ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2013 2014 Đề thi số 1 Bài thi môn Giải Tích II Số tín chỉ 5 Hệ đào tạo Chính quy Thời gian làm bài 120 phút (không kể[.]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
-
Đề thi số: 1
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a Tính giới hạn:
lim (𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑡𝑔(2𝑥𝑦)
𝑥2𝑦
b Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = (√𝑥 + √𝑦3 )3 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm 𝐴 = (100,125) Tính gần đúng 𝑧(98,123)
Câu 2: (2đ) Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi các mặt:
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧 = 1, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥, 𝑧 = 0, nằm trong góc phần tám thứ nhất
Câu 3: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∮ (2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦]𝑑𝑦 𝐶
,
𝐶 là đường cong có phương trình: 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, chiều của 𝐶 là chiều ngược chiều kim đồng hồ
Câu 4: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∬(𝑦 − 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 − 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
,
𝑆 là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2+ 𝑦2, 0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ Hướng dương của mặt 𝑆 là phía dưới, nhìn từ hướng dương của trục 𝑂𝑧
Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân:
𝑦′′+ 𝑦′ − 2𝑦 = −2𝑥2+ 2𝑥 + 2 + 4𝑒2𝑥
-
Ghi chú: Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu
Trang 2Bài thi môn: Giải Tích II Số tín chỉ: 5
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a Tính giới hạn:
lim (𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦
𝑥2+ 𝑦2
b Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = ln (√𝑥3 − √𝑦4 + 1) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm 𝐴 = (1,1) Tính gần đúng 𝑧(1.03; 0.96)
Câu 2: (2đ) Tính diện tích của phần mặt 𝑧 = 𝑥2
𝑎 +𝑦2
𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) nằm trong mặt trụ 𝑥2
𝑎 2 +𝑦2
𝑏 2 = 1
Câu 3: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∮ (2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦]𝑑𝑦 𝐶
,
𝐶 là biên của miền 𝐷 được giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 2 − 𝑥 Chiều của 𝐶 là chiều ngược chiều kim đồng hồ
Câu 4: (2đ) Tính tích phân:
𝐼 = ∬ 4𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑧 + 4𝑦3𝑑𝑧𝑑𝑥 − 6𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
,
𝑆 là phần mặt trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Hướng dương của mặt 𝑆 là phía trên, nhìn từ hướng dương của trục 𝑂𝑦
Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân:
𝑦′′+ 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 − 1 + 4𝑒𝑥
-
Ghi chú: Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu
Trang 3ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
- Đáp án đề thi số: 1
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a (0.25) lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑡𝑔(2𝑥𝑦)
𝑥 2 𝑦 = lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
2𝑡𝑔(2𝑥𝑦) 𝑥(2𝑥𝑦)
(0.25) Vì lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑡𝑔(2𝑥𝑦) 2𝑥𝑦 = 1
(0.25) Và lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
2
𝑥 = 2
(0.25) Nên lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
2𝑡𝑔(2𝑥𝑦) 𝑥(2𝑥𝑦) = 2
b (0.25) 𝑧𝑥 =3(√𝑥+√𝑦
3 )2
2√𝑥 , 𝑧𝑦 =(√𝑥+√𝑦
