Bài toán: Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu.. Bài toán: Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu S..[r]
Trang 11 MẶT CẦU 2
1.1 Lý thuyết 2
1.1.1 Phương trình mặt cầu 2
1.1.2 Điều kiện tiếp xúc 2
1.2 Một số bài toán 3
1.2.1 Một số bài toán lập phương trình mặt cầu 3
Bài toán: Điều kiện để phương trình x2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình mặt cầu 3
Bài toán: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính 5
Bài toán: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng 6
Bài toán: Lập phương trình mặt cầu có bán kính R và tiếp xúc với (P ) tại điểm M 8
Bài toán: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng 9
Bài toán: Lập phương trình mặt cầu tâm qua bốn điểm 12
1.2.2 Một số bài toán khác về lập phương trình mặt cầu 13
1.2.3 Một số bài toán liên quan đến mặt cầu 14
Bài toán: Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu 14
Bài toán: Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) 15
Trang 2MẶT CẦU
1.1 Lý thuyết.
1.1.1 Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
* Dạng khai triển:
x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với R = √
a2+ b2+ c2− d
* Dạng khác:
x2+ y2+ z2 + Ax + By + Cz + D = 0 với
a = A
−2; b =
B
−2; c =
C
−2; d = D và
R =√
a2+ b2+ c2− d 1.1.2 Điều kiện tiếp xúc
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Khi đó
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) thì R = |c|
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz) thì R = |b|
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) thì R = |a|
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với mp(P ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì
R = d(I, (P )) = |Aa + Bb + Cc + D|
√
A2+ B2+ C2
Trang 3• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với trục Ox thì R =√b2+ c2
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với trục Oy thì R =√a2+ c2
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với trục Oz thì R =√a2+ b2
• Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng ∆ thì
R = d(I, ∆) =
h−−→
IM0, −→ui
|−→u | Với
+ M0 là một điểm thuộc ∆
+ −→u là véctơ chỉ phương của ∆.
1.2 Một số bài toán
1.2.1 Một số bài toán lập phương trình mặt cầu
Bài toán 1.2.1 Xác định điều kiện để phương trình
x2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0
là phương trình mặt cầu
Lời giải
Từ phương trình ta suy ra
a = A
−2; b =
B
−2; c =
C
−2; d = D Điều kiện để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu là
a2 + b2+ c2− d > 0 Khi đó mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R =√
a2 + b2 + c2 − d
Bài toán 1.2.2 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình mặt cầu Nếu là phương trình mặt cầu hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu
a) x2+ y2+ z2− 2x − 2y − 2z + 2 = 0 b) x2+ y2+ z2− 2x − 4y + 9 = 0 c) 2x2+ 2y2+ 2z2− 4x + 6y − 8z + 4 = 0
Lời giải
a) x2+ y2+ z2− 2x − 2y − 2z + 2 = 0
Ta có
a = −2
−2 = 1; b =
−2
−2 = 1; c =
−2
−2 = 1; d = 2 Xét
a2+ b2+ c2 − d = 12+ 12+ 12− 2 = 1 > 0 Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(1; 1; 1) và bán R = 1
Trang 4b) x2+ y2+ z2− 2x − 4y + 9 = 0
Ta có
a = −2
−2 = 1; b =
−4
−2 = 2; c =
0
−2 = 0; d = 9 Xét
a2+ b2+ c2− d = 12+ 22+ 02− 9 = −4 < 0 Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu
c) 2x2+ 2y2+ 2z2− 4x + 6y − 8z + 4 = 0
⇔ x2 + y2+ z2− 2x + 3y − 4z + 2 = 0
Ta có
a = −2
−2 = 1; b =
3
−2 = −
3
2; c =
−4
−2 = 2; d = 2 Xét
a2+ b2+ c2− d = 12+
−3 2
2
+ 22− 2 = 21
4 > 0 Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I
1; −3
2; 2
và bán R =
√ 21 2
* Bài tập tương tự
Bài 1 Phương trình nào sau đây, phương trình nào là phương trình mặt cầu
a) −x2− y2− z2− x − y + 6z − 7 = 0 b) 2x2+ y2+ z2− 2x − 2y − 2 = 0
c) x2+ y2− z2 + 2x − y + 1 = 0 d) 3x2+ 3y2+ 3z2− 2x = 0
e) 2x2+ 2y2 = (x + y)2− z2+ 2x − 1 f) (x + y)2 = 2xy − z2+ 1
g) x2+ y2 + z2− 4x + 6y − 2z − 22 = 0 h) x2 + y2+ z2− 8x + 2y + 1 = 0
i) x2+ y2+ z2− 2x − 2y − 2z = 0 j) 3x2+ 3y2+ 3z2− 6x + 9y − 12z + 6 = 0 Bài 2 Xác định tâm và bán kính các mặt cầu sau
a) x2+ y2 + z2− 8x + 2y + 1 = 0
b) 3x2+ 3y2+ 3z2 + 6x − 3y + 15z − 2 = 0
c) 9x2+ 9y2+ 9z2− 6x + 18y + 1 = 0
d) (x − 3)2+ (y + 2)2+ (z + 1)2 = 83
7 e) (x − 1)2+ y2+ (z − 3)2 = 1369
107 f) x2+ (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9
g) (x + 2)2+ (y + 4)2+ z2 = 81
h) x2+ y2 + z2− 6x − 2y + 4z − 35 = 0
i) x2+ y2+ z2− 6x − 6y + 1 = 0
j) 4x2+ 4y2+ 4z2+ 28x + 20y + 12z − 72 = 0
Trang 5Bài 3 Xác định tâm và bán kính các mặt cầu sau.
