Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 ≥ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG**, LÊ THỊ KIM ANH[.]
Trang 1SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA
ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC
LÊ HOÀN HÓA * , NGUYỄN NGỌC TRỌNG ** , LÊ THỊ KIM ANH ***
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau :
0
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0
⎧
⎪
⎨
⎩
Từ khóa: Tính phụ thuộc liên tục của nghiệm , phương trình vi tích phân Volterra
đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic
ABSTRACT
Continuous dependence of solution for the nonlinear Hyperbolic Volterra
integrodifferential equation with deviating argument
In this paper, we prove the continuous dependence result for the following nonlinear
Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument
0
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0
⎧
⎪
⎨
⎩
( )T
Keywords: Continuous dependence of solution, nonlinear Hyperbolic Volterra
integrodifferential equation with deviating argument
1 Giới thiệu
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó, lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học Năm 1981, trong [4] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có dạng:
Trang 2
( )
t 0 0
u t A t u t g t,s,u s ds f t , t 0,
u 0 u
⎧
⎪
⎨
⎩
∫
Năm 1996, trong [5] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic
( )
t
0 0
u t Au t K t,s,u s ds f t , t t ,
u t u
⎧
⎪
⎨
⎩
∫
Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự đàn hồi của các vật rắn
Gần đây, trong hai bài báo [1], [2] và tài liệu tham khảo [3] chúng tôi đã xem xét tính khác rỗng, tính continuum và tính Rδ của tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch
0
u t A t u t L t u V t,u t K t,s,u s ,u ds f t , t 0,
⎧
⎪
⎨
⎩
∫
ϕ
≥
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( )T Để làm điều này chúng tôi chứng minh một bổ đề về bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall
Bản thân sự phụ thuộc liên tục của nghiệm đã là một tính chất thú vị nhưng quan trọng hơn là tính chất này đóng vai trò quan trọng đối với tính chỉnh của bài toán, việc xấp xỉ nghiệm và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn
2 Kết quả chính
2.1 Giới thiệu bài toán
Cho r 0> Ta kí hiệu • là chuẩn của không gian Banach và E + =[0,∞),
( ) { t,s + +: t s}
∆ = ∆ I với n∈ ,
r
C =C −r,0 , E với chuẩn ur =sup u t : t{ ( ) ∈ −[ r,0] }
)
,
(
X C= − ∞r, , E là không gian Frechet các hàm liên tục từ [− ∞r, ) vào với
họ nửa chuẩn
E
{ }• n nđược định nghĩa như sau : x n =sup x t : t{ ( ) ∈ −[ r,n ,n] } ∈ Đặt F E C= × r với chuẩn ( )x, y = x + yr Đặt • L là chuẩn trên không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E C× r vào E