3 )2
√𝑦2
(0.25) (𝑥0, 𝑦0) = (100,125) → 𝑧0 = 3375
(0.25) Phương trình mặt tiếp diện: 𝑧 = 𝑧(𝑥0, 𝑦0) + 𝑧𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑧𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
= 3375 +134
4 (𝑥 − 100) +3
5 (𝑦 − 125)
(0.25) 𝑧(98,123) ≈ 3375 +134
4 (98 − 100)+3
5(123 − 125) = 3306.8
Câu 2: (2đ)
(0.25) Thể tích vật thể: 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸
(0.25) 𝐸 là khối nằm trong góc phần tám thứ nhất, giới hạn bởi mặt trên: 𝑧 = 1 −𝑥2− 𝑦2, mặt dưới: 𝑧 = 0, và 2 mặt bên: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥
(0.25) 𝑉 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷(𝑥,𝑦) ∫1−𝑥2−𝑦2𝑑𝑧
(0.25) = ∬ (1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦):𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 𝑥, 𝑦 ≤ √3𝑥}
(0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷(𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝜋/4 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/3}
(0.25) 𝑉 = ∬𝐷(𝑟,𝜑)(1 − 𝑟 2 ) 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 =
(0.25) = ∫𝜋/4𝜋/3𝑑𝜑∫ (1 − 𝑟01 2)𝑟𝑑𝑟 =
(0.25) = 𝜋
12.1
4= 𝜋
48
Câu 3: (2đ)
(0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦
𝑄𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃𝑦 = 6𝑦
(0.25) Theo Green:
𝐼 = ∬𝐷(𝑥,𝑦)(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 ∬ (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Trang 4𝐼 = 2 ∬𝐷(𝑟,𝜑)(1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
(0.25) = 2 ∫ 𝑑𝜑02𝜋 ∫ (1 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟01
(0.25) = 2 ∫ (1
3 𝑐𝑜𝑠𝜑 −2
3 𝑠𝑖𝑛𝜑 +1
2 ) 𝑑𝜑
2𝜋
Câu 4: (2đ)
(0.25) Phương trình mặt 𝑆:𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, vector pháp tuyến của mặt 𝑆: 𝒍 = (𝑧𝑥, 𝑧𝑦, −1)
(0.25) 𝑧𝑥 = 𝑥
√𝑥 2 +𝑦2,𝑧𝑦 = 𝑦
√𝑥 2 +𝑦2
(0.25) 𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ ℎ 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ}
(0.25) 𝐼 = ∬ [(𝑦 − 𝑧) 𝑥
√𝑥 2 +𝑦 2+ (𝑧 − 𝑥) 𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2 − (𝑥 − 𝑦)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑧𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2− 𝑥 + 𝑦] 𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) = ∬𝐷(𝑥,𝑦)[−2𝑥 + 2𝑦]𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷(𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ ℎ, −𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2}
(0.25) = 2 ∬𝐷( [𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑] 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
(0.25) = 2 ∫𝜋/2 (𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑑𝜑
=−4ℎ3
3
Chú ý: SV có thể sử dụng công thức Gauss, hoặc tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ (cầu), kết quả đúng vẫn chấm điểm tối đa
Câu 5: (2đ)
(0.25) Pt đặc trưng: 𝑘2+ 𝑘 − 2 = 0 có nghiệm 𝑘1 = 1, 𝑘2 = −2
(0.25) Pt thuần nhất tương ứng: 𝑦′′+ 𝑦′− 2𝑦 = 0 có nghiệm tổng quát:
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥
(0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = −2𝑥 2 + 2𝑥 + 2 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
(0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦1 = 𝑥 2
(0.25) Pt: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 4𝑒 2𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 𝐴
(0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦2 = 𝑒2𝑥
(0.25) Nghiệm tổng quát của ptvp:
𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑒 −2𝑥 + 𝑥 2 + 𝑒 2𝑥