a) 5x2+ 5y2+ 5z2− 10x + 30y + 20z − 110 = 0
b) x2+ y2 + z2− 6x + 2y − 16z − 26 = 0
c) 2x2+ 2y2+ 2z2+ 8x − 4y − 12z − 100 = 0
Bài toán 1.2.3 Lập phương trình mặt cầu biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu
Lời giải
Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình
(S) : (x − a)2 + (y − b)2+ (z − c)2 = R2
Bài toán 1.2.4 Lập phương trình mặt cầu biết
a) tâm I(1; 2; −3) và bán kính R = 2 b) Tâm I(−1; 2; 3) và đi qua A(−2; 5; 5) c) Có đường kính AB với A(9; 1; 3); B(1; 5; 5)
Lời giải
a)Phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
( tâm I(1; 2; −3) bán kính R = 2 ⇔ (x − 1)2+ (y − 2)2+ (z + 3)2 = 4 b) Tâm I(−1; 2; 3) và đi qua A(−2; 5; 5)
Ta có −→
IA = (−1; 3; 2)
Bán kính mặt cầu là
R = IA =√
12+ 32+ 22 =√
14 Phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
(
tâm I(−1; 2; 3)
bán kính R =√
14 ⇔ (x+1)2+(y−2)2+(z−3)2 = 14 c) Có đường kính AB với A(9; 1; 3); B(1; 5; 5)
Gọi I là trung điểm AB Khi đó I(5; 3; 4)
Ta có −→
AB = (−8; 4; 2) Suy ra
AB =p(−8)2+ 42+ 22
Bán kính mặt cầu là
R = AB
2 =
√ 21
Trang 6Phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
( tâm I(5; 3; 4) bán kính R =√
21 ⇔ (x − 5)2+ (y − 3)2+ (z − 4)2 = 21
Bài toán 1.2.5 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng
(P ) : Ax + By + Cz + D = 0 Lời giải
Do mặt cầu tiếp xúc với (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 nên
R = d(I, (P )) = |Aa + Bb + Cc + D|
√
A2+ B2 + C2
Khi đó mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
Bài toán 1.2.6 Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 4; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)
Lời giải
Do mặt cầu tâm I(3; 4; 1) tiếp xúc với (Oxy) nên bán kinh R = 1
Phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
( tâm I(3; 4; 1) bán kính R = 1 ⇔ (x − 3)2+ (y − 4)2+ (z − 1)2 = 1
Bài toán 1.2.7 Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 4; −7) tiếp xúc với mặt phẳng
(P ) : 6x + 6y − 7z + 42 = 0
Lời giải
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên
R = d(I, (P )) = |6.1 + 6.4 − 7.(−7) + 42|
p62+ 62+ (−7)2 = 11 Phương trình mặt cầu cần tìm là
S) :
( tâm I(1; 4; −7) bán kính R = 11 ⇔ (x − 1)2+ (y − 4)2+ (z + 7)2 = 121
Trang 7Bài toán 1.2.8 Cho bốn điểm A(1; 0; 3), B(0; −2; −1), C(4; −1; −2), D(−1; −1; −3) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mp(BCD)
Lời giải
* Cách 1:
Để lập phương trình mặt cầu tâm A(1; 0; 3) tiếp xúc (BCD) ta cần xác định bán kính mặt cầu
Ta thực hiện các bước sau
Kẻ AH ⊥ (BCD) với H ∈ (BCD) Khi đó
R = AH = 3VABCD
S∆BCD
- Tính S∆BCD = 1
2
h−→
BC,−−→
BD
i : Mà
−→
BC = (4; 1; −1);−−→
BD = (−1; 1; −2)
−→
BA = (1; 2; 4) Suy ra
h−→
BC,−−→
BD
i
= (−1; 9; 5) ⇒
h−→
BC,−−→
BD
i =√ 107 Vậy
S∆BCD = 1
2
h−→
BC,−→
BDi =
√ 107 2
- Tính VABCD = 1
6
h−→
BC,−−→
BDi.−→
BA
:
h−→
BC,−−→
BDi.−→
BA
= 37 Nên
VABCD = 37
6
Do đó
R = AH = 3VABCD
