Tuyển tập bất đẳng thức hay và khó

Bài viết này tuyển tập một số bất đẳng thức hay và khó tôi viết hồi bậc trung học phổ thông.Các bất đẳng thức chủ yếu nằm trong các đề thi và lời giải do chính tôi biên soạn nên không thể tránh sai sót. Mong bạn đọc thông cảm và góp ý.

Tuyển tập một số bài bất đẳng thức Người thực hiện và sưu tầm: Nguyễn Văn Thế, T1K23-Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh

Bài toán 1 (Vô địch Nga) Cho số nguyên dương n và các số thực dương x x1, 2, ,x Chứng n.minh rằng: (1 1)(1 1 2) (1 1 2 ) ( 1)n 1 1 2

Lời giải

*Cách 1 Với tư tưởng quy nạp do xuất hiện n

Với n1 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiển đúng

Vậy bất đẳng thức đúng với n k 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học thì Bất đẳng thức đúng với mọi n1, 2,

Bài toán chứng minh xong!

Nhân theo vế của n bất đẳng thức trên ta có Điều phải chứng minh!

Bài toán 2: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn a2 b2 c23 Chứng minh rằng: a b b c c a 6

.3

 Thật vậy, ta có:

Bất đẳng đẳng thức cuối hiển nhiên đúng với mọi x0 Vậy (*) được chứng minh

Khi đó áp dụng (*) lần lượt với xa b c, , ta thu được:

2 2 2

3 2 2 2 4

2 2 2 4

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 3 (Chọn đội tuyển Sư Phạm 2014) Cho , ,x y z là các số thực không âm và đôi một

phân biệt Chứng minh rằng:

9

2 2 2 2

2 2

Nhận xét: Bài này cũng được chọn làm bài thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi quốc gia của Hà Tĩnh năm 2009-2010

Bài toán 5 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng:

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 6 ( Khánh Hòa 2014) Cho , ,a b c0 và abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ đây áp dụng bất đằng thức trên và Cauchy-Schwarz ta có:

*Cách 2: Áp dụng Bất đẳng thức Holder ta có:

3 2 2

( ).( ) 2( )

Vậy, bất đẳng thức chứng minh xong!

Bài toán 8 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c21 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x   x   Cho x lần lượt bằng , , b c d thực hiện

phép cộng các bất đẳng theo vế ta có điều phải chứng minh

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 10 Cho các số thực không âm , ,a b c thỏa mãn ab bc ca  0 Chứng minh rằng:

( )

1 2( 1)

.1

t t

1 2( 1)

61

t t

Vậy bài toán được chứng minh!

Bài toán 12 Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn x  y z 2 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán chứng minh xong!

Nhận xét: Bài toán này nhìn quá quen cho dạng dồn biến quen thuộc, nhưng thực tế khi bạn thực

sự bắt tay vào làm mới thấy cái hay của nó Đặc biệt, khi biến đổi bất đẳng thức cuối thì chỉ xảy

ra đẳng thức tại biên Đây là điều mà đa số bất đẳng thức sau khi dồn biến đều không có

Phần II: Về một bất đẳng thức quen thuộc

Một bất thức có thể có nhiều dạng suy rộng, cũng như có nhiều ứng dụng mà chúng ta ít ai để ý tới Trong phần này, mình xin nêu ra và ứng dụng của một bất đẳng thức đẹp, bất đẳng thức này cũng có thể coi như là một bổ đề:

Bổ đề: Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn chúng có tích bằng 1 Khi đó với k ta có bất đẳng thức

Vậy bổ đề chứng minh xong!

