1 ThuËt gi¶i ®ång thêi hÖ ph¬ng tr×nh REYnolds hai chiÒu ®øng b»ng ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n hai giai ®o¹n víi ®é chÝnh x¸c cao Lª V¨n NghÞ – ViÖn Khoa häc Thuû lîi Tãm t¾t Ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u[.]
Trang 1Thuật giải đồng thời hệ phương trình REYnolds hai chiều đứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn hai giai đoạn với độ chính xác cao
Lê Văn Nghị – Viện Khoa học Thuỷ lợi
Tóm tắt: Phương pháp phần tử hữu hạn hai giai đoạn có độ chính xác cao đã được Navon sử dụng giải hệ phương trình nước nông không đầy đủ [5], thu được từ việc xấp xỉ Galerkin số hạng đối lưu phi tuyến Bài viết này trình bày thuật giải đồng thời hai giai đoạn hệ phương trình Reynolds hai chiều đứng xét đến sự thay đổi theo chiều ngang dòng chảy bằng phương pháp phần tử hữu hạn hai giai đoạn với độ chính xác cao Độ chính xác cao thu được từ việc xấp xỉ Galerkin số hạng đạo hàm phi tuyến của thành phần vận tốc dòng chảy và sử dụng phần tử tam giác bậc cao
1 Mở đầu
Bài báo này trình bày mô hình thuỷ động lực học được phát triển nhằm mục đích nghiên cứu thuỷ động lực học dòng chảy qua công trình tháo cột nước thấp Mô hình được phát triển
từ hệ phương trình Raynolds hai chiều đứng có xét đến sự thay đổi theo chiều ngang Hệ phương trình cơ bản đựơc giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) dạng yếu Galerkin, với thuật giải đồng thời hai giai đoạn có độ chính xác cao Độ chính xác cao thu
được từ việc xấp xỉ Galerkin số hạng đối lưu phi tuyến của thành phần vận tốc, cùng với việc
sử dụng phần tử tam giác 06 điểm nút cho thành phần vận tốc và 03 điểm nút cho thành phần
áp suất Thuật giải phân rã hai giai đoạn đã được trình bày trong[3] Các khái niêm cơ bản của phương pháp phàn tử hữu hạn được trình bày chi tiết trong các tài liệu tham khảo và chuyên môn[3, 4] Các tính toán chi tiết, kỹ thuật xử lý điều kiện biên và chương trình tính sẽ trình bày trong một bài viết khác
2 Hệ phương trình xuất phát và điều kiện biên
Hệ phương trình Reynolds hai chiều đứng xét đến sự thay đổi chiều rộng dòng chảy có dạng:
0
1 1
)
(
1 1
z
bw x
bu
z
bw K z x
bw K x z
bp bF
z
bw w x
bw u t
bw
z
bu K z x
bu K x x
bp bF
z
bu w x
bu u t
bu
Z M
zz M
zx z
x M
xz M
xx x
(1)
Với u,w: là vận tốc theo phương x và z; p: là áp suất dòng chảy; b: là chiều rộng của đoạn sông b = f(x,z) (hay chiều dày dòng chảy); : khối lượng riêng của nước; KM: các hệ số nhớt rối; g: Gia tốc trọng trường
Xét trong trường trọng lực lực khối: Fx=0 ; Fz=-g ;
Các hệ số nhớt rối và thành phần ma sát thành nhám được xác định từ các công thức thực nghiệm của Job và Sayre như trong [1]
