TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 29 22 MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng 3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Bài báo này[.]
Trang 1MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN
Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phương 3
Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo này đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trên
không gian xác suất nói trên Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảm sinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến
Từ khóa: - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai
1 Mở đầu
Trong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại (cả trong
lý thuyết xác suất cổ điển) Trong lịch sử phát triển của lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm xác suất của biến cố được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên có thể thấy những định nghĩa đó đều không nói lên được bản chất toán học của vấn đề Ngày nay, lý thuyết xác suất được phát triển dựa trên phương pháp tiên đề và lý thuyết độ đo Điều này đã làm cho lý thuyết xác suất thực sự là một khoa học toán học Bài báo này xây dựng một số ví dụ minh họa cho một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất hiện đại Đó là không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất tổng quát Tất cả những vấn đề nêu trên được xây dựng dựa vào lý thuyết chặt chẽ của độ đo, tích phân Lebesgue,…
Bài báo được trình bày theo bố cục như sau Trước hết, dựa vào các tài liệu [1], [2] và [3] trình bày các khái niệm cơ bản cần dùng trong lý thuyết xác suất tổng quát như không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên ở phần đầu mỗi mục Tiếp sau đó, trong phần cuối mỗi mục, một số ví dụ minh họa cho những khái niệm đã nêu được xây dựng với tiêu chí là đơn giản, tinh giản và chặt chẽ, làm phong phú thêm các khái niệm được đưa ra
2 Không gian xác suất
2.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 2.1 Cho X là tập tùy ý khác rỗng Một họ các tập con của X được gọi là
một - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
a) X ;
b) Nếu A thì CA ;
c) Nếu A n n * thì
1
n n
A
3 Ngày nhận bài: 26/2/2017 Ngày nhận kết quả phản biện: 14/4/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: phamthithai68@gmail.com
Trang 2Nhận xét 2.2 Có thể thay một cách tương đương điều kiện c) bởi điều kiện:
c’) Nếu A n n * thì
1
n n
A
Định nghĩa 2.3 Một hàm tập hợp xác định trên - đại số các tập con của tập hợp
X được gọi là một độ đo trong X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
a) 0 A với mọi A ;
b) 0;
c) là - cộng tính, tức là với mọi A A1, 2, ,A n, là dãy tập con rời nhau thì
1 1
n
Hơn nữa,là một độ đo xác suất nếu X 1
Định nghĩa 2.4 Gọi bộ ba X, , là không gian xác suất, ở đó là - đại số trên
X và là độ đo xác suất trên X Khi đó, X là không gian mẫu, là không gian biến cố và
là hàm xác suất
Ví dụ 2.5 Xét phép thử gieo con xúc xắc một lần Gọi s là số chấm xuất hiện ở mặt trên
con xúc xắc khi gieo Khi đó không gian mẫu X 1, 2, 3, 4, 5, 6 Xét là họ tất cả các
tập con của X (bao gồm 6
2 phần tử) thì là một - đại số trên X Vậy là không gian biến cố Tiếp theo, xác định hàm xác suất trên X như sau Với mỗi phần tử của X, có định
nghĩa 1
, 1, 6
6 s
s
