Giáo trình toán cao cấp a1

Loi noi dau Được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể tổ Toán, cuốn sách TOÁN CAO CẤP A1 trở thành giáo trình chính thức từ năm học 2017 — 2018.. Phần tử nhỏ nhất của

KHOA KHOA HOC CO BAN - TO TOAN

LÊ VĂN LAI

Khoa Khoa Học Cơ Bản - Tổ Toán

Lê Văn Lai

TOÁN CAO CẤP A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.#CM

Loi noi dau

Được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể tổ Toán, cuốn sách TOÁN CAO CẤP A1 trở thành giáo trình chính thức từ

năm học 2017 — 2018

Giáo trình được biên soạn sát chương trình của sinh viên các trường

đại học khối kỹ thuật và công nghệ với thời lượng khoảng 45 tiết Kiên thức được trình bày chỉ tiết một cách logic, dễ hiểu Do đây là môn học

mang tính chất làm nên tảng cho các môn toán mà sau này sinh viên sẽ được học, nên hầu hết các định lý đều được chứng minh Lần dầu đọc

sách, sinh viên có thể không đọc các chứng minh, thay vào đó sinh viên

đọc các ví dụ minh họa để hiểu được nội dung của các định lý

Giáo trình được chia thành sáu chương:

Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 2: Dao ham va vi phan

Chương 3: Ứng dụng của đạo ham

Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong tổ Toán của

Khoa Khoa học Cơ bản ~ Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí

Minh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu Giáo trình đã được phản biện lần đầu và sẽ tiếp tục cập nhật

Quý Thây tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh Hữu Dinh, Lã Ngọc

Linh, Đoàn Vương Nguyên, Nguyễn Đức Phương, Trần Mạnh Tuần

Thành phó Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Muc luc

ki núi đM:‹ ‹uuy‹ vọ,^x00< suy Ne m 3S xu, + 3 c4 3

Mugluct ney’ tenes ott ty Ogee gain Ro Thy Be Wert Áo 4

153, DAY Sil chstam quite wid Malet nbd wilood wlll 24

18, tọÐẩJ(0W8 nt(-) uid Pen nme © 44011 gay graye AB 25

MUC LUC 5

144 Giới hạn của hàm hợp cà 39

145 Gidihanmétphia . 40 1⁄46 Mởrông khái nệm giớihạn 42 1⁄47 Hai giới hạn quan trọng và co S ee 46

15 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀMSỐ 47

1.5.1 Định nghĩa và tính Chat ep: @V.EIĐ TW E2 22 cac 47

1.5.2 Liên tục một phía Phân loại điểm gián đoạn 50

15.3 Hàm liên tục trên một đoạn 51

16 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀMSƠCẤP 53

22 ĐẠO HÀM VÀ VIPHÂN CẤP CAO 85

2.2.4 Đạo hàm cấp CAO) eo -ásxfVJom(3eÐ Ít #6 79: - 85 2.2.2 Vi phân cấp CAO -s sfk 2Ó pce gece ti ee) 88

6 MUC LUC

2.3.5 Dinh ly Lagrange ie) onge: cient fet « Pb 92

2.4 QUY TAC LHÔPFITẠL : : ; sgde4ocavaad ME wah Le - - 93

241 Dạng 5 ¬ 93

24,2 Dạng” , HAUH 88p nậđÌöÌgcnmH ~ Oo XI 95 243 Các dạng vỏ định khác 97

25 CÔNG THỨCTAYLOR 100

2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 100

2.5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 101

2.5.3 Công thức Maclaurin một số hàm số sơ cấp 102

2.5.4 Tính gần đúng bằng công thức Taylor 103

2.5.5 Tính giới hạn bằng công thức Taylor 106

26 BAETAP AUP Oh eh cin mt an P co 107 3 UNG DUNG DAO HAM 118 3.1 KHẢOSÁTHÀMY=F(X) co 118 3.1.1 Tính đơn điệu củahàmsố 118

31:2 (GtWeltilfsc :ss(¿tcbếcée : WTHdAB-ðEẽ 120 3.13 Tính lồi,lõm và điểm uốn 121

Sà4' °(Đỡng ĐiệmuGậTùe ý ¿z o6 2 c2 vo Sun hết vốn ta ae 122 32 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAMSỐ 125

3.21 Phương trình tham số của đường cong 125

3.2.2 Khảo sát đường cong thamsố 126

3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC 128

3.361 JMIGILDOd)GOTGƯC œ9 %8 len ri a > foe eo Oe 128 3.3.2 Hệ tọa độ cực mởrộng co 129 3.3.3 Đường cong trong hệ tọa độ cực mở rộng 130

3.3.4 Khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực mở rộng 130

3" BARTAR Ary 42:⁄0.( 42/01, ; PHI Đ I6, ee, 133

MUC LUC 2

41 TÍCHPHÂN BẤTĐỊNH 137

411 Nguyénham «6 6 eee 137 4.1.2 Tíchphânbấtđịnh 138

4.13 Phương pháp tính tích phân bấtđịnh 139

4.14 Tíchphânhàmhữu tý 145

4.1.5 Tích phân hàm lượng giác - 148

41.6 Tích phân một số hàm vô tỷ 152

4.2 TÍCHPHÂN XÁC ĐỊNH 156

4.2.1 Định nghĩa và tính 6-6 eet Teak-vdtess 156 4.2.2 Công thứcNewton-Leibnz 160

4.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 162

43 TÍCHPHÂNSUYRỘNG 165

43.1 Tích phân suy rộng loại một 1ó6 43.2 Tích phân suy rộng loạihai 173

44 ỨNG DỤNG TÍCHPHÂN 180

44.1 Tính diện tích hình phẳng 180

44.2 Tínhthểtichvậtthể 185

443 Tính độ dài cung phẳng 190

444 Tinh diện tích mặt tròn xoay 193

4:5kwBẠI TẬP,.$@⁄2 ::: : HỀÊU =9l| 0Ÿ 195 5_ CHUỖI SỐ 205 5.1 ĐẠICƯƠNG VỀCHUỔISỐ 205

5.11 Các khái niệm về chuỗi số - 205

5.1.2 Điều kiện cẦn để chuỗi hộitụ 207

5.1.3 Tính chất của chuỗi hộitụ 208

52 CHUÔISỐDƯƠNG 210

5.2.1 Khái niệm chuỗi dương BG 210 5.2.2 Các tiêu chuẩnhộitỤ co 212 53 CHUÔICÓ DẤU BẤTKỲ 219

6.1.3 Tính chất của dãy hàm hội tụ đều

62 “GHUOT HAM néace paar c\tl4) Gkte ake:

6.2.1, Cac dinhnghia jn tng Veke Tacs -

6.2.2 Chuỗi hàm hội tuđểu

6.2.3 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

10 GIGI HAN VA LIEN TUC

Từ xưa, người ta biết rằng số nguyên và số hữu tỷ không thể biểu diễn

được tất cả các số đo trong cuộc sống Chẳng hạn, nếu hình vuông có độ đài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó không thể biểu diễn bằng

số hữu tỷ Từ đó, xuất hiện tập hợp các số dùng để biểu diễn cho các số đo

trong các hoàn cảnh như thể này Tập các số như thé duoc gọi là tập các số

Giá trị tuyệt đối có các tính chất sau:

Jz{ =|—a|, |ab| = |a| |b], |a+b| < lai + |bỊ

Khoảng cách giữa hai số a và b là |a — bị, là độ dài đoạn thẳng nối a với b

Hai số thực ø và b được gọi là gần nhau nếu |# — b| nhỏ

Phần tiếp theo trình bày một số điều cốt lõi của tập các số thực để làm

cơ sở lý luận cho toàn bộ nội dung quyển sách này

1.1.2 Tién dé vé sup, inf

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R, và w € R

© &là phần tử nhỏ nhất của A nêu & € A và w < x với mọi x € A Phần

tử nhỏ nhất của 4, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A

e #]à một chặn trên của A nêu œ > x với mọi x € A Khi A có một chặn

trên, ta nói A bị chặn trên và khi đó, phần tử nhỏ nhất của tập tất cả

các chan trén, néu có, được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A, ký hiệu là sup 4A.

