03 phuong trinh mat phang

03 Phuong trinh mat phang Khóa học LTĐH môn Toán Moon vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH! 1) Véc tơ pháp[.]

1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

n A B C A B C có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P)

(P) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và có véc tơ pháp tuyến
=( ; ; )

n A B C thì có phương trình được viết dạng ( ) (P : A x−x0) (+B y−y0) (+C z−z0)=0

(P) có véc tơ pháp tuyến
=( ; ; )

n A B C thì có phương trình tổng quát ( )P : Ax+By+Cz+ =D 0

(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP
=AB AC
;


(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho 
=

n n

(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì α α; β

β

→ =

⊥













P

P P

(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ ;

→ =

⊥









P

P P

(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì ; α

α

→ =

⊥













P

P P

Ví dụ 1: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến =(1; 2;1 − )

n b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z −−−− 1 = 0

c) qua M(3; −−−−1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z −−−− 1 = 0; (R): 2x + 3y −−−− z −−−− 5 = 0

Hướng dẫn giải:

a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến
= −(1; 2;1)

n nên có phương trình ( )P : 1.(x− −1) (2 y− +1) (1 z− = ⇔ −2) 0 x 2y+ − =z 1 0

b) (P) // (Q) nên // ,




n n chọn 
=
=(1; 2;5)→( ) (:1 − +2) 2.( − +0) (5 − =1) 0

( ): 2 5 7 0

→ P x+ y+ z− =

c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến

2 3 1

−



⊥









Khi đó (P) có phương trình 1.(x− −3) (2 y+ −1) 4z= ⇔ −0 x 2y−4z− =5 0

Ví dụ 2: [ĐVH].Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5− )

n làm vectơ pháp tuyến

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là

(1; 2; 1 ,− ) (
2; 1;3− )

c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB

d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC

e) Viết phương trình (ABC)

Ví dụ 3: [ĐVH].Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC)

b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0

03 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Thầy Đặng Việt Hùng

c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0

d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0

e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz)

Ví dụ 4: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:

a) ( )3 1 12 2 1 43 1 0

 β

( ; ; ), ( ; ; )

:

 β

( ; ; ), ( ; ; ) :

c) ( )2 1 33 4 84 7 95 0

 β

( ; ; ), ( ; ; )

:

 β

( ; ; ), ( ; ; ) :

Ví dụ 5: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước,

với:

a) M(1 2 3; ;− ),( )P :2x−3y z+ − =5 0,( )Q : x3 −2y+ − =5z 1 0

b) M(2 1 1; ;− ),( )P :x y z− + − =4 0,( )Q : x y z3 − + − =1 0

c) M(3 4 1; ; ,) ( )P :19x−6y− +4z 27=0,( )Q :42x− + + =8y 3z 11 0

d) M(0 0 1; ; ,) ( )P :5x−3y+2z− =5 0,( )Q :2x− − − =y z 1 0

Ví dụ 6: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x y z+ − − =3 0, ( ) :R x y z+ + − =2 0

b) ( ) :P x−4y+2z− =5 0, ( ) :Q y+4z− =5 0, ( ) :R 2x y− +19=0

c) ( ) :P 3x y z− + − =2 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) :R 2x z− + =7 0

Ví dụ 7: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( ) :P 2x+3y− =4 0, ( ) :Q 2y− − =3z 5 0, ( ) :R 2x+ − − =y 3z 2 0

b) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x y z+ − + =3 0, ( ) :R x y z+ + − =2 0

c) ( ) :P x+2y z− − =4 0, ( ) :Q 2x y z+ + + =5 0, ( ) :R x−2y− + =3z 6 0

d) ( ) :P 3x y z− + − =2 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) :R 2x z− + =7 0

2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt

Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua

gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0

Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình

là z −a = 0

Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua

gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0

Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình

là x −a = 0

Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua

gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0

Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình

là y −a = 0

Mặt phẳng trung trực:

Cho hai điểm A, B Khi đó mặt phẳng trung trực của AB

đi qua trung điểm I của AB và nhận



AB làm véc tơ pháp

tuyến

Phương trình mặt chắn:

Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các

điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) thì (P) có phương

trình đoạn chắn: ( )P :x+ + =y z 1

Một số đặc điểm của mặt chắn:

+ Độ dài OA= a OB; =b OC; = c

OABC

+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực

tâm H của tam giác ABC

Ví dụ 1: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Do mặt phẳng cắt các tia nên

Ta có a, b, c > 0

Phương trình mặt chắn( )P :x+ + =y z 1

1

2

∈ → + + = ⇔ + + =

6

= = = → OABC =

2

+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ abc≥ ⇔abc≥

min

1

6

→V OABC ≥ = ⇒V = ⇔ = = =a b c , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc

với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6

ABC x± ± =

Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt

các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho V OABC =2, với O là gốc tọa độ

Bài 3: [ĐVH] Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông

góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho V OABC =4

ABC − + + =

Bài 4: [ĐVH] Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt

các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho 7

2

ABC

S = , với O là gốc tọa độ

Đ/s: ( )α : 1

x+ + =

Bài 5: [ĐVH] Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC Bài 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể

tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Bài 7: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao

cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC