Tuyển tập bất đẳng thức (tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi)

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức II.. Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 21.. Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức b... Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a)   8abc ; a,b,c0

2 Chứng minh: (a b c)(a  2b2c )2 9abc ; a,b,c0

3 Chứng minh: 1 a 1 b 1 c      13abc3 với a , b , c  0

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d   4 abcd4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)

b a b c  3 abc 3 với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )

xy

xy

Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cos x  2

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

b abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)  a2a2b c 2  a2 a c b a b c      

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

2 Chứng minh: (a b c)(a  2b2c )2 9abc ; a,b,c0

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

 a3b3abca b ab abc   ab a b c , tương tự    

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d   4 abcd4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)

3 thì y đạt GTNN bằng 

362

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

x

2 thì y đạt GTNN bằng



30 13

 Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x   1

x4

 Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x   5

x4

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

 Vậy: Khi 5

x

4 thì y đạt GTLN bằng

6258

xy

xy

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

()  a b2 22abcd c d 2 2a b2 2a d2 2c b2 2c d 2 2

 a d2 2c b2 22abcd0  ad cb 20

2 Chứng minh: sinx cos x  2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

 sinx cos x  1 sinx 1 cos x  1212sin x cos x2  2  2

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

17

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1 (CĐGT II 2003 dự bị)

Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2xy y 2  x2xz+z2  y2yz+z2

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c a log c a b log a b c1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1 ≥ x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Cho a, b, c là những số dương và a + b = c Ch minh rằng:  

20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc

nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ

4 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 4 1

37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các

cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

4

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

z3 + 1 + 1  33 3z  z3 + 2  3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t 

13

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

3

Bảng biến thiên:

1 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

13

1.4y4y – 5

x y4

 (x + 1)  

11

x  4 (do x > 0)  (x + 1)

2

 4x  (x – 1)2  0 (2) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh

7 (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = bca cab

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  33xyz  xyz  33xyz  (xyz)2  27  xyz  3 3

Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 3 Vậy minA = 3 3

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Từ (2)  P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ

 –3c2 – 4c ≥ 0  4 

 Với S = –c + 2  P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1 BĐT: S2 – 4P ≥ 0  (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta

được:

VT= logb c a log c a b log a b cloga b a log a b b log a b cloga b abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1

19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

29

Từ giả thiết ta có: ab

c c = 1  0 <

a b,

 (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

 (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0  (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)



a, b, c > 0 abc = 1 

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

n = 

n k

n k

k 0

1C

Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1 ), ta có:  

1 2b

2 2

1 2c

2 2

1 2aa

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng  (*) đúng

2RDấu “=” xảy ra    

x y4 

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng

khi b biến thiên từ 8 đến 48 Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]

99tt

Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 1

3

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

 Tìm max: y = sin5x + 3cosx ≤ sin4x + 3cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3cosx ≤ 3, x  R (2)

 3(1 – cosx) – sin4x ≥ 0  3(1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

 (1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2  ≥ 0 (3) Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

 Tìm min: Ta có y = sin5x + 3cosx ≥ – sin4x + 3cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3, đạt được khi x =  + k2

41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) (1)  (a b c)(b c a)    

1bc

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ

3 3

4

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

1 + 9

3 4 3

 (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0  0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16

Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức

Đk: S2 – 4P  0  S2 –



24S





S 1 (*) Đặt h = f(S) = S 3

S  h =

2

2 2

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

 Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2 1 y 2 ≥ 2 5 > 2 + 3 Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3