Từ công thức này, có thể xác định được tất cả các biến cố của Chẳng hạn xác suất của biến cố số chấm chẵn E2, 4, 6 = 2 4 6 ta thấy ngay
6
E
Vậy X, , là một không gian xác suất
Định nghĩa 2.6 Giả sử , là hai độ đo trên một - đại số trên X Khi đó độ đo
liên tục tuyệt đối đối với độ đo nếu với mọi E : E 0 thì E 0 Kí hiệu
là
2.2 Một số không gian xác suất trên
Ví dụ 2.7 Đặt X 0,1 Kí hiệu là - đại số trên X sinh bởi các tập con mở của X
(khi đó cũng là - đại số trên X sinh bởi các tập con đóng của X) Mặt khác, có thể thấy
các biểu diễn sau đây:
i) Với mọi a b, 0, 1 thì:
Trang 3
0
0 1
2
Bởi vì mọi tập mở trên đều là hợp không quá đếm được của các khoảng mở nên cùng với biểu diễn trên, cũng là - đại số trên X sinh bởi họ các khoảng nửa đóng của X
Như vậy, các tập như 1 2, ; 0,1 2,1 ;
1 1 2
; ; ;
3 3 3
đều thuộc Hơn nữa có
thể thấy cũng được sinh bởi họ các tập 0, a , a 0, 1 hoặc bởi họ
0, a , a 0, 1 Thật vậy, chẳng hạn với họ 0, a , a 0, 1 Khi đó với mọi khoảng đóng a b, , ,a b 0, 1 , để không mất tính tổng quát coi a b, 0, 1 Sẽ có:
a b, =X \ 0, a b,1
Mặt khác vì 0, b nên X \ 0, b =b,1 và do đó a b, J Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Xác định hàm xác suất trên X như sau Với mỗi E , đặt E là độ đo Lebesgue
([2]) của E Rõ ràng mỗi tập thuộc đều đo được Lebesgue bởi mỗi tập con mở trên X đều
là hợp của nhiều nhất là đếm được các khoảng mở, hơn nữa mỗi khoảng mở đều là đo được Lebesgue Hơn nữa X 0,11 Như vậy là độ đo xác suất trên X Chẳng hạn ta
có độ đo (xác suất) của một số tập con (biến cố) sau:
Vậy X, , là một không gian xác suất
Ví dụ 2.8 Đặt
*
1
2j j
X
Xét - đại số trên X cho bởi gồm tất cả các tập con
của X Xác định hàm xác suất trên X như sau Với mọi tập E , đặt:
,
2k
k I
E
ở đó I là tập bao gồm các chỉ số k mà 1
2k E Rõ ràng khi đó là độ đo xác suất bởi vì
*
1 1
2k
k
X
Vậy X, , là một không gian xác suất
Trang 4Nhận xét 2.9 Độ đo Lebesgue của mọi tập không quá đếm được trong đều bằng không Do vậy, từ định nghĩa của độ đo xác suất trong các Ví dụ 2.7 và Ví dụ 2.8 nói trên,
sẽ có , ở đó là độ đo Lebesgue trên
3 Biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất tổng quát
3.1 Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 3.1 Cho X, , là một không gian xác suất Giả sử f X: là một
hàm số trên X f là hàm Borel trên X nếu với mọi tập Borel ([1]) G đều có 1
Gọi một hàm Borel trên không gian xác suất là biến ngẫu nhiên
Nhận xét 3.2
i) f là hàm Borel trên X tương đương với 1
f a a đồng thời cũng tương đương với 1
ii) Nếu f là hàm Borel trên X thì 1
f a a là các biến cố và do đó hàm xác suất xác định trên các tập này
3.2 Một số biến ngẫu nhiên trên
Ví dụ 3.3 Xét không gian xác suất X, , trong Ví dụ 2.5, ta xét hàm f X:
xác định như sau: s X f s, ( )s Khi đó sẽ có:
1
khi 1;
1,2,3,4 khi 4 5;
1,2,3,4,5 khi 5 6;
khi 6
a a a
a a
Rõ ràng 1
,
f a nên f là hàm Borel trên X
Ví dụ 3.4 Tương tự như Ví dụ 3.3, xét X 1, 1 , 1, 1 là - đại số các tập Borel sinh bởi các tập con mở của 1, 1 và hàm xác suất ,
2
ở đó xác định như trong
Ví dụ 2.7 Khi đó 2
1, 1 1
và có 1, 1 , 1, 1 ,
2
suất Xét f X: xác định như sau: s X f s, | | s Khi đó sẽ có:
1
Trang 5Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Nếu a0 thì khi đó 1
Trường hợp 2 Nếu a0 thì khi đó:
1
f a s X a s a sX a s s X sa
Không mất tính tổng quát, cần chỉ ra sX s: a Thật vậy, đặt g s s s, X thì hàm g liên tục (với topo thông thường) trên X Đồng thời:
bởi vì nghịch ảnh của tập mở , a trong qua hàm liên tục g là tập mở trong X, do đó
1
,
g a là tập mở và do đó thuộc vào - đại số Borel trên X Chứng tỏ f là hàm
Borel trên X
Nhận xét 3.5
i) Tổng quát trong Ví dụ 3.4, bằng lập luận tương tự như trên, với mọi 0 thì hàm
:
f X xác định bởi s X f s, | |s đều là hàm Borel trên X
ii) Trong Ví dụ 2.8, do mọi tập con của X đều thuộc - đại số nên mọi hàm
:
f X đều có 1
f a Do đó mọi hàm f xác định như trên đều là hàm Borel Tiếp theo, dựa vào kết quả trong [5] về cách xây dựng tập không Borel, ta xây dựng một hàm không là hàm Borel như sau
Ví dụ 3.6 Giả sử c x( ) là hàm Cantor trên 0,1 Đặt g x x c x ,xX ở đó xét không gian xác suất X, , trong Ví dụ 2.7 Khi đó như trong [5] cóg là tập Borel và
ở đó là họ các tập Cantor trên đoạn 0,1 Tiếp tục theo [5] thì mọi tập có độ
đo Lebesgue dương đều chứa một tập con không đo được, kí hiệu bởi E Nếu đặt 1
thì theo [5] có A là tập con không Borel của X, tức là A Xét hàm f X: xác định bởi:
f x
Khi đó do A là tập con không Borel nên có 1
f A Vậy f không là hàm
Borel trên X
4 Hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất
4.1 Hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất
Giả sử X, , là không gian xác suất và f là hàm Borel trên X Theo định nghĩa suy ra với mọi tập Borel A có: xX f x: A Do vậy có thể xác định xác suất
x X f x: A
Đặt f A xX f x: A,A là tập Borel trên Hơn
Trang 6nữa do nếu A thì f xX f x: = X =1, tức f cũng là độ đo xác suất trên Vậy f là hàm xác suất trên - đại số các tập Borel trên
Định nghĩa 4.1 Gọif là độ đo xác suất cảm sinh bởi không gian xác suấtX, ,và hàm Borel f trên X Đặc biệt đặt:
và gọi F f là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên f
4.2 Một số hàm xác suất trên cảm sinh bởi không gian xác suất cho trước
Ví dụ 4.1 Xét không gian xác suấtX, ,trong Ví dụ 2.7 Xét hàmf X: cho bởi:
1
2 1 khi 0 <
2
x
f x
Khi đó dễ thấy f là hàm Borel trên X Do - đại số các tập Borel trên sinh bởi các tập ,a, a nên với mọi tập Borel A trên ,có thể coi A ,a Từ đó có:
khi 0;
1
0, khi 0 < ;
2
khi 1
a
a
0 khi 0;
1 khi 0 < ;
2
khi 1;
1 khi 1
a
a a
Đặc biệt có 1 0 Tuy nhiên 1 1
này chứng tỏ độ đo xác suất cảm sinh f không liên tục tuyệt đối đối với độ đo (Lebesgue)
Ví dụ 4.2 Xét không gian xác suất X, ,và hàm Borel f như trong Ví dụ 3.4 Khi đó do | | 0x nên ta chỉ xét các tập Borel A 0, 1 Từ đó có:
Trang 7 :| | =
2
5 Kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên
5.1 Kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Giả sử X, , là không gian xác suất và f X: là một biến ngẫu nhiên (tức là
một hàm Borel trên X) Kí hiệu pX,, p1 là tập hợp các hàm khả tích (Lebesgue) bậc
p trên X
Định nghĩa 5.1 Ta nói biến ngẫu nhiên f có kỳ vọng nếu 1
,
f X Khi đó đặt:
X
f f d
và gọi f là kì vọng của biến ngẫu nhiên f Đồng thời, nếu 2
,
f X thì ta đặt
ar v
và gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên f.
Nhận xét 5.2 Theo [4] có f fdF f và v ra f (f f)2dF f
5.2 Kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên
Ví dụ 5.3 Xét không gian xác suất X, , trong Ví dụ 2.7 và biến ngẫu nhiên:
f x
f là hàm Borel trên X Thật vậy, với mọi a , tập:
1
a
đều thuộc
Tiếp theo, có:
[0,1]
X f d f d
Xét hàm g x 0, x 0, 1 thì g là hàm liên tục và theo [2] có f g trên X nên g khả tích Lebesgue trên X thỏa mãn:
[0,1]f d [0,1]g d0
Với cách tính tương tự, được tích phân: