Tuyển tập bất đẳng thức pptx

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức II.. Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức xy... Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 2... Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 2 2... Ngu

Trang 1

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức

II Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c+ + + ≥ ≥0

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c2 ≥ ≥0

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )≥(1+3abc)3 với a , b , c ≥ 0

Trang 2

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy

x 1 , ∀x > 1 c) +

≥+

2 2

21 Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d+ + + ≥4 abcd 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)

b a b c+ + ≥3 abc 3 với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )

x , x > 0

31 Tìm GTNN của = 2+

3

2f(x) x

Trang 3

xy

Trang 4

b b a c ⇒ b2>(b c a a b c + − )( + − ) c2>c2−(a b ⇒ − )2 c2>(b c a a c b + − )( + − )

⇒ a b c2 2 2>(a b c+ − ) (2 a c b+ − ) (2 b c a + − )2

⇔ abc>(a b c a c b b c a + − )( + − )( + − )

c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

Trang 5

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c2 ≥ ≥0

Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm:

Trang 6

2 2

Trang 7

21 Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d+ + + ≥4 abcd 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)

Trang 8

Trang 9

Trang 10

xy

3 2

2 Chứng minh: sinx cos x+ ≤ 2

Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

Trang 11

° sinx cos x+ = 1 sinx 1 cos x+ ≤ (12+12) sin x cos x2 + 2 )= 2

2 (CðBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z

3 (CðKTKT Cần Thơ khối A 2006)

Trang 12

12

Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1+ +1 1

4 (CðSPHCM khối ABTDM 2006)

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4+ 1

Cho các số thực x, y thay ñổi thoả mãn ñiều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9 (CðBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1 >

16 (ðH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx

Từ ñó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

Trang 13

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ðH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả ñiều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ðH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

Cho 2 số thực a, b thoả ñiều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a 1+ + b 1 +

31 (CðSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BðT sau ñây luôn luôn ñúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: + + ≥

Giả sử x, y là hai số dương thay ñổi thoả mãn ñiều kiện x + y = 5

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +

Trang 14

14

38 (ðại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là ñộ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là

ñộ dài các ñường cao kẻ từ các ñỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

Trang 15

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 13+ 13

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất ñẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t ≤ 1

3f′(t) = 3 – 32

t =

−

2 2

3(t 1)

t < 0, ∀t ∈  

10;

3Bảng biến thiên:

1 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 ñạt ñược khi x = y = z = 1

3

• Cách 2:

Trang 16

16

Theo BðT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 33xyz > 0 ⇔

3

1xyz ≥ 3

3.Vậy Amin = 10 ñạt ñược khi x = y = z =

13

x y4x,y 0

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CðBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ≥ 33xyz ⇔ xyz ≥ 33xyz ⇔ (xyz)2 ≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3

Vậy minA = 3 3

10 (Học viện BCVT 2001)

Trang 17

Ta xem ñây là hệ phương trình của a, b và ñặt  + =

• Với S = –c + 2 ⇒ P = 1 – c(–c + 2) = c2

– 2c + 1 BðT: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0

⇔ –3c2 + 4c ≥ 0 ⇔ 0 c≤ ≤ 4

3 (4)

Trang 18

14 (ðH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BðT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta ñược:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log≥ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c=loga b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do ñó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ðH Quốc gia HN khối D 2001)

Trang 19

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2

+ b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13 ðẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1

≥ 3x – 2 Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – 2

⇒ x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z

⇒ 8a

+ 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21 (ðHQG HN khối D 2000)

Trang 20

3ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BðT cuối cùng này ñúng, nên BðT cần chứng minh là ñúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ðH Nông nghiệp I khối A 2000)

Trang 21

63( 2 3)y

28 (ðH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BðT Côsi cho 6 số dương ta có:

n = ∑=n k

n k

k 0

1C

Trang 22

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta ñược:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) ñúng ⇒ (*) ñúng

Trang 23

2RDấu “=” xảy ra ⇔  = =

x y4

0 x4 ⇔ x = 1

Lập bảng xét dấu f′(x), suy ra minS = 5

x y4



x 4y5

x y4 ⇔

Trang 24

xyz = 9t+9

tvới t = ( xyz) ⇒ 0 < t ≤ 3 2  + + 

9 ⇒Q(t) giảm trên  

10;

9

⇒ Q(t) ≥ Q  1

9 = 82 Vậy P ≥ Q(t)≥ 82 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3

40 (ðại học khối A 2003 dự bị 1)

• Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , ∀x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos2

x)2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3)

Trang 25

Theo BðT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

B-C

A 1202

Ta thấy trong các bất ñẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z Vậy ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

ðẳng thức xảy ra ⇔ (1), (2), (3) là các ñẳng thức ⇔ x = 0

Trang 26

Trang 27

(a b)4

Trang 28

ðk: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ S2

– +

3

Do ñó ta có bảng biến thiên như trên

• Với y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2 1 y ≥ 2 5 > 2 + 3 + 2

Trang 29

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	455,36 KB