Trang 5ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-
ĐỀ THI HẾT MÔN HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
- Đáp án đề thi số: 2
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2đ)
a (0.5) | 𝑥
2 𝑦
𝑥 2 +𝑦 2 | ≤ 𝑥2|𝑦|
2 | 𝑥𝑦 | =|𝑥|
2
(0.25) Vì lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
|𝑥|
2 = 0
(0.25) Nên lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0
b (0.25) 𝑧𝑥 = 1
3 (3√ 𝑥 −4√ 𝑦 +1)3√ 𝑥 2 , 𝑧𝑦 = −1
4 (3√𝑥 −4√𝑦 +1)4√ 𝑦 3
(0.25) (𝑥0, 𝑦0) = (1,1) → 𝑧0 = 0
(0.25) Phương trình mặt tiếp diện: 𝑧 = 𝑧(𝑥0, 𝑦0) + 𝑧𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑧𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
=1
3 (𝑥 − 1) −1
4 (𝑦 − 1)
(0.25) 𝑧(1.03; 0.96) ≈1
3(1.03 − 1)−1
4(0.96 − 1)= 0.02
Câu 2: (2đ)
(0.25) Diện tích: 𝐷𝑡 = ∬ 𝑑𝑆𝑆
(0.25) Phương trình mặt 𝑆:𝑧 = 𝑥𝑎2+𝑦𝑏2
𝑧𝑥 =2𝑥
𝑎 , 𝑧𝑦 =2𝑦
𝑏
(0.25) 𝑑𝑆 = √𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = √1 +4𝑥2
𝑎2 +4𝑦2
𝑏2 𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) 𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦):𝑥2
𝑎 2+𝑦2
𝑏2 ≤ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0}
𝐷𝑡 = ∬ √1 +4𝑥2
𝑎2 +4𝑦2
𝑏2 𝑑𝑥𝑑𝑦
(0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷(𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}
(0.25) 𝐷𝑡 = ∬ √1 + 4𝑟 2 𝑎𝑏𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
= 𝑎𝑏 ∬ √1 + 4𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑
(0.25) = 𝑎𝑏 ∫02𝜋𝑑𝜑∫ √01 1 + 4𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟
(0.25) = 𝑎𝑏𝜋
6 (5√5 − 1)
Câu 3: (2đ)
(0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥5+ 3𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2+ 𝑠𝑖𝑛2𝑦
𝑄𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃𝑦 = 6𝑦
(0.25) Theo Green:
Trang 6(0.25) 𝐼 = 2 ∫ 𝑑𝑥−21 ∫𝑥2−𝑥2 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦
(0.25) = 2 ∫ (𝑥−21 4− 𝑥3− 2𝑥2+ 6𝑥 − 4)𝑑𝑥
(0.25) = −333
10
Câu 4: (2đ)
(0.25) Phương trình mặt 𝑆:𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2
𝑆: 𝑥 = √𝑎2− 𝑦2, vector pháp tuyến của mặt 𝑆: 𝒍 = (1, −𝑥𝑦, 0)
(0.25) 𝑥𝑦 = −𝑦
√𝑎 2 −𝑦2
(0.25) 𝐷(𝑦, 𝑧) = {(𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ}
(0.25) 𝐼 = ∬ [4𝑥3+ 4𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦𝑑𝑧
= ∬ [4(√𝑎2− 𝑦2)3+ 4𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦𝑑𝑧
(0.25) = 4 ∫ 𝑑𝑧0ℎ ∫ [(√𝑎2− 𝑦2)3+ 𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦
𝑎
(0.25) = 4ℎ ∫ [(√𝑎2− 𝑦2)3+ 𝑦3 𝑦
√𝑎 2 −𝑦 2] 𝑑𝑦
𝑎
(0.5) =3𝜋ℎ𝑎4
2
Chú ý: SV có thể sử dụng công thức Gauss, hoặc tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ, kết quả đúng vẫn chấm điểm tối đa
Câu 5: (2đ)
(0.25) Pt đặc trưng: 𝑘2+ 2𝑘 + 1 = 0 có nghiệm 𝑘1,2 = −1
(0.25) Pt thuần nhất tương ứng: 𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 0 có nghiệm tổng quát:
𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥+ 𝐶2𝑥𝑒−𝑥
(0.25) Pt: 𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 − 1 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥 + 𝐶
(0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦1 = 𝑥2− 3
(0.25) Pt: 𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 4𝑒𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦1 = 𝑒𝑥𝐴
(0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: 𝑦2 = 𝑒 𝑥
(0.25) Nghiệm tổng quát của ptvp:
𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥+ 𝐶2𝑥𝑒−𝑥+ 𝑥2− 3 + 𝑒𝑥