Tuyển tập các dạng bài tập hàm số lượng giác phương trình lượng giác toán 11

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1 Lý thuyết a) Phương trình sin x = m Trường hợp 1 |m| > 1 Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2 m 1 Phương trình có nghiệm Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin c[.]

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

1 Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1 Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 sin x 1 x k2 k

2



 sin x 1 x k2 k

2



       

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1 Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m  1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

tan x   m tan x  tan        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 tan x  m x arctan m  k kd) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x  k k 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 

cot x   m cot x  cot        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x

        b) 3cos(x+1) = 1

 

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x 15    k60 ; k  

d) Điều kiện xác định: sin x 0

48 2

k19

12 3

kkx

36 3

k7

0cos3x 1

d) tanx.tan2x = 1

2cos x 3 Loai

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

cot x 1 0sin 3x 0

k ;k15



k2 ;k15



8k2 ;k15

4 2 , kkx



   

Câu 7 Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

72 3 k11

72 3

k11



x k , k14



x k2 , k4



x k , k4



B 418



C 478



D 4718



Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cách tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

1 Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1

Dạng 2 Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0)

b

na

i  

Bước 2: Đánh giá  1 sin x      1 x

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2sin x 2cos x

ysin x cos x 3

Ta có: 2sin x 2cos xy



3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1

A min y = -3, max y = 3 B min y = -1, max y = 1

C min y = -1, max y=3 D min y = -3, max y = 1

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 3cos 3x

A min y = -2, max y = 4 B min y = 2, max y = 4

C min y = -2, max y = 3 D min y = -1, max y = 4

Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy cos 2x2 1

A max y = 1, min y = 0 B max y = 2, min y = 0

C max y = 1, min y = -1 D max y = 2, min y = 1

Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2cos x 3

A min y = 2, max y = 5 B min y = 1, max y = 4

C min y = 1,max y = 5 D min y = 1, max y = 3

Câu 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x3

A max y 5, min y = 1 B max y 5, min y2 5

C max y 5, min y = 2 D max y 5, min y = 3

Câu 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 2 2 sin 2x 2

A min y 3 2 2,max y 3 2 3 B

min y 2 2 2,max y 3 2 3

C min y 3 2 2,max y 3 2 3 D

min y 3 2 2,max y 3 3 3

Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos23x

A min y = 1, max y = 2 B min y = 1, max y = 3

C min y = 2, max y = 3 D min y = -1, max y = 3 Câu 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x – 4sinx + 5

A max y = 9, min y = 2 B max y = 10, min y = 2

C max y = 6, min y = 1 D max y = 5, min y = 1 Câu 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A max y = 3, min y = -7 B max y = -1, min y = -5

C max y = 4, min y = -1 D max y = 3, min y = -5 Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A max y = 6, min y = -2 B max y = 4, min y = -4

C max y = 6, min y = -4 D max y = 6, min y = -1 Câu 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy 3 cos xsin x4

A min y = 2, max y = 4 B min y = 2, max y = 6

C min y = 4, max y = 6 D min y = 2, max y = 8 Câu 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x

A min y = -5, max y = 5 B min y = -4, max y = 4

C min y = -3, max y = 5 D min y = -6, max y = 6 Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2x + 3sin2x – 4cos2x

Câu 15 Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số cos x 2sin x 3

y2cos x sin x 4



  Giá trị của M+m là:

Lời giải

a) Đặt t = sinx với 1 t 1  

Ta được phương trình: 2t2 – 5t + 2 = 0

22t 4t t 2 0

       2t 1 t    2   0

 

1t2

Khi đó sin x 1

2

k5

2

1 2sin x 4sin x 3 0

22sin x 4sin x 2 0

Đặt t = cosx với 1 t 1  

Ta được phương trình: 2t2 – t + 1 = 0 (*)

Ta có:  2

1 4.2.1 7 0

       Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm



Ta có: tanx + 5cotx = 6 5

tan x 6tan x

Đặt t = tanx Ta được phương trình: t 5 6

t

  (Điều kiện: t0) 2

 (Vì  1 sin x 1;sin x 0 nên t 1 hoặc t 1)

Ta được phương trình: 3t2

+ t – 2 = 0

 

t 12

t Loai3

2



  là:

A x3



x2



x6

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi,

công thức nhân ba

- Công thức nhân đôi:

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

x arcsin k2 k

41

cos x 2sin x cos x 0

Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = 0 (Vô lí) (Loại)

Trường hợp 2: cos x 0 x k ;k

2



     Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

x k ; x ;k

14 7

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + sin2x = sinx b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải

a) sin3x + sin2x = sinx

sin3x sin x sin 2x 0

k

2 2xk

2





2 1 cos 2a sin a

Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x

1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x

Ta có: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 1 cos8x

10 5k



x8



x 4

24 2

5 kx

Câu 6 Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm

của phương trình nào sau đây?

A sinx = cos x B cosx = 0 C cos8x = cos6x D sin8x =

D k

;k 4

Câu 12 Các nghiệm của phương trình 1

cos x cos5x cos6x



x 4



kx

33 kkx35

;k8

k3

Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

2 2

csin x cos cos x sin

2 2

csin x sin cos x cos

os x

b



  Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

* Phương trình có nghiệm khi

sin x cos x 2 sin x 2 cos x

48 2 (k )

5 kx

Ta thấy: 12 + 22 < 32 Vậy phương trình trên vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 3sin3x  3 cos9x 1 4sin 3x   3b) cos3xsin 5x 3(cos5xsin 3x)

1sin 9x

18 9

, k

7 k2x

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k2

cos3x sin5x 3 cos5x 3sin3x

  thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm

48 5

k5

48 4

k5

48 4 k5

48 4 k5

Câu 4 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos x sin 2x2   2  sin x2



C 218



D 11 4

6 3

kkx

6 3kkx

Câu 8 Tổng các nghiệm thuộc khoảng    ;  của phương trình

sin x  cos x  2 2 sin x cos x là:

4 5

kkx

4 3 kkx

4 2 kkx

m 2

Câu 12 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương

trình (m+1)sin2x – sin2x + cos2x = 0 có nghiệm?

Câu 15 Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y 3 sin 3xcos3x2 Giá trị của M, m là:

- Phương pháp giải:

 

 

f xy

2



   

- Ví dụ minh họa:

a) Điều kiện xác định: sin xcos x0sin xcos x (*)

+ Trường hợp 1: cosx = 0 Ta có sin2

x + cos2x = 1 sin x 12  sin x 1 Hiển nhiên sin xcos x

+ Trường hợp 2: cos x0 Chia cả hai vế cho cosx

(*) sin x

1cos x

6 3

67

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số y  sin x2  2sin x  m xác định trên R

Câu 8 Hàm số nào dưới đây có tập xác định là R?

A y = sinx + cot5x B tan 3x2

ysin x 1



 xác định trên R

A m       ; 1   1;  B m       ; 1   1; 

f(-Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

* Đối với hàm số lượng giác:

* Định nghĩa:

- Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số

T0 sao cho với mọi x  D ta có (xT)D; (xT)Dvà f(x + T) = f(x)

- Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f

* Đối với hàm số lượng giác:

Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hoàn với chu kì 

2 Các dạng bài tập Dạng 1 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

- Nếu D là tập đối xứng (tức là     x D x D), ta thực hiện tiếp bước 2

- Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là   x D mà  x D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

Ta có: f(-x) = sin(-x) + tan(-2x) = - sinx – tan2x = - (sinx + tan2x) = -f(x)

Vậy y = sinx + tan2x là hàm số lẻ

b) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng Do đó   x D thì   x D

Ta có: f(-x) = cos(-3x) + sin2(-2x) = cos3x + (-sin2x)2 = cos3x + sin22x = f(x)

Vậy y = cos3x + sin22x là hàm số chẵn

c) Điều kiện xác định: cos 2x0 2x k

Ta có: f(-x) = cos(-2x) cos3(-x) = cos2xcos3x = f(x)



 sin x tan 2x  

f xcot x



Vậy sin x tan 2x





+ Hàm số y = cos(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2

Ta

hoàn với chu kì T

+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số)

tuần hoàn với chu kì T

+ Nếu hàm số y = f1(x); y = f2(x);… y = fn(x) tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1; T2;

… Tn thì hàm số y  f x1   f x2    f xn  tuần hoàn với chu kì T là bội chung

y  sin 2x   3 5 1 cos 4x 6

52

Vậy hàm số y = sin2(2x-3) + 5 tuần hoàn với chu kì

2



Ví dụ 2: Tìm chu kì (nếu có) của các hàm số:

Lời giải

a) Hàm số y = sin3x tuần hoàn với chu kì 2

3



Vậy hàm số y sin3x tan 2x

, do đó T 2

sin 6x sin 2x2

Vậy hàm số y = sin4x.cos2x tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của

3



và

, do đó T 

d) Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số y  cos   2x tuần hoàn với chu kì 2

22

  

Giả sử T là bội chung nhỏ nhất của 2 và 2  Khi đó tồn tại m,n ;m,n0 sao

Do đó không tồn tại bội chung nhỏ nhất của 2 và 2 

Vậy hàm số y  sin x  cos   2x không tuần hoàn

Câu 2 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y = sinx B y = cos2x C y = cotx D y = tan3x

Câu 3 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y = sin2x + cosx B y = sinx – sin2x C y = cot2x.cosx D y = sinx.cos2x

Câu 4 Cho hàm số sin x

ycos 2x 3



 Khẳng định nào sau đây là đúng

A Hàm số là hàm số lẻ B Hàm số là hàm số chẵn

C Hàm số không chẵn không lẻ D Hàm số có tập xác định D = R\{3} Câu 5 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?



B sin x xcos 2x 2

Câu 14 Trong các hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn:

C ysin xsin(x 2) D y3sin 2x 2

Câu 15 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

Trường hợp 2: m1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 sin x 1 x k2 k

2



 sin x 1 x k2 k

2



       b) Phương trình cos x = m Trường hợp 1: |m| > 1 Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m1 Phương trình có nghiệm

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

2



     

 cos x  1 x k2 k

 cos x     1 x k2 k

c) Phương trình: tan x = m Điều kiện: x k k 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 tan x  m x arctan m  k k

d) Phương trình: cot x = m Điều kiện: x  k k 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 cot x m cot xcot      x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 cot x  m x arccot m  k k

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng

máy tính bỏ túi với các phím sin-1; cos-1; tan-1

Bước 1 Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

- Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2 Tìm số đo góc Tìm góc  khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =

Tương tự đối với cos và tan

Chú ý: Muốn tìm góc  khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)= Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình

3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

sin x2

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x 2 k2 ; x k2 ;k

    (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k ;k

     (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k ;k

8 2

   

4 Bài tập tự luyện Câu 1 Phương trình lượng giác x

Công thức tính giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

b

na

i  

Bước 2: Đánh giá  1 sin x      1 x

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b

b) Dạng y = asin2[u(x)] + b ; y = a|sin[u(x)]| + b;

Dạng y = acos2[u(x)] + b; y = a|cos[u(x)]| + b (với a khác 0)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2

Lời giải

2 2;a

ao

b

c s 

bs

b

na

b

c s 

bs

b

na

i  

 (Bấm máy tính để tìm góc )

Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có:  a2b2  c y a2b2cHàm số có giá trị nhỏ nhất là  a2b2c và giá trị lớn nhất là a2b2c

3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) sin 2x 3 cos 2x 2b) cosx – sinx = 1

2sin 2x

4 Bài tập tự luyện Câu 1 Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A 3sinx + cosx = 3 B 3 sin xcos x 3

C 3 sin 2xcos 2x2 D 3sinx – 4cosx = 5 Câu 2 Phương trình sin x 3 cos x2 có tập nghiệm là

A 5

k ;k6

  

k2 ;k6

  

C k2 ;k6

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác

1 Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giác k2 ;k

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc 2

m

 (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại)

2 Công thức:

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- Tìm ra các điểm cách đều nhau Tìm khoảng cách giữa chúng là 

- Công thức biểu diễn các điểm đó là x   k k  với  là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung 0

- Điểm còn lại cách M1 một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ

Bước 2: Biểu điễn x k k 

2



    trên đường tròn lượng giác

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung

2



- Điểm còn lại cách N1 một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc

2



Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: x 0 k k 

    trên đường tròn lượng giác

- Xác định điểm M1 biểu diễn cung

6



- Điểm còn lại cách M1 một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ

Bước 2: Biểu diễn 2  

3



    trên đường tròn lượng giác

- Xác định điểm N1 biểu diễn cung 2

3



- Điểm còn lại cách N1 một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N2 trên hình vẽ

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: x k k 