1.1 CƠ BẢN VỀ SỐ THUC 11

© œ là phần tử lớn nhất của A nêu & € A và œ > x với moi x € A Phan

tử lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A

« œ là một chặn dưới của A nêu w < x với mọi x € A Khi A có một chặn dưới, ta nói A bị chặn dưới và khi đó, phần tử lớn nhất của tập tất cả các đưới, nếu có, được gọi là chăn dưới lớn nhất của A, ký hiệu

la inf A

Ví dụ 1.2 Xét hai tập con của tập các số thực A = (0;1] va B = (0; +00)

Ta có:

e Dol > x với mọi x € 4, nên 1 là một chặn trên của A, va do dé A

bị chặn trên Ngoài 2 là một chặn trên, Á còn có vô số các chặn trên,

là các phần tử của tập C = [1; +00) Do 11a phan tử nhỏ nhất của € nén sup A = 1

e Do0 < # với mọi x € 4, nên 0 là một chặn dưới của A, va do dé A bi chặn dưới Ngoài 0 là một chặn đưới, A còn có vô số các chặn dưới,

là các phần tử của tập D = (—eo;0] Đo 0 là phần tử lớn nhất của D nên inf A = 0

« Dol<c Avà1> *x với mọi x € Á nên max A = 1 Giả sử m —= min A Thế thì 0 < m < x với mọi x € A Chọn x =

m < #⁄, nghĩa là < 0, điều này mâu thuẫn với m > 0 Vay min A

Với một tập con khéng réng bat ky A cua R, min A, max A, supA

va inf 4A không luôn luôn t6n tai Tuy nhién, ta chấp nhận

Tién dé vé sup Moi tập con không rỗng uà bị chặn trên của R đều có chặn

trên nhỏ nhất

Nhận xét rằng tập —A = {—x : x € 4} là tập con không rỗng và bị

chặn trên khi A là tập không rỗng và bị chặn dưới Hơn nữa, nếu sup(— 4) tồn tai thi inf A tén tai va inf A = — sup(T— 4), ta suy ra

Hé qua vé inf Moi tập con không rỗng 0à bị chặn dưới của R đều có chặn

đưới lớn nhất

12 GIGI HAN VA LIEN TUC

3 Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất

113 Tinh chat Archiméde

Dinh ly 1.1 Cho số thực b > 0 Ta có

Va € R,dn €N,nb > a

Chứng minh Giả sử

3a € R,Vn€N,nb<a

nên nếu đặt § = {mb: ø € N} thì 5 là tập không rỗng và bị chặn trén cua R Voi a = sup S,

ta có ( + 1)b < a,Vn € N suy ra nb < # — b,Vn €N Vậy ø — b là một chặn trên của S va

Với trục x'Óx người ta có thể biểu diễn mỗi số thực x bằng một điểm

M € x'Ox sao cho OMI = x, và với cách biểu diễn này, R còn được gọi

là đường thắng thực Trong nhiều trường hợp, để thuận lợi trong khảo sát,

người ta bổ sung vào R hai phân tử, ký hiệu là —e và +, để nhận được đường thằng thực mở rộng R = RL) {—~œ, +eo} Các phép toán và quan hệ

+co, x >0

xx (00) = { =o, Gas 0

(400) x (400) = +00, (eo) x (Tœ) = —%

Do khụng mở rộng khoảng cỏch giữa hai số thực qua khoảng cỏch giữa một số thực với cỏc phần tử +eo hay giữa —eo và + eo, người ta đưa ra khỏi niệm lõn cận như sau:

đô Với x € R khoảng (x — ổ;x + ở) với ổ > 0 được gọi là ụ — lần cận

của x

ứ Cỏc tập (ð; +œ) và (—eo; ổ), với ổ là một số thực, lần lượt được gọi là

ð lõn cận của +eo và —oo

12 HÀM SỐ

12.1 Khỏi niệm hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho D là một tập con khỏc rỗng của R Hàm số ƒ từ tập

D vào R là một quy tắc làm tương ứng mỗi phần tử x € é với một và chỉ một phan tu f(x) € R

Để chỉ hàm số như thể, ta kớ hiệu là

f:D—>R,

xy = f(x)

e Tập D được gọi là miễn xỏc định của hàm ƒ

ứe Với x€ D,ƒ(x) được gọi là giỏ trị cua f tai x

e Miễn giỏ trị của hàm số ƒ là tập hợp tat cả cỏc giỏ trị ƒ(x) khi x thay

R¿= ỨŒ):x€ DỊ

Hình 1.1: Ham sé f lam tuong ting x voi f(x)