Điều kiện biên(Hình 1, với Fr<1):
+ Điều kiện biên Dirichlet: Biên trên (AF)
cho vận tốc; Biên dưới (BC)cho mực nứơc; Biên
mặt thoáng (AB) cho pd=0; Các đoạn biên
không thấm có phương trùng với phương hệ trục
toạ độ cho u=0 (HE) hoặc v=0 (FE)
+ Điều kiện biên Newman: các đoạn biên
không thấm có phương không trùng với phương
u
v = 0
0
F
n
u =0 D
C
x
w = w(t) v=v(t)
A z
w v
pd = 0
p = p(t) B
H
Trang 23 Phương pháp phần tử hữu hạn dạng yếu Galerkin
Phương pháp PTHH thay việc tìm hàm giải tích trên toàn miền xác định bằng cách tính giá trị hàm trên từng phần tử qua giá trị tại các điểm nút của phần tử Miền tính toán được chia thành n phần tử, áp dụng phương pháp PTHH Galerkin, ta có :
n
i i
Với : f(x,z) là hàm cần tính toán (vận tốc, áp suất); n là số phần tử; i là chỉ số thay đổi theo các điểm nút của một phần tử; i =1ni; N là hàm dạng
Chọn hàm dạng bậc 2 với miền con là phần tử tam giác 6 điểm nút cho thành phần (u,w), hàm dạng bậc 1 với miền con là phần tử tam giác 3 điểm nút cho thành phần (p) Giá trị các
đại lượng cần tìm trên từng phần tử được xác định theo công thức:
6 1
} {
i
e j
i e
u N u N
Đạo hàm của u, theo các biến không gian và thời gian : e e
u x
N x
u
e e
u N t
u
(4) Tương tự viết cho u, w, p theo các chiều (x, z) và biến thời gian (t) Chi tiết về hàm dạng
được trình bày trong [3, 4, 5]
Thiết lập phương trình dạng yếu Galerkin của (1), ta có :
ne
e A
e e e e p i
ne
e A
e M ZZ
e M ZX
e e
e e
i
ne
e A
e M XX
e M XX
e e
e e i
e e e
dxdz x
w b x
u b N
dxdz g z
w K z x
w K x x
p z
w w x
w u x
w N
dxdz z
u K z x
u K x x
p z
u w x
u u x
u N
1
1
1
0
0 1
0 1
(5)
Qua các biến đổi toán học thu được:
3 32
31
2 23
22
22
1 13
11
11
f w C u C
f p C w C w M
f p C u C u M
(6)
Với các ma trận hệ số được xác định như sau:
n
e
e e M b M
M
1 22 22
n
e
e e n
e
e e
C b C
C b C
1 13 13
1 11
n
e
e e n
e
e e
C b C
C b C
1 23 23
1 22
n
e
e C C
1 31
n
e
e C C
1 32
n
e
e
e f b f
1 1
n
e
e
e f b f
1 2
n
e
e
e f b f
1 6 3
Chỉ số e chỉ ma trận phần tử Chi tiết các ma trận phần tử xem trong [2]
4 Thuật toán giải Đồng thời trực tiếp
áp dụng sơ đồ sai phân trọng số :
DT
f DT
f f
f
n n
; n
f f
f (8)
f : là các đại lượng u, w, p; n, n+1 : là chỉ số bước thời gian; : là trọng số sai phân
Hệ phương trình (6) trở thành :
Trang 3
n w
n u
n w
n u
n n
w p
n w
n n
u p
n u
w u
f w
u
p C w C DT
M f
p C w
C DT
M
p C u C DT
M f
p C u
C DT
M
] [C ) 1 ( ] [C ) 1 ( ]
[C ]
[C
] )[
1 ( ] [ ]
[ ]
[ ]
[
] )[
1 ( ] [ ]
[ ]
[ ] [
32 31
3 1 32 1
31
23 22
22 2
23 1
22 22
13 11
11 1
12 1
11 11
hay A q h (9), Đây là phương trình ma trận viết cho toàn hệ các hệ số là các ma trận đựơc xác định như sau:
n n
n n
p p
w
u q
