinh phân tích đồ thị hàm số, ứng dụng phần mềm vẽ hình để hình dung bài toán, và tổng quát hóa quy tắc tìm cực trị của hàm hợp từ các quy tắc cơ bản Những phương pháp này đã giúp học sinh ôn thi hiệu quả và đạt thành tích cao trong kỳ thi THPT quốc gia và tốt nghiệp THPT.

1 Định hướng tìm lời giải bài toán tìm số điểm cực trị của các hàm số dạng

  y  f x với f x( ) là hàm đa thức bậc ba

Các bài toán tìm điểm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp khó khăn vì làm thế nào để “phá vỡ” được dấu giá trị tuyệt đối, giúp chuyển đổi dạng có thể dễ dàng giải quyết Để giải quyết vấn đề này, tôi đề xuất kết hợp các phương pháp suy đồ thị quen thuộc và hình vẽ trực quan bằng phần mềm GeoGebra, nhằm xây dựng hệ thống hướng tiếp cận giúp “phá vỡ” lớp vỏ bao quanh của giá trị tuyệt đối, chuyển nó về dạng quen thuộc Phương pháp này giúp rút ngắn thời gian tìm ra lời giải của bài toán một cách hiệu quả (Xem video hướng dẫn suy đồ thị trực quan bằng GeoGebra tại đây: https://drive.google.com/file/d/11AijiCfaLcjdMduxQiaaSfRcUjNuTxRj/view?usp)

=sharing a Các kiến thức cơ bản cần sử dụng

Bước 1 Từ đồ thị (C) của hàm số y  f x   , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số

Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, do đó đồ thị của hàm số (H) nhận trục tung làm trục đối xứng Điều này có nghĩa là phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (x ≥ 0) và phần đối xứng của nó (C2) nằm bên trái trục tung, tạo thành tập hợp (H) = (C1 ∪ C2).

Bước 2 Từ đồ thị (H) của hàm số y  f x   , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số

Suy ra     G  C 3   C 4 với   C 3 là phần đồ thị (H) nằm phía trên trục hoành

 y   H  0  , còn   C 4 là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) nằm phía dưới  y   H  0 

GeoGebraCalculator-Windows-Installer-6-0-689-0.exe.zip

+/ Tính chất hàm liên tục:

Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn   a b ; và f a f b ( ) ( ) 0  thì tồn tại ít nhất một điểm c    a b ; sao cho f c ( ) 0 

*Phương pháp chứng minh phương trình có k nghiệm trong   a b ;

Cho phương trình f x    0 *   Để chứng minh   * có k nghiệm trong   a b ; , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số a T 1 T 2  T k  1 b chia đoạn   a b ; thành k đoạn thỏa mãn :

Hàm số y  f x   liên tục trên đoạn   a b ; nên liện tục trên k đoạn  a T; 1 ;  T T 1; 2 ; ; T b k  1; 

Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình   * trên   a b ; b Các định hướng

Ví dụ 1 Cho hàm số đa thức bậc ba y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ sau:

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x   vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 11

Định hướng của bài viết là phân tích đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương, thì hàm số y = f(x) sẽ có 11 điểm cực trị, thể hiện rõ đặc điểm của đồ thị hàm số đa thức bậc ba này.

Ví dụ 2 Cho hàm số đa thức bậc ba y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ sau:

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x   vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị của hàm số bằng 9

Định hướng [1.2]: Đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương và hai điểm cực trị dương Khi hàm số có hai điểm cực trị dương, nó sẽ có tổng cộng 9 điểm cực trị trên đồ thị Điều này cho thấy hình dạng của đồ thị hàm số đa thức bậc ba đặc trưng bởi các điểm cắt trục hoành và các cực trị phân bố rõ ràng.

Ví dụ 3 Cho hàm số đa thức bậc ba y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ sau:

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x   vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 7

Hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương và một điểm cực trị dương Khi đồ thị hàm số có một điểm cực trị dương, điều này cho thấy hàm số có thể có tới bảy điểm cực trị, phản ánh đặc điểm thiết kế của đồ thị theo định hướng đã đề ra.

