Giáo án hình học lớp 12 bài 2 phương trình mặt phẳng

TOANMATH com Trang 1 BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng + Nắm được công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, g.

TOANMATH.com Trang 1

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ Nắm được công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

+ Nhận biết được vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt cầu

 Kĩ năng

+ Viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng

+ Xác định được vectơ pháp tuyến trong các trường hợp

+ Tính được khoảng cách và góc

+ Xác định được vị trí tương đối và vận dụng vào giải bài tập

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến Vectơ n0 là vectơ pháp tuyến của   nếu giá của n vuông góc với  

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Hai vectơ ,a b  không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của   nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên  

Chú ý:

 Nếu n là một vectơ pháp tuyến của   thì k n k 0 cũng là vectơ pháp tuyến của  

 Nếu ,a b  là một cặp vectơ chỉ phương của   thì n  a b ,  là một vectơ pháp tuyến của  

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

0

Ax By Cz D    với A2B2C2 0

 Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D    thì 0 n( ; ; )A B C là một vectơ pháp tuyến của ( )

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z và có một vectơ pháp tuyến 0 0; ;0 0 n( ; ; )A B C là:

 0  0  0 0

A x x B y y C z z  Các trường hợp đặc biệt Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng   0

D Ax By Cz   0   đi qua gốc tọa độ O 0

A By Cz D   0   / / Ox hoặc   Ox

TOANMATH.com Trang 2

0

B Ax Cz D   0   / /Oy hoặc   Oy 0

C Ax By D   0   / /Oz hoặc   Oz

0

A B  Cz D  0    / / Oxy hoặc

    Oxy 0

A C  By D  0    / / Oxzhoặc

    Oxz 0

B C  Ax D  0    / / Oyz hoặc

    Oyz Nếu ( ) cắt các trục toạ độ tại các điểm ( ;0;0),(0; ;0), (0;0; )a b c với abc thì ta có phương trình mặt 0 phẳng theo đoạn chắn ( ) :x y z 1

a  b c

Chú ý: Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng

2 Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho điểm , A x y z và mặt phẳng  A; A; A

( ) : Ax By Cz D   0

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) được tính theo công thức:

d( , ( )) AxA ByA CzA D A





3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,

( ) : A x B y C z D   0; ( ) : A x B y C z D   0

( ) / /( ) A B C D

B C +) ( ) ( ) A A1 2B B1 2C C1 20

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và mặt cầu ,

TOANMATH.com Trang 3

( ) : Ax By Cz D   0;

( ) : (S x a ) (y b )  (z c) R

Để xét vị trí của ( ) và ( )S ta làm như sau:

+) Nếu d I ,  R thì ( ) không cắt ( )S

+) Nếu d I ,   thì  R   tiếp xúc  S tại H Khi đó H được gọi là

tiếp điểm đồng thời H là hình chiếu vuông góc của I lên   và  

được gọi là tiếp diện

+) Nếu d I ,   thì  R   cắt  S theo đường tròn có phương trình

2

( ) :

0

C

Ax By Cz D





Bán kính của  C là r R2d [ ,( )]2 I 

Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên  

4 Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,

( ) : A x B y C z D   0 và ( ) : A x B y C z D2  2  2  20

Góc giữa ( ) và ( ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến n n ,  Tức là

   

 

Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( )

và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng

 Gọi  d là giao tuyến của hai mặt phẳng

A x B y C z D

A x B y C z D





Khi đó nếu  P là mặt phẳng chứa  d thì mặt phẳng  P có dạng

 1 1 1 1  2 2 2 2 0

m A x B y C z D     n A x B y C z D    với m2n2 0

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 4

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

Bài toán 1 Viết phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và tìm được một vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải

Mặt phẳng   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 có vectơ pháp tuyến nA B C; ;  là

 0  0  0 0

Ví dụ: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A1; 2;3 và có vectơ pháp tuyến v1; 2;1 là:

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , 1

x  y  z

A n3;6; 2   B n2; 1;3   C n    3; 6; 2  D n   2; 1;3 

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình

x  y   z  x y  z   x y z 

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n3;6; 2  

Chọn A

TOANMATH.com Trang 5

Ví dụ 2: Cho ba điểm A2;1; 1 ,  B 1;0; 4 , C 0; 2; 1   Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông 

góc với BC là

A x2y5z  5 0 B 2x y 5z  5 0

C x2y  5 0 D x2y5z  5 0

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng  P đi qua A2;1; 1 và vuông góc với BC nên nhận  BC1; 2; 5   làm vectơ pháp tuyến Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng  P là:

x  y  z   x y z 

Chọn A

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua một điểm ,M vuông góc với đường thẳng  d khi đó vectơ chỉ phương ,

u của đường thẳng  d là một vectơ pháp tuyến của  

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm , A1; 3; 2 ,  B 3;5; 2   Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng x ay bz c    0

