CONG THUC NHI THUC NIUTON

TIEÁT THEÅ NGHIEÄM MOÂN TOAÙN GIAÛI TÍCH LÔÙP 12 GV NGUYEÃN QUOÁC HUØNG Chaøo möøng quùy thaày coâ ñaõ veà döï giôø thaêm lôùp chuùng toâi CHÖÔNG IV ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP KIEÅM TRA BAØI CUÕ Ñeå chöùng min[.]

GIẢI TÍCH LỚP 12 GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG

dự giờ thăm lớp chúng tôi.

CHƯƠNG IV: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

KIỂM TRA BÀI CŨ

Để chứng minh một mệnh đề (*) đúng với mọi số tự nhiên dương n, chúng ta sử dụng phương pháp nào ? Hãy nêu các bước chứnh minh bằng phương pháp đó?

Gọi số có 3 chữ số là:

Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu

số tự nhiên chẵn có 3 chữ số

Vị trí c có 3 cách chọn {0; 2; 4}

Vị trí a có 5 cách chọn ( a phải khác 0 )

Vị trí b có 6 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân có: 5.6.3=90 (số)

Vì số tự nhiên chẵn và các chữ số không nhất thiết khác nhau nên:

abc

3.Chỉnh hợp

Bài mới

Vd:Từ các chữ số 1; 2; 3 Hãy lập các số tự nhiên gồm hai chữ số

1

2 3

12 13

2

1 3

21 23

3

1 2

31 32 Dựa vào sơ đồ trên ta được tất cả 6 số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán a.Định nghĩa:

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k ( ) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.1 k n  

b.Số chỉnh hợp chập k của n phần tử

Định lí:Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là thì ta có:k

n

A

( 1) ( 1)

k n

A n n n k 

1 2 3 k

a a a a

Chứng minh Gọi bộ sắp thứ tự của k phần tử là:

Bước 1: Chọn 1 phần tử ở vị trí Có n khả năng

Bước 2:Trừ 1phần tử đã chọn, còn n-1 phần tử có thể chọn để đặt ở

vị trí Có n-1 khả năng

Bước k:Trừ k-1 phần tử đã chọn, còn n-(k-1)=n-k+1 phần tử để chọn

ở vị trí Có n-k+1 khả năng

Vậy theo quy tắc nhân, ta có: n(n-1) .(n-k+1) chỉnh hợp chập k của

n phần tử

1

a

2

a

k

a

Vd:Tính số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử: 1; 2; 3.

Giải

4

4 4.3.2.1 24

2

3 3(3 2 1) 3.2 6

Vd: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh vào 4 ghế xếp thành một dãy Giải

Cách 1: Số cách sắp xếp chính bằng số chỉnh hợp chập 4 của 4

phần tử.Vậy có cách

Cách 2:Số cách sắp xếp chính bằng số hoán vị của 4 phần tử Vậy có : cách

4 4! 24

P  

Cách 3: Sử dụng quy tắc nhân

Chú ý:

1) A n nn k  ( 1) (  n k    1)

! ( )!

k n

n A

n k



n n

A 

( 1) ( 1)( ) 2.1

( ) 2.1

n k



2)Quy ước: 0! =1

!

n

!

n

n n 

4.Tổ hợp:

Vd: Có 5 hoa Hồng khác nhau Hãy tìm số cách chọn 2 hoa Hồng để tặng cô giáo nhân ngày 8/3

Giải Để tiện ta gọi các hoa Hồng là: A; B; C; D; E

Ta có thể chọn như sau:

{A;B}; {A;C}; {A;D}; {A;E}

{B;C}; {B;D}; {B;E}

{C;D}; {C;E}

{D;E}

Vậy có cả thảy 10 cách chọn

a.Định nghĩa

a.Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k ( )phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.0 k n 

!

k n

n C

k n k





k n

C

b.Số các tổ hợp chập k của n phần tử

Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là thì ta có:

Chứng minh Cho X là một tập hợp có n phần tử Từ mỗi tập con Y gồm k

phần tử của tập X ta có thể lập được k! hoán vị khác nhau của các

phần tử của Y

Mỗi hoán vị đó chính là một chỉnh hợp n chập k của X

Vì vậy số chỉnh hợp n chập k chính là tích của số tổ hợp n

chập k nhân với k! Hay A : n k  C kn k !

!

k

k n n

A C

k

!( )!

n

k n k





Vd:Một lớp học có 30 học sinh được phân phối 3 vé xem bóng đá Hỏi có bao nhiêu cách phân phối, biết rằng mỗi em chỉ được nhiều nhất một vé?

Giải Mỗi cách phân phối là một tổ hợp 30 chập 3.Vậy số cách phân

phối là: 3

30

C 

Vd:Một lục giác lồi có bao nhiêu đường chéo

Giải Một lục giác có 6 đỉnh

Qua mỗi cặp đỉnh đó có thể là một đường chéo hoặc là một cạnh của hình lục giác lồi.Do đó số đường chéo là:

2

C  

30.29.28.27!

3.2.1.27! 

30!

3!27! 

30.29.28

4060 3.2.1 

6.5.4!

6 2.4!  

6!

6

6.5

6 9

c) Các hệ thức giữa các số

! ( )! !

n

n k k



 ( 1)!

( 1)!( )!

n

k n k



 

k n

C



1

1 1

2) Cn k Cn k

   

1

1 1

2)C n k C n k C n k

   

1) k n k



k n C

( 1)!

!( 1)!

n

k n k





 

! ( )![ ( )]!

n

n k n  n k

1) n k

n

C 



k n

C



!

!( )!

n

k n k





Chứng minh

( 1)!

[ ( )]

!( )!

n

k n k





!

!( )!

n

k n k





( 1)!

!( )!

n k

k n k







( 1)!( )

!( )!

k n k





Tính soá sau:

CAÂU 1

2 5

A

 a)10

 b) 20

 c) 60

 d)120

Tính số sau:

5

C

 a)5

 b) 20

 c) 10

 d)Kết quả khác

 a) 60

 b) 3125

 c) 10

 d)Kết quả khác

Từ các chữ số:1; 2; 3; 4; 5 Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?

CÂU 3

Đây là cách sắp thứ tự

3 phần tử của tập 5 phần tử Vậy số cách sắp xếp là:

3 5

5!

60 (5 3)!



Giải thích

 a) 24

 b) 2193360

 c) 1096680

 d) 91390

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em vào ban trật tự.Hỏi có bao

nhiêu cách chọn,nếu số nam hoặc nữ trong ban là tuỳ ý.

CÂU 4

Đây là phép chọn các tập con gồm 4 phần tử , từ tập

40 phần tử Vậy số cách chọn là:

GIẢI THÍCH

4

C 

BÀI TẬP

Phải có 3

nam và 1 nữ

Phải có 2 nam và 2 nữ

Phải có 1 nam và 3 nữ

Phải có nam và nữ

.

C C

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em vào ban trật tự.Hỏi có bao

nhiêu cách chọn,nếu:

Đs:

=34500

Đs:

=11375 Đs:77375

Đs:

=31500

25. 15

25. 15

C C

2 2

25. 15

C C

• Chân thành cám ơn qúy thầy cô đã về dự giờ thăm lớp chúng tôi.

nhiều thành qủa tốt đẹp trong sự nghiệp

•

•