Ví dụ 4 Cho hàm số đa thức bậc ba

  y f x có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ sau:

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x   vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 5

Đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ dương và một điểm cực trị dương Điều này dẫn đến hàm số y = f(x) có tổng cộng 5 điểm cực trị, phản ánh đặc điểm hình dạng của đồ thị và ý nghĩa của các điểm cực trị trong quá trình phân tích hàm số.

Ví dụ 5 Cho hàm số đa thức bậc ba y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Từ cách suy ra đồ thị ở mục a., ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ sau:

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x   vừa vẽ được, ta có số điểm cực trị bằng 3

Để định hướng đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x), chú ý đến các điểm cắt trục hoành và các điểm cực trị Khi hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và chỉ có một điểm có hoành độ dương, đồng thời không xuất hiện điểm cực trị dương, thì hàm số y = f(x) sẽ có 3 điểm cực trị Việc phân tích các điểm cực trị và điểm cắt trục hoành giúp xác định đúng hình dạng và hướng của đồ thị hàm số bậc ba này.

Nhận xét Tương tự cách làm trên học sinh có thể tự rút ra thêm một số các định hướng sau:

Định hướng: Một đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và có hoành độ không dương thì hàm số này luôn có một cực trị Điều này giúp hiểu rõ hơn về hình dạng và đặc điểm của đồ thị hàm số bậc ba trong trường hợp cụ thể này.

Định hướng [1.7] cho biết, đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, với hoành độ không dương và hàm số không có cực trị Điều này giúp xác định chính xác vị trí giao điểm của đồ thị với trục hoành trong phạm vi hoành độ âm hoặc bằng không Việc phân tích đặc điểm của hàm số, như số nghiệm và cực trị, là yếu tố quan trọng để hiểu rõ hình dạng và hành vi của đồ thị đa thức bậc ba.

Định hướng của đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) là một trong những đặc điểm quan trọng cần phân tích Khi đồ thị cắt trục hoành tại duy nhất một điểm có hoành độ dương, điều này phản ánh rằng hàm số có duy nhất một nghiệm dương Nếu hàm số không có cực trị, điều đó cho thấy đồ thị không có điểm cực đại hoặc cực tiểu, giúp xác định hình dạng của đồ thị và các đặc điểm biến thiên của hàm số một cách chính xác.

Định hướng [1.9]: Đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = f(x) cắt trục hoành tại hai điểm, trong đó có một điểm tiếp xúc, một điểm cắt và có hoành độ dương, cho thấy hình dạng của đồ thị có đặc điểm đặc trưng, giúp hiểu rõ về sự biến thiên và các nghiệm của hàm số.

Hàm số đa thức bậc ba y = f(x) có đặc điểm cắt trục hoành tại 2 điểm, trong đó có 1 điểm tiếp xúc dương, 1 điểm cắt âm và 2 điểm cực trị đều dương Điều này cho thấy hàm số có tổng cộng 5 điểm cực trị, phản ánh đặc điểm biến thiên phức tạp của hàm Định hướng phân tích hàm số này giúp xác định chính xác các điểm cực trị và cực trị của đồ thị, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất và ứng dụng của hàm số bậc ba Các ví dụ áp dụng cụ thể sẽ hỗ trợ làm rõ các đặc điểm này trong thực tế, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức trong bài toán.

Ví dụ 1 Cho hàm số f x    x 3  mx 2  nx  1 với , m n  và

Hàm số g x    f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Suy ra f x    0 có ba nghiệm phân biệt c 1 0;1 , c 2 1;2 và c 32;p    1

Suy ra đồ thị hàm số f x   có hai điểm cực trị x 1 c c 1; 2  và x 2 c c 2; 3    2

Sử dụng định hướng [1.1] ta có hàm số y  f x   có 11 điểm cực trị

Ví dụ 2 Cho hàm số   1 3 1 2 2 1

3 2 f x  x  x  x , hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?