Một số bài toán cơ bản của lý tuyết chuỗi trong giải tích toán học

HàNội,tháng5năm2013 Sinhviên TỪTHỊYẾN... MỤCLỤC LỜICẢMƠNLỜI CAMĐOAN MỞĐẦU...1 Chương1.CHUỖISỐ...3 1.1.Cáckháiniệmvàtínhchấtcơbản...3 1.2.. Bàitoán tínhtổngchuỗihàm...28 KẾTLUẬN...36 TÀIL

Emxinchân thànhcảmơn!

HàNội,tháng5năm2013

Sinhviên

TỪTHỊYẾN

MỤCLỤC LỜICẢMƠNLỜI

CAMĐOAN

MỞĐẦU 1

Chương1.CHUỖISỐ 3

1.1.Cáckháiniệmvàtínhchấtcơbản 3

1.2 Bàitoánxétsựhộitụcủachuỗisố 4

1.3 Bàitoántínhtổngchuỗisố 16

Chương2.CHUỖIHÀM 20

2.1 Địnhnghĩa 20

2.2 Bàitoántìmmiềnhộitụcủachuỗi hàm 20

2.3 Bàitoánxétsựhộitụđềucủachuỗihàm 21

2.4 Bàitoán tínhtổngchuỗihàm 28

KẾTLUẬN 36

TÀILIỆUTHAMKHẢO 37

1 Chuỗisố

2 Chuỗihàm

Trongtoánhọcmộtchuỗilàmộttổngcủamộtdãycácbiểuthứctoánhọc.Trongđasốcáctrườnghợpsửdụng,cácbiểuthứctrongchuỗicóthểđượcxâydựngbằngcáccôngthứchaythuậttoánhaythậmchíbằngsốngẫunhiên.Chuỗicóthểhữuhạn,cósốcácbiểuthứclàhữuhạn,hayvôhạn,cós ốlượngcácbiểuthứcdàivôhạn.Chuỗihữuhạncóthểđượcxửlýbằngcácphéptínhđạisơcấp.Trongkhiđó,cácchuỗivôhạncầncáccôngcụgiảitíchtrongcácứngdụngtoánhọc

Mặtkhác,tronggiảitíchcáckếtquảnghiêncứuvềlýthuyếtchuỗicóýnghĩarấtlớncảvềmặtlýthuyếtlẫnthựchành.Đểtìmhiểuvềlýthuyếtchuỗivàđượcsựđịnhhướng

củangườihướngdẫn,tôichọnđềtài“Mộtsố bàitoáncơbảncủalýthuyếtchuỗitronggiảit

4 Đốitượngvàphạmvinghiêncứu

Đốitượngnghiêncứu:Chuỗisố,chuỗihàm.Phạmvinghiêncứu:Giảitíchcổđiển

5 Phươngphápnghiêncứu

-Phântích,tổnghợp,đánhgiá,sosánh

Trongchươngnày,phầnđầuchúngtôitrìnhbàylýthuyếtcơbảncủachuỗisố,phầntiếptheochúngtôitrìnhbàyhaibàitoáncơbảncủachuỗisốlà : xétsựhộitụcủachuỗisốvàtínhtổngchuỗisố

A n làdãytổngriêngcủachuỗisố.

Địnhnghĩa1.3.Nếuchuỗisố



∑a k k1 hộitụvềAthìvớimọinnguyêndương hiệu AA n đ ượcgọilàphầndưthứncủachuỗi.Kíhiệu:r n



Dễthấyr nkn1∑ a k .

Từcácđịnhnghĩatrên,dễdàngsuyrađượcđịnhlýsau

tụ.

∑a n n1

hộitụlàchuỗi ∑a k

kn1

hội

TừtiêuchuẩnCauchyvềsựhộitụdãysốtacótiêuchuẩnCauchyvềs ựhộitụcủachuỗisốnhưsau:



và∑b n n

Sauđâychúngtôitrìnhbàybàitoáncơbảnthứnhất:

1.2 Bàitoánxétsựhộitụcủachuỗisố.

Phầnnàychúngtôiđưara những côngcụchophépchúngtaxétsựhộitụđượccủamộtchuỗisố,côngcụnàychophépchúngtanhậnbiếtđượckhinàomộtchuỗilàhộitụhoặcphânkỳvàđưaramộtsốvídụcụthểminhhọa

saocho|A n |=|a 1 +a 2 + +a n | Mvớimọin.

ii) Dãy{b n }đơnđiệuvàbịchặn.



∑b n làhaichuỗisố n1

hộitụthìchuỗi∑a n

n1 hộitụ.

∑b n . n1 Giảsửtồntạigiớihạnhữuhạnhayvôhạnlim a n



∑b n n1 cùnghộitụhoặccùng

∫41x4 0

Tacó

 2

ễthấysựhộitụhayphânkìcủachúng

Địnhlí1.9.(DấuhiệutíchphânCauchy)Chochuỗisốdương 

∑a n .Giảsử n1

n1 n

0khin,nên chuỗiphânkỳ

n a n 1) Nếud<1thìchuỗisốđãchohộitụ.

2) Nếud>1thìchuỗiđãchophânkì.

