Bài 7 Phép vị tự A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 25 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tam giác ABC Gọi E và F tương ứng là trung điểm của AB và AC Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứ[.]
Trang 1Bài 7: Phép vị tự
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 25 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC Gọi E và
F tương ứng là trung điểm của AB và AC Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F
Lời giải:
Theo đề bài ta có:
1
2 1
2
Do đó: Phép vị tự tâm A, tỉ số 1
2 biến điểm B thành điểm E và biến điểm C thành điểm F
Hoạt động 2 trang 25 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh nhận xét 4 Lời giải:
Nhận xét 4: (O,k)( ) 1 ( )
O, k
Giả sử: M'=V(O,k)( )M suy ra OM'=k.OM
Suy ra OM 1OM '
k
O, k
M V M '
Giả sử: 1 ( )
O, k
M V M '
= suy ra OM 1OM '
k
= Suy ra OM'=k.OM hay M'=V(O,k)( )M
Trang 2Hoạt động 3 trang 25 SGK Toán lớp 11 Hình học: Để ý rằng: điểm B nằm giữa
hai điểm A và C khi và chỉ khi AB tAC= , 0 < t < 1 Sử dụng ví dụ trên để chứng minh rằng nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’
Lời giải:
Theo ví dụ 2, ta có: A'B'=tA'C'
Mà 0 < t < 1 nên suy ra B’ nằm giữa A’ và C’
Hoạt động 4 trang 26 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC có A’, B’,
C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ (h.1.56)
Lời giải:
Theo đề bài ta có: AA’, BB’, CC’ là các đường trung tuyến của tam giác ABC Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra
1
2 1
2 1
2
= −
= −
= −
Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số k 1
2
= − biến mỗi điểm A, B, C thành A’, B’, C’ nên biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
B Bài tập
Trang 3Bài tập 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC có ba góc
nhọn và H là trực tâm Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số 1
2
Lời giải:
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua 1
H, 2
V
ta có:
1
H,
2
A ' V (A)
= suy ra HA ' 1HA
2
= suy ra A’ là trung điểm của AH
1
H,
2
B' V (B)
= suy ra HB' 1HB
2
= suy ra B’ là trung điểm của BH
1
H,
2
C' V (C)
= suy ra HC' 1HC
2
= suy ra C’ là trung điểm của CH
Vậy ảnh của A, B, C lần lượt là trung điểm A’, B’, C’ của tất các cạnh HA, HB,
HC
Bài tập 2 trang 29 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm tâm vị tự của hai đường
tròn trong các trường hợp sau (h.1.62)
Trang 4Lời giải:
Cách xác định tâm vị tự:
Lấy điểm M thuộc đường tròn (I)
Qua I’ kẻ đường thẳng song song với IM, đường thẳng này cắt đường tròn (I’) tại M’ và M”
Hai đường thẳng MM’ và MM” cắt đường thẳng II’ theo thứ tự O và O’ Khi đó, O và O’ là các tâm vị tự cần tìm
Vì hai đường tròn đã cho có bán kính khác nhau nên chúng có hai tâm vị tự
là O và O’, xác định trong từng trường hợp như sau:
a) Hai đường tròn không cắt nhau
Có hai tâm vị tự là O và O’ tương ứng với các tỉ số vị tự là R '
R và
R ' R
−
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Có hai tâm vị tự là O và O’ tương ứng với các tỉ số vị tự là R '
R và
R ' R
−
c) Hai đường tròn chứa nhau
Trang 5Có hai tâm vị tự là O và O’ tương ứng với các tỉ số vị tự là R '
R và
R ' R
−
Bài tập 3 trang 29 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng khi thực hiện
liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O
Lời giải:
Với mỗi điểm M, gọi:
M’ = V(O,k)(M)
M” = V(O,p)(M’)
Khi đó:
OM ' kOM=
OM '' pOM '=
Suy ra OM '' pOM '= =pkOM
Từ đó suy ra M” = V(O,pk)(M)
Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự V(O,k) và V(O,p) sẽ được phép vị tự V(O,pk)