Khi hàm số ƒ được cho bởi công thức, thì miền xác định của nó là

tập hợp tất cả các số thực x làm cho công thức có ý nghĩa Ví dụ hàm số f(x) = /3—x c6 miền xác định D = {x: x € R,x < 3} vì v3~ x có

nghĩa nêu 3 — x > 0

Đồ thị của hàm số = ƒ(x) có được bằng cách vẽ tất cả các điểm (x; 1)

với x € D và = ƒ(x) (Hình 1.2) Nếu ta bắt đầu từ x = a trén trục

Ox, di chuyén theo phương thang đứng đến đỗ thị, sau đó đi chuyển theo

phương ngang đến trục Óự, ta sẽ nhận được giá trị f(a)

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số ƒ(x) xác định trên khoảng (z; b)

« Hàm số = ƒ(x) được gọi là hàm tăng trên (a;b) (Hình 1.3.a) nếu

Vx1,X2 € (a;b),x1 < x2 > ƒ(%i) < ƒ()

« Hàm số = ƒ(x) được gọi là hàm giảm trên (a;b) (Hình 1.3.b) nếu

Vxi,X2 € (a;b),x1 < x2 => ƒ(%I) > ƒ(2)

e Hàm hoặc tăng hoặc giảm trên (a;b) được gọi chung là hàm đơn điệu

trên (a; b)

Định nghĩa 1.4 Xét hàm ƒ(x) có miễn xác định D đối xứng qua gốc tọa

độ Ø, nghĩa là nếu x thuộc D thì —x cũng thuộc D Khi đó,

e« Hàm sé f(x) duoc goi la ham chan nếu

Vx € D, f(-—x) = f(x);

Hinh 1.5: Dé thị của hầm số tuần hoàn chủ kỳ 7

Định nghĩa 1.5 Hàm số ƒ(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tổn tại số

đương T sao cho

Hinh 1.6: Đỗ thị của hàm 1 — 1, hàm không phải 1 — 1

Về mặt hình học, hàm y = ƒ(%) là hàm số tương ứng 1— 1 nếu như một đường thẳng cùng phuong voi Ox cat dé thi của hàm này nhiều nhất

là một điểm

1.2 HAM SO 17

Hình 1.7: Dé thi ca ham y = f(x) va y = f-1(x)

Dinh nghia 1.7 Néu ham sé y = f(x) la ham tương ứng 1 - 1 thì với mỗi

y € Ry, ton tai duy nhat x € D sao cho f(x} = y Do đó, quy tắc làm tương

ứng mỗi € R¿ với x € D sao cho ƒ(x) = y là một hàm số, và ta gọi đó la

hàm ngược của hàm y = f(x), ky hiéu la x = f—!(y)

Thông thường, ta dùng chữ x để chỉ biến số và 1 để chỉ giá trị của hàm

tai x nên hàm ngược của y = f(x) duge viét la y = fo! (x) Khi dé, néu điểm (x;y) thudc dé thi cua ham sé y = f(x) thi điểm (y;x) thuộc đồ thị hàm ngược 1 = f-'(x) Vi hai diém (x;y) va (y;x) déi xting véi nhau qua

đường phân giác thứ nhất nên suy ra đồ thị hàm số ngược y = fo! (x) déi

xứng với đồ thị hàm số 1 = ƒ(x) qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.7)

và khi đó miễn xác định của (so ƒ)(x) là cdc x trong Dy sao cho f(x) € Dg

Ví dụ 1.3 Cho hai hàm số ƒ(x) = v* và g(x) = 1— x Hãy tìm (go ƒ)(3), Œseg)Œ), Œs f)(%) và (gs g)(+) cùng với miễn xác định của chúng Giải Hai hàm số đã cho có miễn xác định lần lượt là D¿ = |0;+eo) và

Dg = (—œ; +) Công thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác định

của chúng được tìm thấy như sau:

Các hàm số sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:

@ Ham liy thừa 1 = x“,x € R

Miễn xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào ø Cụ thể:

e Nếu & € N thì miền xác định của hàm số là R

« Nếu # là số nguyên âm thì miễn xác định của hàm số là R \ {0}

©_ Nếu z là số vô tỷ thì ta quy ước chỉ xét hàm = x* trên 0; +00) néu a > 0, và trong (0; +00) néu a <0

Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ Hàm = #* có miễn xác định là

R, tăng khi a > 1, và giảm khi ø < 1

& Ham logarit y = log, x,0 <a #1

Là hàm nguge cla ham y = a* S6 a được gọi là cơ số của hàm số logarit = log„ x Hàm số logarit ý = log„ x có miền xác định là (0; +ee), tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1

cosx = OM;sinx = ON;tanx = AP;cotx = BQ

1 Ham y = sin x có miễn xác định là R và miễn giá trị là [— 1; 1] Đó là

một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 27c Đồ thị của hàm 1 = sỉn z trên

[—7ø z] được cho bởi hình 1.11

20 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

2 Ham y = cos x có miễn xác định là R và miễn giá trị là [— 1; 1] Đó là

một hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2 Dỏ thị của hàm ự = cosx

trên [—7 7t] được cho bởi hình 1.11

3 Hàm = tanx xác định tại mọi x # (2k + 1)5,k € Z, và miễn giá trị là R Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ Đồ thị của hàm

ý = tan z trên (—5; 5) được cho bởi hình 1.12

4 Hàm ự = cotx xác định tại mọi x # k7,k © Z, va mién gid trị là R

Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu ky 7 Dé thi chia ham y = cotx

trên (0; zr) được cho bởi hình 1.12

Các hàm lượng giác ngược

1 Hàm arcsin Hàm số sin : R —> [—1;1] không là hàm 1 - 1 nhưng khi

ta hạn chế miễn xác định thành |—'; | thì sin : [—=5;#] =>.[—1:1]

là hàm 1 - 1 Khi đó, tồn tại hàm số ngược của hàm sin, ký hiệu arcsin,

arcsin : |—1;1] => [53]

Đã thị: Hàm ự = arcsin x có đổ thị như hình 1.13.a

2 Hàm arccos Tương tự, hàm số cos : (0; ] => [—1;1] là hàm 1 - 1 nên

có hàm ngược, ký hiệu là arccos,

22 GIGI HAN VA LIEN TUC

(b) arccos(—x) = 7 — arccos x,

(C) arcsin x + arccos x = Z

D6 thi: Ham y = arccos x c6 dé thi như hình 1.13.b

3 Ham arctan Ham sé tan : (—%; 4) > (—09;00) la ham 1 - 1 nên có

hàm ngược, ký hiệu là arctan,

(a) tan(arctan x) = x,

(b) arctan(—x) = — arctan x

D6 thi: Ham y = arctan x có đỗ thị như hình 1.13.c

4 Hàm arccot Hàm số cot : (0;7r) —> (—eo; co) là hàm 1 - 1 nên có hàm

ngược, ký hiệu là arccot,

Định nghĩa 1.9 Cho hai ham f, g có miễn xác định lần lượt la D; va Dg ta

định nghĩa các hàm tổng, hiệu, tích và thương như sau:

24 GIGI HAN VA LIEN TUC

không có công thức cho số hạng thứ ; Khi x„ có công thức, ta gọi x„ là số

hạng tổng quát của dãy số (x„)

Định nghĩa 1.12 Cho dãy số (x„)

©« Dãy (x„) được gọi là bị chặn trên nêu tồn tai sé M € R sao cho

xX, < M,Wn EN

e Day (x) duge gọi là bị chặn dudi néu tén tại số m € R sao cho

xu >m,Vn€N

e Day (x,) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chăn

s Dãy mà tất cả các số hạng bằng nhau được gọi là đãy hằng

Ví dụ 1.7

ø Dãy số (x„), với x„ = 4, 1a day số bị chặn do với mọi # € N, ta có

0< x; <1

« Dãy số (xn), với x„ = ñ, là dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

do voi moin € N, ta có 0 < +x„ và x„ rất lớn khi ø lớn

© Dãy số (x„), với x„ = 2, là dãy số hằng

1.3 DAY SO 25

13.1 Dãy hội tụ

Định nghĩa 1.13 Dây số (x„) được gọi là hội tụ đến số z € R nếu với mọi

số € > 0, tốn tại số mạ thuộc N, sao cho véi moi n > nọ thì khoảng cách

giữa x„ và x nhỏ hơn e Khi đó, x được gọi là giới hạn của dãy số (x„), và

3= lim Xn = Ve > 0,4no EN, Wa > 110, [Xn — x| <€ n-9 Feo (1.1)

Ví dụ 1.8 Xét đây số (x„), với x„ = c Với mọi e > Ö, ta có

|x„ — c| = |e—c|=0<e,

đúng với mọi? ©N Vậy, lim c=c n—>+0o

Vidu 1.9 Xét day (4) Theo tính chất Archimède ta có

Định lý 1.2 Nếu đấy (xu) hội Hụ thì giới han của nó là duy nhất

Chứng minh Giả sử x„ — x và x„ —+ khi ñ > +©o Ta chứng tỏ x = y Nếu ngược lại,

nghĩa là x # ự, thì với e = by TW > 0 tổn tại m,nạ €N sao cho

Vn > mị,|X„ — x| < z va Via > n2,|Xn - yl < Z Dat nạ = max(iy, 42) Voi moi n > nạ ta có

|x — yl < [xn — x] + [xn yÌ<s+sz=e= 7

Suy ra isa vi < 0, v6 ly Vay x = y

Định lý 1.3 Nếu đãy (xạ) hội tụ thì nó bị chặn.