Trang 3u C∈ − ∞r, , E t 0≥ r
Với ( [ ) ) và đặt ut∈C định nghĩa bởi
t
u θ =u t+θ với θ∈ −[ r,0] Với u C∈ ( [−r,d , E] ) và t∈[ ]0,d đặt ut∈Cr định nghĩa bởi
t
u θ =u t+θ với θ∈ −[ r,0] Với mỗi n∈ , đặt Xn =C( [−r,n , E] ) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u :[−r,n]→E với chuẩn u n =sup u t : t{ ( ) ∈ −[ r,n] }
Xét phương trình
0
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
⎧
⎪
⎨
⎩
∫
ϕ
≥
( )T
trong đó {A t( ) }t 0≥ là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E C× r vào ,f : liên tục Hơn nữa ta giả thiết :
(E.1) ta A t( ) liên tục ; (E.2) L :∆ × →F E là hàm L1−Caratheodory, nghĩa là (E.2.1)Với mọi z∈F, hàm τ aL ,z( ) τ Borel đo được ; (E.2.2)Với hầu hết τ∈ ∆, hàm zaL ,z( ) τ liên tục ; (E.2.3)Với mỗi và mỗi hằng số , tồn tại hàm không âm
và tập compact trong sao cho
[ ]
1 C
h ∈L 0,n KC E L t,s,z( )∈hC( )t,s KC với mọi
(
F
z B 0,C∈ ) và với hầu hết ( )t,s ∈ ∆n (trong đó L1( )Ω là không gian các hàm
khả tích trên ) ;
z
L t,s,z
z
→∞ = đều theo ( )t,s trên mỗi tập bị chặn bất kì của ∆
Định nghĩa
u : − ∞ →r, E là nghiệm của phương trình ( )T nếu [ ) 1( [ ) )
0,
u ∞ ∈C 0,∞ E, và thỏa phương trình
u ( )T , ở đây C1( [0,∞), E) là không gian các hàm khả vi liên tục
u : 0,∞ →E
Chú ý
Chứng minh tương tự [3] ta thấy nếu các giả thiết (E.1), (E.2) và (E.3) thỏa mãn thì phương trình (T) có nghiệm và nếu ta thêm giả thiết toán tử Lipschitz địa phương thì phương trình (T) có nghiệm duy nhất
L
Trang 42.2 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm
Định lí 1 (Bất đẳng thức dạng Gronwall)
Cho u : a,b[ ]→ + liên tục, và c α là hai hằng số không âm Giả sử ta có
với a s
u t ≤ +c α u s ds+α ⎛⎜⎜ u τ d ds⎞⎟⎟
Khi đó u t( ) c 1 (exp( ( 1 t a)( ) ) 1)
1
α
+
Chứng minh:
Đặt ( ) t ( ) t s ( ) Theo giả thiết ta có
v t = +c α ∫u s ds+α ∫ ∫⎛⎜⎜⎝ u τ d dsτ⎞⎠⎟⎟ u t( )≤v t( ),
ta lại có ( ) ( ) t ( ) ( ) t ( )
v t′ =αu t +α u s ds≤α⎛⎜⎜v t + v s ds⎞⎟⎟
Đặt ( ) ( ) t ( ) Vậy
a
m t =v t +∫v s ds v t′( )≤αm t( ) và m a( )=v a( )=c
Vì t ( ) nên
a
v s ds 0≥
Do đó m t′( )=v t′( )+v t( )≤αm t( )+m t( ) (= α +1 m t) ( ) Vậy m t′( ) (− α+1 m t) ( )≤0
Nhân hai vế bất đẳng thức trên với exp(−( α +1 t) ) ta có:
m t exp′ − α +1 t − α +1 m t exp − α +1 t ≤0,
nghĩa là (m t exp( ) (−( α +1 t) ) )′ ≤0 Vậy t( ( ) ( ( ) ) )
a
m s exp − α +1 s ′ds 0≤
Từ đó m t exp( ) (−( α +1 t) )−m a exp( ) (−( α +1 a) )≤0 Vậy m t( )≤cexp( ( α +1 t a)( − ) )
Do đó ta có v t′( )≤αm t( )≤αc.exp( ( α +1 t a)( − ) )
c
1
α
α
+
Từ đó ta có ( ) ( ) c ( ( ( )( ) ) )
1
α
+
Trang 5c 1 (exp( ( 1 t a)( ) ) 1)
1
α
+
Vậy u t( ) v t( ) c 1 (exp( ( 1 t a)( ) 1
1
α
+
minh
Định lí 2
Giả sử L :0 ∆ × →F E thỏa các điều kiện (E.1), (E.2), (E.3), và