S∆BCD =
37
√ 107 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
tâm I(1; 0; 3) bán kính R = √37
107
⇔ (x − 1)2+ y2+ (z − 3)2 = 1369
107
* Cách 2:
- Lập phương trình mặt phẳng (BCD):
Ta có −→
BC = (4; 1; −1);−−→
BD = (−1; 1; −2) Suy ra
h−→
BC,−−→
BDi= (−1; 9; 5)
Trang 8Do đó
(BCD) :(Qua B(0; −2; 1)
vtpt −→n =h−→
BC,−−→
BDi = (−1; 9; 5) ⇔ −x + 9y + 5z + 23 = 0
- Tính bán kính mặt cầu:
Do mặt cầu tiếp xúc với (BCD) nên
R = d(A, (BCD)) = | − 1 + 9.0 + 5.3 + 23|
√
12+ 92 + 52 = √37
107 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) :
tâm I(1; 0; 3) bán kính R = √37
107
⇔ (x − 1)2+ y2+ (z − 3)2 = 1369
107
Bài toán 1.2.9 Lập phương trình mặt cầu có bán kính R và tiếp xúc với
(P ) : Ax + By + Cz + D = 0 tại điểm M (x0; y0; z0)
Lời giải
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) tại M nên tâm mặt cầu thuộc đường thẳng
∆ :
( qua M (x0; y0; z0)
( qua M (x0; y0; z0) vtcp −→u ≡ −n→
P = (A; B; C; D)
⇔
x = x0+ At
y = y0+ Bt
z = z0 + Ct Khi đó tâm mặt cầu cần tìm có dạng
I(x0+ At; y0 + Bt; z0+ Ct)
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại M nên
IM = R ⇔ IM2 = R2 Giải phương trình trên ta được t, thế t và phương trình đường thẳng ∆ ta được tọa độ
I(a; b; c) Vậy phương trình cần tìm có tâm là I(a; b; c) bán kính R là
(S) : (x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2 = R2
Trang 9Bài toán 1.2.10 Lập phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tiếp xúc với
(P ) : 2x + 2y + z + 3 = 0 tại điểm M (−3; 1; 1)
Lời giải
Do mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tại M nên tâm mặt cầu thuộc đường thẳng qua M vuông góc (P)
Đường thẳng ∆ qua tâm mặt cầu vuông góc với mặt phẳng (P) là
∆ :
( qua M (−3; 1; 1) vtcp −→u ≡ −n→
P = (2; 2; 1) ⇔
x = −3 + 2t
y = 1 + 2t
z = 1 + t
, t ∈ R
Tâm mặt cầu có dạng I(−3 + 2t; 1 + 2t; 1 + t) ⇒−→
M I = (2t; 2t; t)
Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) tại M nên
M I2 = R2 ⇔ (2t)2+ (2t)2 + t2 = 32
⇔ 9t2 = 9
⇔ t = ±1
* Với t = 1, suy ra
(S1) :
( tâm I(−1; 3; 2) bán kính R = 9 ⇔ (x + 1)2+ (y − 3)2 + (z − 2)2 = 9
* Với t = −1, suy ra
(S2) :
( tâm I(−5; −1; 0) bán kính R = 9 ⇔ (x + 5)2+ (y + 1)2+ z2 = 9
Bài toán 1.2.11 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với đường thẳng
(∆) : x − x0
a0 = y − y0
b0 = z − z0
c0
Lời giải
- Ta có đường thẳng ∆ qua điểm M0 và có véctơ chỉ phương −→u
- Do mặt cầu tiếp xúc ∆ nên
R = d(I, ∆) = |[−−→IM0,−→u ]|
|−→u | Khi đó mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình (S) : (x − a)2 + (y − b)2+ (z − c)2 = R2
Trang 10Bài toán 1.2.12 Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 4; 1) tiếp xúc với trục Oz
Lời giải
Do mặt cầu tâm I(3; 4; 1) tiếp xúc trục Oz nên bán kính mặt cầu bằng
R =√
32+ 42 = 5 Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 4; 1) tiếp xúc với trục Oz là
(S) :