1 1 1
;
0 ]
[C ]
[C
] [ ] [ ] [ 0
] [ 0
] [ ] [
32 31
23 22
22
12 11
11
w u
p w
p u
C C
DT M
C C
DT M
A
n n n
w u
w u
p w
u C C
DT M
C C
DT M
f
f
f
h
0 ]
[C ) 1 ( ]
[C ) 1 (
] )[
1 ( ] [ 0
0 ]
)[
1 ( ] [
32 31
23 22
22
13 11
11
3 2 1
(10)
Sau khi gán điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Newman và giải hệ ta tìm được trường vận tốc và áp suất của dòng chảy ở từng điểm nút
Để giải thu được hệ đại số tuyến tính toàn hệ, trước hết ta phải tính các ma trận phần tử của từng phương trình, tiếp đó đưa chúng vào ma trận phần tử ghép, rồi ghép các ma trận phần tử ghép ta thu được Các ma trận phần tử ở đây được tính bằng phương pháp tích phân số, sử dụng phương pháp cầu Gause[3,4] Hệ phương trình đại số được ép ở dạng ma trận băng không đối xứng và giải bằng phương pháp khử Gause, sử dụng phép đảo hàng ma trận (do tồn tại các số hạng bé hoặc bằng không trên đường chéo chính)
Bài toán ở đây giải ra áp suất thuỷ động, nó thuộc lớp bài toán có biên di động (biên mặt nước), quá trình giải phải sử dụng thuật toán giải lặp Tại mỗi bước thời gian, quá trình tính
được lặp đến khi đạt độ chính xác cho phép thì dừng lại Quá trình lặp sẽ kiểm tra đồng thời sai số của các biến u, w, và p mặt thoáng Toàn bộ các thuật toán chi tiết sẽ trình bày đầy đủ ở một dịp khác
5 Phương pháp PTHH hai giai đoạn
Thuật toán PTHH hai giai đoạn áp dụng để tính thành phần đối lưu phi tuyến trong hệ phương trình xuất phát Ta đặt L(u,w) = uw/x
Trước hết ta khảo sát độ chính xác của phương pháp PTHH hai giai đoạn :
Xấp xỉ Galerkin trực tiếp : u = exp(ikx), w = exp(ilx) Với = kh, = lh
ở đây h là chiều dài phần tử đoạn thẳng, sai số chặt cụt khi xấp xỉ thành u(w/x) thu được
từ ước lượng Fourier là : T.E.~ [4 8 7 2 ]
3 2
2 3
4
; nếu = thì T.E.~ 17
4
(11)
Trang 4Ban đầu ta tính thành phần đạo hàm vận tốc, sử dụng phần tử đoạn thẳng ba điểm nút với hàm dạng bậc 2 để tính thành phần: Z (= w/x) (12)
Tiếp đến, tính thành phần V = uw/x (13) Việc giải phương trình (12) và (13) bằng phương PPTHH với việc sử dụng phần tử đoạn thẳng hai điểm nút, với hàm dạng bậc nhất ta thu được các hệ phương trình 3 đường chéo (chi tiết xem trong [1])
Sai số cắt cụt của phương pháp này là: T.E.~ 720
] 4 2
3 2
, khi = thì
T.E.~
4 720
(14)
Sai số này 6 lần nhỏ hơn sai số của phương pháp xấp xỉ trực tiếp (11);
Sau khi xác định được các đại lượng: uR ux;
x
u
wz wx
z
w w uR x
w u wR z
u
;
phương pháp hai giai đoạn, ta có các đại lượng biết trước Khi đó phương trình mômen theo
z
u K z x
u K x x
p 1 wR uR
t
XZ M
XX uz
(15) Biến đổi tương tự như phương pháp PTHH trực tiếp ta thu được phương trình :
uz
e
uR M f p C u C u
] [ ]
[ ] [ ]
.
e
A
M XZ i
M XX i
e
dxdz z
N K z
N N x
N K x
N N
e
A
M ZZ i i M
ZX i i e
dxdz z
N K z
N N x
N K x
N N
Các hệ số khác và thuật giải như phương pháp giải trực tiếp
6 ứng dụng
Thuật toán hai giai đoạn trình bày ở trên đã được lập trình bằng ngôn ngữ Fortran 95, mô phỏng bằng số thực với độ chính xác kép Mô hình đã được áp dụng để tính toán dòng chảy qua cống vùng triều, dòng chảy qua hố xói sâu hạ lưu công trình tháo, dòng chảy trong kênh dẫn cho kết quả tốt phù hợp với số liệu đo đạc trên mô hình vật lý và rất nhạy với sự thay đổi biên địa hình đáy
áp dụng mô hình được thiết lập tính toán cho dòng chảy hạ lưu cống Phó Sinh tỉnh Cà Mau, số liệu tính toán được so sánh với số liệu thí nghiệm mô hình thuỷ lực được xây dựng tại phòng Nghiên cứu Thuỷ lực Viện Khoa học Thuỷ lợi có sự phù hợp tốt
Mặt cắt I-I Mặt cắt I-I Mặt cắt II-II Mặt cắt III-III Mặt cắt IV-IV
So sỏnh kết quả tớnh toỏn và thớ nghiệm dũng chảy từ đồng ra sụng qua cống Phú Sinh
phương ỏn thiết kế, khi Zs =0,25m, Zđ = 0,11m
7 Nhận xét và kết luận
Trang 5Mô hình được phát triển từ hệ phương trình Raynodls hai chiều đứng có xét đến sự thay
đổi của chiều rộng dòng chảy, cho phép ta xác định được phân bố vận tốc theo phương đứng,
đặc biệt là vận tốc đáy, một giá trị rất có ý nghĩa khi nghiên cứu biến đổi lòng dẫn ở hạ lưu công trình Cùng với việc có xét đến sự thay đổi chiều rộng dòng chảy mô hình đã tiến gần
đến mô hình 3 chiều, mà không làm phức tạp hoá quá trình tính toán và thu đựơc kết quả phản ánh sự mở rộng hoặc thu hẹp dòng chảy
Mô hình đựơc phát triển bằng phương pháp phần tử hữu hạn, nên nó mang đầy đủ ưu điểm nổi trội so với các phương pháp số hiện đại khác như: Khả năng bám biên tốt cho phép mô phỏng bài toán có biên địa hình phức tạp; Khả năng giải các bài toán có biên di động; Khả năng đưa được các loại điều kiên biên khác nhau (Drickle, Newman) cho phép mô phỏng
đúng hơn với thực tế các bài toán phức tạp… Đặc biệt trong quá trình biến đổi không phải
đưa thêm các giả thiết nhằm đơn giản hoá hệ phương trình xuất phát
Mô hình được giải theo thời gian bằng sơ đồ sai phân có trọng số (trọng số cho từng biến nên có độ hội tụ tốt cũng như khả năng ổn định cao và mềm dẻo khi tính toán
Mô hình áp dụng phương pháp PTHH hai giai đoạn nên đã khắc phục được các sai số khi xấp xỉ thành phần đối lưu phi tuyến nên có độ chính xác toán học cao hơn phương pháp giải trực tiếp
tài liệu tham khảo
1 Lê Văn Nghị, “Giải phân rã hệ phương trình Reynolds hai chiều đứng bằngpháp phần tử
hữu hạn hai giai đoạn với độ chính xác cao”, Tạp chí khoa học kỹ thuật thuỷ lợi và môi
trường, tháng 9/2003;
2 Lê Văn Nghị, Trần Đình Hợi, “áp dụng mô hình thuỷ động lực hai chiều đứng tính toán
phân bố vận tốc dòng chảy hạ lưu công trình tháo cột nước thấp”, Tạp chí NN&PTNN số
tháng 9/ 2003
3 Baker J& D.W Pepper “Finite elements 1-2-3”, McGraw-Hill, 1991;
4 Reddy J N, “Introduction to Finite elements method”, McGaw-hill, 1991;
5 Navon, I M., A two stage, high accuracy, finite element Fortran program for solving shallow water equations: Computers & Geosciences, v.13, N0 3, p 255-285, 1987
Mix, two - stage, high - accuracy, finite element technique
of the two dimensional vertical flow model
By Le van Nghi
to solve the shallow- water equation which is not full [5], high-accuracy is gained by Galerkin’s approximation of non-linear differential component of velocity of flow This article presents the method by solving the Reynold’s vertical two-dimensional extended system of equation by using mentioned two-stage, high-accuracy finite element technique High-accuracy is gained by Galerkin’s approximation of non-linear differential component of velocity of flow in combining with high order triangular elements