Khi đó a b c  bằng

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có M(2;1;0) và AB(2;8; 4) 2(1; 4; 2) 2    n

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là n nên có phương trình: x4y2z  6 0

Suy ra a4,b 2,c  6

Vậy a b c    4

Chọn B

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz mặt phẳng song song với mặt phẳng , Oxy và đi qua điểm (1;1;1)A có phương trình là

A y  1 0 B x y z    1 0 C x  1 0 D z  1 0

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy và đi qua (1;1;1)) A nhận k(0;0;1)

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là z  1 0

Chọn D

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng  Q x y:  2z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng  Q đồng thời cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại các điểm , M N sao cho , MN 2 2

A ( ) :P x y 2z  2 0 B ( ) :P x y 2z 0

C ( ) :P x y 2z 2 0 D ( ) :P x y 2z  2 0

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 6

( ) / /( )P Q nên phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y 2z D 0 (D  2)

Khi đó mặt phẳng ( )P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại các điểm , M(D;0;0), (0; ;0)N D

Từ giả thiết: MN2 2 2D2 2 2D2 (do D  2)

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) :P x y 2z  2 0

Chọn A

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 và song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 thì   có phương trình là

 0  0  0 0

A x x B y y C z z 

Ví dụ 6: Cho điểm M(1; 2;5) Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz tại , ,, , A B C sao cho M là trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P là

A x y z    8 0 B x2y5z30 0 C 0

5 2 1

x   y z Hướng dẫn giải

Ta có OA (OBC) OA BC BC (OAM) BC OM (1)

Tương tự ABOM (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM (ABC) hay OM ( )P

Suy ra OM(1; 2;5)

là vectơ pháp tuyến của ( )P Vậy phương trình mặt phẳng  P là

x  y  z   x y z 

Chọn B

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có đỉnh (8; 14; 10);A   AD AB AC, , lần lượt song song với Ox Oy Oz , , Phương trình mặt phẳng BCD đi qua (7; 16; 15)H   là trực tâm BCD có phương trình là

A x2y5z100 0 B x2y5z100 0

x y  z 

x y  z 

Hướng dẫn giải

Theo đề ra, ta có (BCD đi qua (7; 16; 15),) H   nhận HA(1;2;5)

là vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD là

( 7) 2( 16) 5( 15) 0

2 5 100 0

Vậy (BCD x) : 2y5z100 0

Chọn B

TOANMATH.com Trang 7

Bài toán 2 Viết phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và tìm được một cặp vectơ chỉ phương

Phương pháp giải

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M x y z có cặp vectơ chỉ phương ,  0; ;0 0 a b 

Khi đó một vectơ pháp tuyến của ( ) là n [ , ].a b

Ví dụ: Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(0; 2; 2) và nhận vectơ (2,0,1), ( 1,1,0)a b 

là hai vectơ chỉ phương

Suy ra  P có vectơ pháp tuyến là:

[ , ] (1;1; 2)

n  a b  

Từ đó ta có ( ) :P x y 2z  6 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hai điểm (1; 1;5), (0;0;1)A  B Mặt phẳng ( )P chứa ,A B và song song với trục Oy có phương trình là

A 4x z   1 0 B 4x y z    1 0 C 2x z   5 0 D x4z  1 0

Hướng dẫn giải

Do mặt phẳng ( )P chứa ,A B và song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến của ( )P là

[ ; ] (4;0; 1)

n  AB j  

Phương trình mặt phẳng ( )P là:

4(x 0) 0(y 0) 1(z  1) 0 4x z   1 0

Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A1; 2; 1 ;  B 2;1;0 và mặt phẳng ( ) : 2P x y 3z  Gọi ( )1 0 Q là mặt phẳng chứa ;A B và vuông góc với ( ).P Phương trình mặt phẳng ( )Q là

A 2x5y3z  9 0 B 2x y 3z  7 0

C 2x y z    5 0 D x2y z   6 0

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng  Q chứa AB và vuông góc với mặt phẳng ( )P nên có cặp vectơ chỉ phương

là AB(1; 1;1)

và nP (2;1; 3)

Suy ra n  Q [AB n; P] (2;5;3)

Mặt phẳng ( )Q đi qua (1; 2; 1)A  nên 2(x 1) 5(y 2) 3(z  1) 0

2x 5y 3z 9 0

Chọn A

Chú ý: Mặt phẳng ( ) chứa một đường thẳng  d và vuông góc với một mặt phẳng   :

+) Xác định vectơ chỉ phương u của ( )d và vectơ pháp tuyến n

 của  

TOANMATH.com Trang 8

Một vectơ pháp tuyến của ( ) là: n u n , 

+) Lấy một điểm M thuộc d thì M( )

Ví dụ 3: Mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng

( ) :P x y z   7 0,( ) : 3Q x2y12z  có phương trình là 5 0

A 2x3y z  0 B 10x15y5z  C 102 0 x15y5z  D 22 0 x3y z  0

Hướng dẫn giải

Ta có ( ) :P x y z    có vectơ pháp tuyến là 7 0 n1(1; 1;1) và

( ) : 3Q x2y12z  có vectơ pháp tuyến là 5 0 n2 (3; 2; 12)

Do ( ) ( )  P và ( ) ( )  Q nên ( ) có vectơ pháp tuyến là

[ ; ] (10;15;5)

n n n  

Vậy ( ) có phương trình 10x15y5z 0 2x3y z  0

Chọn D

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau     ,  Chọn vectơ : pháp tuyến của   là:

,

n n n  

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm (0;1; 2), (2; 2;1), A B  , ( 2;1; 0).C  Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC là ) ax y z d    Hãy xác định 0 a và d

A a1,d  1 B a6,d   6 C a 1,d   6 D a 6,d  6

Hướng dẫn giải

Ta có: AB2; 3; 1 ;   AC  2;0; 2  

 

Chọn 1 ; 1;1; 1

6

n  AB AC  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC 

Ta có phương trình mặt phẳng ABC là:  x y          1 z 2 0 x y z 1 0

Vậy a1,d  1

Chọn A

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua ba điểm không thẳng hàng , , A B C Khi đó ta có thể xác định một vectơ pháp tuyến của   là:

n AB AC

  

TOANMATH.com Trang 9

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz biết mặt phẳng , ax by cz    qua hai điểm (3;1; 1), (2; 1; 4)5 0 A  B 

và vuông góc với ( ) : 2P x y 3z  4 0

Giá trị của a b c  bằng

Hướng dẫn giải

Gọi ( ) : ax by cz   5 0 Ta có AB  ( 1; 2;5),nP (2; 1;3)

Mặt phẳng ( ) nhận n[ AB n, P] ( 1;13;5) 

làm vectơ pháp tuyến nên ( ) có dạng

Mặt phẳng ( ) qua (3;1; 1)A  nên 3 13.1 5.( 1)      D 0 D  5

( ) : x 13y 5z 5 0

       hay ( ) : x13y5z 5 0

Suy ra a1;b 13;c  5

Vậy a b c   9

Chọn A

Bài toán 3 Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức liên quan đến khoảng cách:

Khoảng cách từ điểm M x y z đến mặt phẳng ( ) : 0, ,0 0  ax by cz d   0 là

d( ,( ))M ax by cz d



Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: d [( ),( )] d[ ,( )]   M  trong đó điểm M( )

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt , phẳng ( ) : x y z   3 0 và cách ( ) một khoảng bằng 3

A x y z   6 0;x y z   0 B x y z    6 0

C x y z   6 0;x y z   0 D x y z   6 0;x y z   0

Hướng dẫn giải

Gọi ( ) là mặt phẳng cần tìm Ta có (0;0;3) ( )A  

Do ( ) / /( )  nên phương trình của mặt phẳng ( ) có dạng:

0

x y z m    với m 3

Ta có d(( ),( )) 3 d( ,( )) 3 | 3 | 3

3

m

6

| 3| 3

0

m m

m





 (thỏa mãn)

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

TOANMATH.com Trang 10

6 0

x y z    và x y z   0

Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,

( ) :P x3z 2 0, ( ) :Q x3z  4 0 Mặt phẳng song song và cách đều ( )P và ( )Q có phương trình là:

A x3z  1 0 B x3z  2 0 C x3z  6 0 D x3z  6 0

Hướng dẫn giải

Điểm M x y z bất kỳ cách đều ( )( ; ; ) P và ( )Q d M P( ;( ))d M Q( ;( ))

| 3 2 | | 3 4 |

3 1 0

3 1 0

x z

x z





 



       

Vậy M thuộc ( ) : x3z 1 0 Nhận thấy ( ) song song với ( )P và ( )Q

Chọn A

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;1 , B 3; 4;0 và mặt phẳng ( ) :P ax by cz  46 0 Biết rằng khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng ( )P lần lượt bằng 6 và 3 Giá trị của biểu thức T    bằng a b c

Hướng dẫn giải

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của ,A B trên mặt phẳng ( )P

Theo giả thiết, ta có: AB3,AH6,BK  3

Do đó ,A B ở cùng phía với mặt phẳng ( )P

Lại có: AB BK  AK AH Mà AB BK AH nên H  K

Suy ra , ,A B H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ (5;6; 1)H 

Vậy mặt phẳng ( )P đi qua H(5;6; 1) và nhận AB(2; 2; 1)

là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2(x 5) 2(y 6) 1(z  1) 0 2x2y z 23 0

Theo bài ra, ta có ( ) : 4P  x 4y2z46 0 nên a 4,b 4,c 2

Vậy T      a b c 6

Chọn B

Bài toán 4 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H

Giả sử mặt cầu  S có tâm I và bán kính ,R khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng ( ) đi qua H

và có một vectơ pháp tuyến là n IH

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu , ( ) : (S x1)2y2 (z 2)2 9