( tâm I(3; 4; 1) bán kính R = 5 ⇔ (x − 3)2+ (y − 4)2+ (z − 1)2 = 25
Bài toán 1.2.13 Cho A(1; 0; −5), B(−7; 2; 7) và I(−1; 3; 2)
a) Tính trung điểm M của đoạn thẳng AB Từ đó suy ra tam giác IAB cân tại I
b) Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB
Lời giải
a) Ta có M (−3; 1; 1)
Mà −→
M I = (2; 2; 1) ⇒ M I = 3
−→
AB = (−8; 2; 12)
M I.−→
AB = −16 + 4 + 12 = 0 Suy ra
−→
M I ⊥−→
AB ⇔ M I ⊥ AB Hay
∆IAB cân tại I b) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB là
(S) :
(
tâm I(−1; 3; 2)
tiếp xúc AB ⇔
( tâm I(−1; 3; 2) bán kính R = IM = 3 ⇔ (x+1)2+(y−3)2+(z−2)2 = 9
Bài toán 1.2.14 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; 1) tiếp xúc với đường thẳng
(∆) : x + 2
y − 1
z + 1
−2
Trang 11Lời giải.
Ta có đường thẳng qua M0(−2; 1; −1) và vtcp −→u = (1; 2; −2)
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với ∆ nên
R = d(I, ∆) =
h−−→
M0I, −→ui
|−→u |
Mà −−→
M0I = (4; 2; 2), −→u = (1; 2; −2) ⇒ |−→u | = 3 Suy ra
h−−→
M0I, −→ui
= (−8; 10; 6) ⇒
h−−→
M0I, −→ui
= 10√
2
Do đó
R = d(I, ∆) =
h−−→
M0I, −→ui
|−→u | =
10√ 2 3 Phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với đường thẳng ∆ là
(S) :
tâm I(2; 3; 1) bán kính R = 10
√ 2 3
⇔ (x − 2)2+ (y − 3)2+ (z + 1)2 = 200
9
Bài toán 1.2.15 Cho ∆ABC với A(−3; 2; 0), B(0; 1; −2), C(3; −2; −1) Lập phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB
Lời giải
* Cách 1:
Ta có −→
AB = (3; −1; −2) ⇒ AB =√
14
−→
AC = (6; −4; −1)
⇒h−→AC,−→
ABi= (7; 9; 6) ⇒
h−→
AC,−→
ABi =√ 166
Do mặt cầu tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB nên
R = d(C, AB) =
h−→
AC,−→
ABi
−→
AB
=
√ 166
√
14 =
r 83 7 Phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB là
(S) :
tâm C(3; −2; −1) bán kính R =r 83
7
⇔ (x − 3)2+ (y + 2)2+ (z + 1)2 = 83
7
Trang 12* Cách 2:
Do mặt cầu tâm C tiếp xúc đường thẳng AB nên bán kính mặt cầu là đường cao CH của ∆ABC
Ta có −→
AB = (3; −1; −2) ⇒ AB =√
14
−→
AC = (6; −4; −1)
−→
BC = (3; −3; 1)
⇒h−→AC,−→
BC
i
= (−7; −9; −6) Suy ra
S∆ABC = 1
2
h−→
AC,−→
BCi =
√ 166 2 Mặt khác
CH = 2S∆ABC
r 83 7 Phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB là
(S) :
tâm C(3; −2; −1) bán kính R = CH =r 83
7
⇔ (x − 3)2+ (y + 2)2+ (z + 1)2 = 83
7
Bài toán 1.2.16 Lập phương trình mặt cầu tâm qua bốn điểm M, N, P, Q
Lời giải
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm có dạng
(S) : x2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0
Do mặt cầu qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phường trình sau
M ∈ (S)
N ∈ (S)
P ∈ (S)
Q ∈ (S)
⇒
A =
B =
C =
D = Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là
(S) : x2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0
Bài toán 1.2.17 Cho bốn điểm M (0; 1; 0), N (2; 3; 1), P (−2; 2; 2), Q(1; −1; 2).Lập phương trình mặt cầu tâm qua bốn điểm M,N,P
Lời giải
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm có dạng