 

n

2

an n

limu n1

lim

5(n1)

1

n u n n (2n2)(2n1) 4TheodấuhiệuD’Alambertsuyrachuỗiđãchophânkỳ.c)Tacó

limu n1

lim x x n u n n (1 )1

n Suyrachuỗihộitụkhi0xe

phânkì

ii) Vìnếutồntạigiớihạn

lima n1

d thìlim na dnênnếuchuỗi n a n n n



∑a n

n1

thỏamãndấuhiệuD’AlembertthìcũngthỏamãndấuhiệuCauchy

hạnlimR lima

phânkì.

∑ (x0)

n1 (x1) (xn)

Tacó

Với x1tacóchuỗi∑1 phânkỳ.

hộitụ.

Nếu

1thìchuỗ i



∑a n n 1

Tacó

n1 2n!!

A

NếudãyA nkhôngcógiớihạnhữuhạnthìtanóichuỗisố∑a kphânkỳ.

k1

A n làdãytổngriêngcủachuỗisố.

Vídụ1.

Tínhtổngcủachuỗi

∑n1 n(n1)(n1 2)Tacó

1

1(12   1

AlimA

lim1(1 1



1)1

n1 n)

Tacó

n n n (n1)2

3 2 khin3k

Dođó

∑u n∑u 3k∑u 3k1 ∑u 3k2 n1 k1

n21

Tacó

Chương2.CHUỖIH À M

Trongchươngnày,phầnđầuchúngtôitrìnhbàylýthuyếtcơbảncủachuỗihàm,phầntiếptheochúngtôitrìnhbàymộtsốbàitoáncơbảncủachuỗihàmlà:Tìmmiềnhội tụ,xétsựhộitụđềucủachuỗi hàmvàtínhtổngchuỗihàm

x0 NếudãyS n phânkìtại x0thìt a nóichuỗih à m (2 1) phânkìtại x

0.

NếudãycáctổngriêngS n hộitụtạimỗiđiểmtrêntậpUthìtanói

rằngchuỗihàm(2.1)hộitụ(hayhộitụđiểm)trêntậpU.

Tậphợptấtcảcácđiểmhộitụcủamộtchuỗihàmđượcgọilàmiềnhộitụcủa chuỗihàmđó.

xU.

Khiđóvớimọintachọn x n1

n3thì:

3 np1xn

n

3thì

 2

Địnhlí1.17.(DấuhiệuDirichlet)Chohaidãyhàma n,b n

trêntậpU.Giảthiết:

cùngxácđịnh

b) Dãyhàmb nđơnđiệucónghĩalàvớimỗixUdãysố

đơnđiệuvàdãyhàmb n hộitụđềutrênUđến0.

dã y

b n x l à

n1 n

∑

1n

cos x cos(n 1 )x

2sin x2

1sin x21

Còndãyb n( x)

đơnđiệugiảmvàhộitụđềuvề0khin.Vìth ếtheodấuhiệuDirichletchuỗihàmhộitụđềutrênđoạn , 

Địnhlí1.18.

(DấuhiệuAbel)Chohaidãyhàma n,b ncùngxácđịnhtrêntậpU.Giảthiết:

a) Chuỗihàm 

∑a n (x) n1

Địnhlí1.19.(Tínhliêntục)Chochuỗihàm∑u nn1x.Giảthiếtrằng:

0 vàgiánđoạntại x0.

Vídụ2.

Địnhlí1.21.(Quagiớihạntừngsốhạng)Chochuỗihàm 

∑u nx,Ulàtập n1

x1

1x2

dt 1t2 ∫ ∑(1)n t 2n dt∑

n1 2n1

x x

x 1hay

Dođó

0 2sin  

2

Khóaluậnvớiđềtài“Mộtsốbàitoáncơbảncủalýthuyếtchuỗit r o n g giả itíchtoánhọc”nghiêncứutổngquanvềmộtsốbàitoáncơbảncủal í thuyếtchuỗibao

gồmnộidungcơbảncủa:Chuỗisốvàchuỗihàm

Vớiđềtàinày,khóaluậnmongmuốnđónggópkinhnghiệm,giúpbạnđọcnghiêncứunhiềuhơn,sâuhơnvềmộtsốbàitoáncơbảncủalýthuyếtchuỗitronggiảitíchnóichungvàhọcphầngiảitích2nóiriêng

Dùđãhếtsứccốgắngsongdotrìnhđộvàkinhnghiệmcủabảnthâncònhạnchế,thờigiancóhạnnênkhóaluậnchưađưarađượcnhiềudạngbàit ậpminhhọa.Emrấtmongđượcsựđónggópýkiếncủaquý thầycôvàcácbạn

Emxinchânthànhcảmơn!

1 Liasko.I.I,Boiatruc.A.K,GaiIa.G,GolovacG.P(1977),Giảitíchtoánhọct r o n

g cácvídụvàbàitậptập1,tập2(tiếngNga),NXBGolovnoie,Kiev.

2 TrầnĐứcLong,NguyễnĐìnhSang,HoàngQuốcToàn(2002),Giáotrìnhgiảití chtập2,NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội,.

3 TrầnĐ ứ cLong,NguyễnĐ ìnhSang,HoàngQuốcToàn(2002),Bàit ậpgiảitíchtậ p2,NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội.

4 ĐinhThếLục,PhạmDuyĐiển,TạDuyPhượng(2005),Giảitíchtoánhọchàmsố mộtbiến,NXBĐạihọcQuốcgiaHàNội.

5 Jean,Marie,Monier(2009),Giáotrìnhtoántập3,tập4,NXBGiáodụcViệtNa

m