Toán 11 bài 8 phép đồng dạng

Bài 8 Phép đồng dạng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 30 SGK Toán lớp 11 Hình học Chứng minh nhận xét 2 Lời giải Nhận xét 2 Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k| Phép vị tự[.]

Bài 8: Phép đồng dạng

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 30 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh nhận xét 2 Lời giải:

Nhận xét 2: Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M, N thành 2 điểm M’, N’ sao cho:

'

OM kOM

O

'

N kON





=



O

M N = N −OM =kON kOM− =k(ON−OM)=kMN

Suy ra M N' ' = kMN

Suy ra M’N’ = |k|.MN

Vậy phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh nhận xét 3 Lời giải:

Nhận xét 3: Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số

p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

Phép đồng dạng tỉ số k biến 2 điểm M, N thành 2 điểm M’, N’ sao cho M’N’ = kMN

Phép đồng dạng tỉ số p biến 2 điểm M’, N’ thành 2 điểm M”, N” sao cho M”N” = pM’N’

Suy ra M”N” = pkMN

Vậy nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh tính chất a Lời giải:

Tính chất a) Biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ sao cho:

A’B’ = kAB

B’C’ = kBC

A’C’ = kAC

A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C nên suy ra AB + BC = AC

Do đó kAB + kBC = kAC hay A’B’ + B’C’ = A’C’

Suy ra A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’, C’

Hoạt động 4 trang 31 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh

của A, B qua phép đồng dạng F, tỉ số k Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của

AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’

Lời giải:

Gọi A’, B’, M’ lần lượt là ảnh của A, B, M qua phép đồng dạng F, tỉ số k

Suy ra A’B’= kAB, A’M’ = kAM

M là trung điểm AB

Suy ra AM 1AB

2

Suy ra kAM 1kAB

2

= hay A 'M ' 1A 'B'

2

=

Lại có A, B, M thẳng hàng nên A’, B’, M’ thẳng hàng

Vậy M’ là trung điểm của A’B’

Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hai đường tròn (hai hình

vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đồng dạng với nhau không?

Lời giải:

Hai đường tròn bất kì đồng dạng với nhau

Hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau

Hai hình chữ nhật bất kì chưa chắc đồng dạng với nhau vì tỉ lệ các kích thước tương ứng chưa chắc bằng nhau

B Bài tập

Bài tập 1 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC Xác

định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị

tự tâm B có tỉ số 1

2 và phép đối xứng qua đường trung trực của BC

Lời giải:

1

B,

2

V (A) A '

= suy ra BA ' 1BA

2

=

Suy ra A’ là trung điểm của AB

Tương tự ta có 1

B, 2

V (C) C'

= thì C’ là trung điểm của BC

1

B,

2

V (B) B

=

Do đó 1

B,

2

V ( ABC) A'BC'

Gọi d là đường trung trực của BC Khi đó,

Đd(B) = C

Đd(A’) = A”

Đd(C’) = C’

Nên phép đối xứng qua đường trung trực của BC biến tam giác A’BC’ thành tam giác A”CC’

Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng đã cho là tam giác A”CC’

Bài tập 2 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chữ nhật ABCD,

AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC,

KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau

Lời giải:

Ta có: J, L, K, I là trung điểm của CI, CK, CB, CA nên

CI=2CJ suy ra V(C, 2)(J) = I

CK=2CL suy ra V(C, 2)(L) = K

CB=2CK suy ra V(C, 2)(K) = B

CA=2CI suy ra V(C, 2)(I) = A

Do đó V(C, 2)(JLKI) = IKBA

Lại có, DI(I) = I, DI(K) = H

DI(B) = D, DI(A) = C

Nên DI(IKBA) = IHDC

Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC

Vậy hai hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng

Cách khác:

I là trung điểm AC; BD; HK

Suy ra ĐI(H) = K ; ĐI(D) = B ; ĐI (C) = A

Suy ra hình thang IKBA đối xứng với hình thang IHDC qua I

J; L; K; I lần lượt là trung điểm của CI; CK; CB; CA

1

2

= suy ra 1

C, 2

 

 

=

1

2

= suy ra 1

C,

 

 

=

2

= suy ra 1

C, 2

 

 

=

1

2

= suy ra 1

C, 2

 

 

=

Suy ra hình thang JLKI là ảnh của hình thang IKBA qua phép vị tự tâm C tỉ số 1

2

Suy ra hình thang JLKI là ảnh của hình thang IHDC qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số 1

2

Vậy IJKI và IHDC đồng dạng

Bài tập 3 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho

điểm I(1; 1) và đường trong tâm I bán kính 2 Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45o và phép vị tự tâm O, tỉ số 2

Lời giải:

Gọi (I1;R1)=Q(0;45)(I;R) (Phép quay đường tròn tâm I , bán kính R qua tâm O một góc 45o)

Suy ra 1 (0;45)

1

I Q (I)

R R 2



=





= =



Tìm I : I1 1 =Q(0;45)(I) suy ra:

2 2 1

OI =OI= 1 + =1 2

(OI1; OI) = 45o

Suy ra I1Oy suy ra I (0; 2)1

Gọi I2(x"; y")=V( )0; 2 ( )I1 ta có:

OI = 2OI x" 2.0 0

y" 2 2 2



 



Suy ra I”(0; 2)

Do đó phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến đường tròn tâm I1, bán kính R thành đường tròn tâm I2(0; 2), bán kính R2 = 2R =2 2

Vậy phương trình đường tròn tâm I2, bán kính R2 là x2 + (y – 2)2 = 8

Bài tập 4 trang 33 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC vuông tại A,

AH là đường cao kẻ từ A Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC

Lời giải:

Gọi d là đường phân giác của góc B

Gọi A’ = Đd(H), C’ = Đd(A)

Dễ thấy A'AB,C'BC

Ta có Đd biến HBA thành A'BC'

Suy ra HBA = A BC' ' nên góc A’ = H = 90o và C'A'∥CA

Theo định lý Ta-let có BA BC A k

' ' ' '

C AC

BA =BC = A C = AH =

BA=kB 'A suy ra V(B; k)(A’) = A

BC=kBC' suy ra V(B; k)(C’) = C

Mà V(B; k)(B) = B nên V( B;k )(A BC'' )= ABC

Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép Đd và V(B; k) sẽ biến HBA thành ABC