liên tục Với mỗi
0 r
C
ϕ ∈
0
f : + →E k∈ , lấy L :k ∆ × →F E thỏa các điều kiện (E.1), (E.2), (E.3) và dãy { }Lk k hội tụ đều về L0 Lấy { } ϕk k là dãy trong Cr sao cho
0
klimϕ ϕ
→∞ = trong Cr và lấy { }fk k ⊂C( +,E)
≥
hội tụ đều về Ta xét các phương trình sau:
0
f
0
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
⎧
⎪
⎨
⎪ = ∈
⎩
∫
( )Tk
0 0
u t A t u t ,u L t,s,u s ,u ds f t , t 0,
⎧
⎪
⎨
⎩
∫
ϕ
≥
( )T0
Lấy uk là nghiệm của phương trình ( )Tk và là nghiệm của phương trình Ta giả sử phương trình có nghiệm duy nhất
0
u
0
(T0
Khi đó ta có k trong
klim u u
→∞ = C( [− ∞r, ), E) Chứng minh:
Đặt
−
= ∈ với n∈
Bước 1
Ta chứng minh Bn bị chặn trong Xn
Vì { }Lk k hội tụ đều về L0 nên tồn tại k0∈ sao cho với k∈ và k k≥ 0 thì
k
L t,s,z −L t,s,z <1 với mọi (t,s,z)∈ ∆ ×F
Từ điều kiện (E.3) ta thấy tồn tại C 0> sao cho khi z >C thì L t,s,z0( ) < z
và L t,s,zk( ) < z với mọi ( )t,s ∈ ∆n và k 1, k= 0
Trang 6Từ điều kiện (E.2.3) ta thấy tồn tại và hàm không âm sao cho với mọi
C
h ∈L 0,n
0
k 1, k= ta có 0( ) ( )
C
L t,s,z <Rh t,s và L t,s,zk( ) <Rh t,sC( )với mọi thỏa
z F∈ z ≤C và với hầu hết ( )t,s ∈ ∆n
Vậy 0( ) ( )
C
L t,s,z ≤Rh t,s + z và L t,s,zk( ) ≤Rh t,sC( )+ z với mọi z F∈ , hầu hết ( )t,s ∈ ∆nvà mọi k 1,k= 0
L t,s,z ≤ L t,s,z −L t,s,z + L t,s,z ≤ +1 Rh t,s + z với mọi z F∈ , hầu hết ( )t,s ∈ ∆nvà mọi k k≥ 0
Do đó L t,s,zk( ) ≤ +1 Rh t,sC( )+ z với mọi k∈ , với mọi z F∈ và hầu hết
( )t,s ∈ ∆n
Vì { }fk k hội tụ đều về f0 nên tồn tại q 0> sao cho f sk( ) ≤q với mọi
[ ]
k∈ ,s∈ 0,n
Từ giả thiết (E.1) và sự kiện 1( [ ]2)
C
h ∈L 0,n ta thấy tồn tại α >0 sao cho:
s 0,n
0 0
q 2 max A s 1 Rh s,τ d dsτ α
∈
Ta thấy k( ) ( )k
s r
u s ≤ u với mọi s∈[ ]0,n nên với t∈[ ]0,n ta có
τ
( ) t ( ) t ( ) t s( ( ) ( ) )
τ
( ) t ( )k t s ( )k
k
τ
Đặt b sup= { ϕk r : k∈ }, c=(n 1+ ) α+b và λ α= +2
Ta có k( ) t ( )k t s ( )k
τ
∫ ∫ ∫ τ với mọi t∈[ ]0,n
Trang 7Mặt khác với t∈ − 0[ r, ] ta thấy k( ) ( )
k
u t = ϕ t ≤b nên ta có
τ
∫ ∫ ∫ r τ ds với mọi t∈[ ]0,n
Vì ánh xạ ( )k
t r
t a u liên tục nên theo Định lí 1 ta có
t r
Suy ra u tk( ) c 1 (exp( ( 1 n) ) 1
1
λ
+
k∈ , t∈ 0, n ,θ ∈ −r,0
Vậy u tk( ) c 1 (exp( ( 1 n) ) 1)
1
λ
⎥
+
⎣ ⎦ với mọi k∈ , t∈ −[ r,n] Từ đó
bị chặn trong
n
Bước 2
Ta chứng minh Bn là tập compact tương đối trong Xn
Đặt V,C ,C : X0 k →X (với k∈ ) như sau
t
s 0
A s u s ,u ds , t 0,
Vu t
⎧
≥
⎪
= ⎨
⎩
∫
r,0 ,
t r,0 ,
t r,0
0
0
0
L s, , u , u d ds 0 f s ds , t 0,
C u t
⎪
∈ −
⎪⎩
ϕ
k
L s, , u , u d ds 0 f s ds , t 0,
C u t
⎪⎩
ϕ
Từ Định lí 1.2.12 của [3] ta có là các ánh xạ hoàn toàn liên tục và chứng minh tương tự Định lí 1.2.10 của [3] ta thấy tồn tại sao cho:
0 k
C ,C
n
c >
( )i n i
n n
nc
i!
≤ với mọi i∈ và x X∈