Hệ quả 1.2 Nếu (x„) không bị chặn thì nó không hội tụ

Ví đụ 1.10 Dãy (z2) là dãy không bị chặn (do không bị chặn trên) nên không hội tụ

Dịnh lý 1.4 (Các quy tắc tính giới hạn) Gii sử lim„ạ ,;«x„ — xX vi

lim„_,+so Vụ = 0 Thé thi:

1 lim ax, = ax,“ ER

n> +00

2 lim (x„ +„) = x+ự n> +00

3 lim (x„Vu) = xự n>+eo

4 Khiy 4 0 vay, 4 Ovdi moin lim ay 3

Ìxu +» — (x+ )| < lấn — x| + |ựn — wÌ < 5 + 5 = €,¥a > max(m, 12)

2 Vilimy++o xX = x nên với e > 0 tồn tai ng € N sao cho

[xn — x| << — ,Vn > nạ

|x|+1 Suy ra

AXy — &X #||x» — x[ < <€,VA > Họ

3 Theo giả thiết (x„) hội tụ nên tồn tại A > O sao cho |xu| < A1,Vn € N Hơn nữa, với e > 0 tồn tại m,ạ CN sao cho

pe Sea? = oe 5+1172 5+0+70 5

Định lý 1.5 Cho M là một số thực Nếu (x„) hội tu vt x, > 0,vn > M

thì lim x„ > 0 Suy ra, nếu (xn),(Wn) hội tụ vA Xx, > Yn, Vn > M thi me

lim x, > lim y,

n> poo n— +

28 GIGI HAN VA LIEN TUC

Chứng minh Dat x = lim | Xn Néu x < 0 thì với e — —j>0 tổn tại nạ € N, 19 > M not

nên áp dụng Tiêu chuẩn kẹp, ta được lim x5ÿ=\(): m—>-+e6

Ngược lại, nếu lim x„ = 0 thì với mọi e > 0, tồn tai ng € N dé cho

7 Hey OO

với mọi 1! > No, tacd

|xn — 0| < e hay ||x„| — 0| < e

Giải Gia stra > 0 Tén tai sé nguyén duong M sao cho M <a <M-+1

Đo đó, véin > M tacé

Kì Mở rộng khái niệm hội tụ của dãy số

Định nghĩa 1.14 Dãy (x„) được gọi là hội tụ về +-s, khi # => +co, ký hiệu lim x, = +¢°,néu

Hy Co

VM > 0,4no € N,Vn > nto, Xn, > AI

Tương tự, dãy (x„) được gọi là hội tụ về —so, khi # —> +ce, ký hiệu lim x, = —oo, néu

4 Vp PE eS >0,@ ER, tacd hi eben (1+p)" RẺ 0 “

5 Với |q| < 1, ta có lim q’=0, nà Eeo

30 GIOI HAN VA LIEN TUC

Do do, theo tiéu chuan kep, x, > 0 khi 2 > +00

(bì Trường hợp p = 1 thì hiển nhiên Trường hợp 0 < p <1, ta datg = Pd Theo trường hợp trên thì w⁄4 — 1, do đó ÿ⁄ = ra — 1

1.3 DAY SO 31

1.3.2 Day don diéu

Dinh nghĩa 1.15 Dãy số (x„) được gọi là đây tấng (giảm) nếu với mọi

n EN, Xn < Xn41 (Xn > Xn41) M6t day hoac tăng hoặc giảm được gọi là

day don diéu

Dinh ly 1.8 Moi day don diéu va bị chặn đều là dâu hội tụ

Chứng minh Xét dãy (x„) tăng và bị chặn Dặt x = sup x„ Với e > Ö ta có nọ € N sao

neN

che x —€ < xy, < x Khi dé, vì (x„) tăng nên voi mei # > ng ta co

XT—€<##y, S Xn ŠSx<x+e€ > [xy —x] <e

Khi (x„) giảm và bi chan thì (— x„) tăng và bị chặn nên là đây hội tụ Do đó, (x„) cũng,

là đây hội tụ và giới hạn của dãy chính là An Xn

„

"