Trang 13Do mặt cầu qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phường trình sau
M (0; 1; 0) ∈ (S)
N (2; 3; 1) ∈ (S)
P (−2; 2; 2) ∈ (S)
Q(1; −1; 2) ∈ (S)
⇔
1 + B + D = 0
14 + 2A + 3B + C + D = 0
12 − 2A + 2B + 2C + D = 0
6 + A − B + 2C + D = 0
⇔
B + D = −1 2A + 3B + C + D = −14
−2A + 2B + 2C + D = −12
A − B + 2C + D = −6
⇔
A = −1
B = −3
C = −5
D = 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (S) : x2+ y2+ z2− x − 3y − 5z + 2 = 0
1.2.2 Một số bài toán khác về lập phương trình mặt cầu
Bài toán 1.2.18 Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và có tâm thuộc trục Ox
Lời giải
Vì tâm I mặt cầu thuộc trục Ox nên I(a; 0; 0)
Phương trình mặt cầu có dạng
(S) : x2 + y2 + z2− 2ax + d = 0
Do mặt cầu đi qua hai điểm A,B nên
(
A(3; 1; 0) ∈ (S)
B(5; 5; 0) ∈ (S) ⇔
(
10 − 6a + d = 0
50 − 10a + d = 0 ⇔
(
−6a + d = −10
−10a + d = −50 ⇔
(
a = 10
d = 50 Vậy phương trình mặt cầu là (S) : x2+ y2+ z2− 20x + 50 = 0
Bài toán 1.2.19 Cho ba điểm A(1; 2; −4), B(1; −3; 1), C(2; 2; 3) Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc (Oxy)
Lời giải
Vì tâm I mặt cầu thuộc trục (Oxy) nên I(a; b; 0)
Phương trình mặt cầu có dạng
(S) : x2+ y2+ z2 − 2ax − 2by + d = 0
Do mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C nên
A(1; 2; −4) ∈ (S)
B(1; −3; 1) ∈ (S)
C(2; 2; 3) ∈ (S)
⇔
21 − 2a − 4b + d = 0
11 − 2a + 6b + d = 0
17 − 4a − 4b + d = 0
⇔
−2a − 4b + d = −21
−2a + 6b + d = −11
−4a − 4b + d = −17
⇔
a = −2
b = 1
d = −21
Vậy phương trình mặt cầu là (S) : x2+ y2+ z2+ 4x − 2y − 21 = 0
Trang 14Bài toán 1.2.20 Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(−2; 2; 2), C(1; −1; 2) Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc (P ) : 2x + 2y + 2z − 9 = 0
Lời giải
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu
Phương trình mặt cầu có dạng
(S) : x2+ y2+ z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Do mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc (P) nên
A(2; 3; 1) ∈ (S)
B(−2; 2; 2) ∈ (S)
C(1; −1; 2) ∈ (S)
I(a; b; c) ∈ (P )
⇔
14 − 4a − 6b − 2c + d = 0
12 + 4a − 4b − 4c + d = 0
6 − 2a + 2b − 4c + d = 0 2a + 2b + 2c − 9 = 0
⇔
−4a − 6b − 2c + d = −14 4a − 4b − 4c + d = −12
−2a + 2b − 4c + d = −6 2a + 2b + 2c = 9
⇔
a = 1
2
b = 3
2
c = 5
2
d = 2
Phương trình mặt cầu có dạng (S) : x2+ y2+ z2− x − 3y − 5z + 2 = 0
1.2.3 Một số bài toán liên quan đến mặt cầu
Bài toán 1.2.21 Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu với
(S) : (x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2 = R2 (P ) : Ax + By + Cz + D = 0
Lời giải
- Xác định bán kính đường tròn giao tuyến
+ Xác định tâm I(a; b; c) của mặt cầu (S)
+ Tính khoảng cách từ Tâm I đến (P)
d = d(I, (P )) = |Aa + Bb + Cc + D|
√
A2+ B2+ C2
+ Bán kính đường tròn giao tuyến là
r =√
R2− d2
- Xác định tọa độ tâm đường tròn giao tuyến
+ Viết phương trình đường thẳng ∆
∆ :
( Qua I
⇔
( Qua I