Từ đây ta cũng có một số hệ quả trực tiếp:

Hệ quả 1: Với giả thiết tương tự thì lần lượt cho k 1 và k 1 ta có các bất đẳng thức hay sử dụng:

Bây giờ ta cũng đi vào một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho , ,a b c là các số thực dương và có tích bằng 1và số thực k Chứng minh rằng:

Từ đây ta có điều phải chứng minh, bài toán kết thúc

Ví dụ 3: (VMO2014) Cho các số thực dương , , x y z tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

III Một số bài toán trên các diễn đàn mạng và tạp chí

Bài toán 1: (T7/435 THTT) Cho tam giác nhọn ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn điều kiện

Đặt atan ,A btanB, ctanC.thì a b c abc 1 1 1 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là: minT  3 2. khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài toán 2: (T6/437 THTT): Cho các số thực dương a b c thỏa mãn điều kiện , ,

2.cos cos

2 2

( )

2

( )(1 2)

Vậy bài toán chứng minh xong, đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

*Nhận xét: Để bài toán kết thúc trọn vẹn ta sẽ chứng minh

 2

2( )

 (a) Thật vậy, ta có

   

2 2

Bài toán 4 Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn xy 1 z x( y) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 ( 1)

.(1 )(1 ) 1

Từ giả thiết ta có xyyzzx1, do đó tồn tại tam giác ABC thỏa mãn

cot , cot , cot

x A y B z  C (với 0A B, 900 và cot cotA B1) Khi đó:

sin sin sin sin sin

coscos cos

1

sinsin sin

2 cos cos (cos cos sin sin ) cos sin2

cos cos cos( ) sin( ).cos( )

2 cos cos cos( ) 1 cos ( )cos( ) cos( ) cos( ) 1 cos ( )cos( ) 1 cos( ) 1 cos ( )

(1) 16 cos ( ) 1 cos ( ) 3 3 4 cos( )

0 0 0

cos( ) 1

303

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P (a2b2)(b2c2)(c2a2) , trong đó , ,a b c là

các số thực không âm thỏa mãn a  b c 5

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a  b c 0 Khi đó, ta có

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5

Bài toán 7 Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x3y2 z 2 3 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 3 2  4 4 3

93

Bài toán 8 Cho các số dương , , a b c Tìm hằng số k lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của k là 1

Bài toán 9 Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng

   điều phải chứng minh

Bài toán 10 Tìm hằng số K lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng

2( )( 1)( )2( )( )( ).

Đẳng thức xảy ra khi a  b c 0 hoặc c0,a b 2 và các hoán vị

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 12 Cho các số thực dương , , a b c Chứng minh rằng:

Vậy, bài toán chứng minh xong! ( Để ý thì ta thấy đây chính là một bài áp dụng bổ đề ở phần II)

Bài toán 13 Cho tam giác ABC Gọi m m m lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương a, b, cứng với các cạnh BCa CA b AB,  , c Chứng minh rằng

2 2 2 1 1 1(a b c ) 2 3 m a m b m c

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a b c  hay tam giác ABC đều

Bài toán chứng minh xong!

Bài toán 14 Xét tam giác nhọn ABC có các góc là , , A B C Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

tan tan tan tan tan tan

.tan tan tan tan tan tan

Do tam giác ABC nhọn nên ta có: tan , tan , tan A B C0

Đặt atan ,A btan ,B ctanC khi đó ta có , ,a b c0 thỏa mãn a b c  abc

(dotanAtanBtanCtan tan tanA B C) và biểu thức M trở thành:

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của M là 1

Bài toán 15 Cho các số thực dương a a1, 2, ,a thỏa mãn n

2

n n a a

a a

n n

n

n

a a

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm của A là min 1 1 1.

a   a    a  a  a a a Đẳng thức không xảy ra

Thực hiện các đánh giá tương tự đối với 3 4 1

Bài toán 17 Kí hiệu [ ] a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a Cho , x y là các số thực dương

thỏa mãn [ ].[ ]x y 30 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy: +Giá trị nhỏ nhất của P là 2.30 , đạt được khi 4 x y 30 4

+Giá trị lớn nhất của P là 30830 ,4 đạt được chẳng hạn khi

4 4