Ví dụ 1.14 Xét tính hội tụ của dãy (xu) với xu — ( a +) A

Giai R6 rang x, > 0,Vn © N Ap dung bat dang thitc Bernoulli!, ta cé

32 GIO! HAN VA LIEN TUC

Tiếp theo, bằng quy nạp, ta chứng tỏ dãy (x„) bị chặn trên bởi 2 Ta có

xị = V2 < 2 Giả sử x„ < 2 Suy ra xu¿i = V21 xu< V2 2= 2

Do (x„) là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ Dặt HH 3m = a, ta cling cO@ = 4 lim Xn11- Do dé, ttr dang thức

được gọi là đây con của day (x„) và được ký hiệu là (x„,)

Chứ ý 1.1 Dãy (x„) là day con của chính nó Hơn nữa, từ định nghĩa, ta suy ra mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn cũng như mọi day con của một day đơn điệu cũng là dãy đơn điệu

Định lý 1.9 Đấu (x„) hột Hụ khi oà chỉ khi mọi dãu con của nó đêu là dâu hội tụ 0à có chung một giới hạn

Chứng minh Chiều đảo của định lý là hiển nhiên vì (x„) là đãy con của chính nó Ta chứng minh chiều thuận của định lý Giả sử lim„_,«s x„ = x Xét đây con (xạ, ) của (Xz)-

Bằng quy nạp, ta có my > k,Vk €N Với e > 0, tổn tai my € N sao cho

|x„ — x| < €,Vn > nọ

Suy ra với mọi k > 1g ta cd

nghĩa là limx_ „eX»„„ = X- a1

Ví dụ 1.16 Dãy số (x„) với x„ = (—1)” có hai dãy con (xay) và (xay) Mì

*; = 1 — 1Và #2¡ÿ¡ = ~1—> —1nên (x„) không hội tụ

Bây giờ, xét dãy (x„) bị chặn Ta có thể chứng mính được rằng moi day

số đều có ít nhất một dãy con đơn điệu (xem [4]) Do đó, dãy (x„) có dãy con (x„,) đơn điệu Vì (x„,) cũng là đãy bị chặn nên là dãy hội tụ, theo Định lý 1.8 Vậy, ta có

Dinh ly 1.10 (Bolzano - Weierstrass) Moi đấu bị chặn đều có it hat mot day con hội tu

14 GIỚI HẠN CỦA HẦM SỐ

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số

Điểm tụ, điểm cô lập

Định nghĩa 1.18 Cho D là tập con khác rỗng của R và ø là một số thực

Ta nói:

34 GIGI HAN VA LIEN TUC

e «la diém tu cha D nếu mọi e — lân cận của œ đều có phần tử của D,

khác ø, nghĩa là

Ve >0,(x—e;x+e)n(D\X{a}) # Ø

® &C D là điểm cô lập của D nêu tốn tại ô — lân cận của ø sao cho mọi

điểm thuộc lân cận này không thuộc D, ngoại trừ œ, nghĩa là

Tương tự như vậy, 1 cũng là điểm tụ của D

© 4 là điểm cô lập của D vì

1 1

D n( 4—>; 2/2+2}( }=@ = 4} =Ớ

Mệnh đề 1.1 Số thực œ là điểm tụ của D nêu oà chỉ nếu có một đấu (x„) trong

D\ {a} sao cho x, > a

Ching minh Chiéu thuan Lay day (e,) duong va gidm vé 0 Trong ¢) — lân cận của «

ton tai x, € Ð \ {#«} Trong e; — lân cận của ø tồn tại x¿ € 2 \ {a,x1} Rdi trong e3 — lân cận của ø tồn tai x3 € D\ {a,x1,x3} Tiép tục như vậy ta có dãy (x„) CD sao cho

Định nghĩa 1.19 Cho hàm số ƒ(x) xác định trên (z;b) chứa «, cd thé không xác định tại ø Ta nói số thực 8 là giới hạn của f(x) khi x tiễn tới

ø nêu với moi e > 0, tổn tại ô > 0 sao cho với moi x € (a;b) \ {a} néu