Chuyên đề ôn tập chương 3 (2022) toán 12

Chuyên đề Ôn tập chương 3 Toán 12 A Lý thuyết 1 Nguyên hàm và tính chất 1 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R) Hàm số F(x) được gọi là nguyê[.]

Chuyên đề Ôn tập chương 3 - Toán 12

A Lý thuyết

1 Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R)

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với

mọi x∈K

Ví dụ

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên

khoảng −∞;+∞ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x∈−∞;+∞

- Hàm số F(x)= là một nguyên hàm của hàm số f(x)= trên

Do đó F(x)+C;  C∈ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Ví dụ

a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng (0;  + ∞)

b) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng (−∞; 0)∪(0;+∞)

1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Ví dụ Tính:

Lời giải:

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm

nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

3 Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi

là hình thang cong

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành

và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b] Với mỗi x∈a; b, kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C

Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a)

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên

đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a)

Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân

- Chú ý

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

Ví dụ

- Nhận xét

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t

b) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tính , đôi khi ta chọn hàm số

u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục

6 Tính diện tích hình phẳng

6.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b],

trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x4 + 3x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

6.2 Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác

định bởi công thức:

7.2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a) Cho khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h

Khi đó, thể tích của khối chóp là

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B; B’

và chiều cao là h

Thể tích của khối chóp cụt là:

8 Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

cong y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng x

= 0; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox

Câu 4:

A I = x2.sinx + x.cosx - 2sinx + C

B I = x2.sinx + 2x.cosx - 2sinx + C

C I = x.sinx + 2x.cosx + C

D I = 2x.cosx + sinx + C

Lời giải:

Lời giải:

Ta có:

Phát biểu nào sau đây là sai:

II Bài tập tự luận có lời giải

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (x - 6)2 và y = 6x - x2 là:

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y = x2 + 1 , tiếp tuyến với đường cong này tại M(2;5) và trục Oy là:

Lời giải:

Ta có: y' = 4

Phương trình tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại M(2;5) là: y = 4(x - 2) + 5 = 4x - 3

Ta có x2 + 1 = 4x - 3 => x = 2 khi đó diện tích hình phẳng cần tính là :

phẳng giới hạn bởi trục Ox và y = sinx với (0 ≤ x ≤ π) là:

Lời giải:

Câu 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

Lời giải:

Thể tích vật thể tròn xoay là :

Câu 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy sinh bởi hình phẳng giới hạn

bởi các đường y = 2, y = 4 , y =

Lời giải:

Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx, y = 0, x = 0, x = quanh Ox là:

Lời giải:

Thể tích vật thể tròn xoay là:

Lời giải:

Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 4 giây bằng :

III Bài tập vận dụng

Bài 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (x - 6)2 và y = 6x - x2 là?

đường cong này tại M(2;5) và trục Oy là?

phẳng giới hạn bởi trục Ox và y = sinx với (0 ≤ x ≤ π) là?

bởi các đường y = 2, y = 4 , y =

tanx, y = 0, x = 0, x = quanh Ox là?

Bài 10 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 và y = 2x là?