Chuyên đề hàm số lũy thừa mũ và logarit giải tích 12

Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Do số mũ là số nguyên âm nên ta có điều kiện 2 4

      Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D ℝ \ 4;3   

Ví dụ 4: Hàm số y   4 x 2  1   4 có tập xác định là

4 1 0 x     x 2 nên tập xác định của hàm số là \ 1 1;

Ví dụ 5: Tập xác định của hàm số y x  sin2020   là

Ta có y x  sin2020   x 0 nên tập xác định là D  ℝ \ 0  

Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2   3

Hàm số y x 2   3 có số mũ không nguyên nên xác định khi x0

Ví dụ 7:Tập xác định của hàm số y   2  x  3 là

Hàm số y   2  x  3 có số mũ không nguyên nên xác định khi 2   x 0 x 2

Vậy tập xác định là D   ;2 

Ví dụ 8: Tìm tập xác định D của hàm số y  4 25  x 2  3 2 3 x 2  5 x   2  x 2  1   2  2 x 2

Hàm số xác định khi

    Vậy tập xác định là D      5; 1   1;5 

Ví dụ 9: Tìm tập xác định D của hàm số y  x 2  6 x  17   x 2  4 x  3  5 6     1 x   2020  2 x  1.

 Vậy tập xác định là D   ;1   3;    \ 1 

Ví dụ 10: Tìm tập xác định D của hàm số y  3 25   x 2  1  18   x x 3 3   2020

Vậy tập xác định là D    5;5 \ 3    

Ví dụ 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau a) y x 9 b) y x  4 c) y   x  1  1 3 d) y   3  x 2   4 3

Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y   x  1  3 2 trên  3;15  b) y   4 3  x  5 2 trên   0;1

2 2 y  x  x   x  hàm số luôn ĐB trên  3;15 

2 2 y   x   x    x   x  hàm số luôn NB trên   0;1

Ví dụ 3: Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số

Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa

Hàm số đã cho có tập xác định D   0;   nên loại đáp án A và C

Ví dụ 4: Đồ thị hàm số

1 y x 4 cắt đường thẳng y 2x tại một điểm Tìm tọa độ điểm giao điểm đó

Phương trình hoành độ giao điểm

Vậy tọa độ giao điểm là 3 1 3 1

Ví dụ 5: Cho  là một số thực và hàm số 2 1 1 y x

  đồng biến trên  0;   Khẳng định nào sau đây đúng?

Theo giả thiết, hàm số đồng biến trên  0;   nên

Ví dụ 6: Cho hàm số   C : y x   2 Phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm M 0 có hoành độ

   và y 0y  1 1 Vậy phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm M 0 có dạng:

Ví dụ 7: Hình vẽ dưới đây là đồ thị các hàm số y x y x y x a ,  b ,  c trên miền  0; Hỏi trong các số , ,a b c số nào nhận giá trị trong khoảng   0;1 ?

A Số b B Số a và số c C Số c D Số a

 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

Sử dụng hình vẽ trên để trả lời 3 câu hỏi bên dưới

Ví dụ 8: Hỏi đồ thị của hàm số y x 1 2 là hình nào?

Lời giải Đồ thị của hàm số y x 1 2 là hình ở đáp án A

Ví dụ 9:Hỏi đồ thị của hàm số

Lời giải Đồ thị của hàm số

Ví dụ 10:Hỏi đồ thị của hàm số

Lời giải Đồ thị của hàm số

Câu 1: Cho ,x y là hai số thực dương và ,m n là hai số thực tùy ý Đẳng thức nào sau đây là sai?

Câu 2: Nếu m là số nguyên dương, biểu thức nào theo sau đây không bằng với   2 4 m ?

Câu 3: Cho a 0;b0; , ℝ Hãy chọn công thức đúng trong các công thức sau

Câu 4: Biểu thức x x x 3 6 5 ,  x  0  viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Câu 5: Giá trị của biểu thức  2 3  3 2 3 3 3 

Câu 6: Cho a   2  3   1 ; b   2  3   1 Giá trị của biểu thức A   a  1   1   b  1   1 là

Câu 7: Trục căn thức ở mẫu biểu thức 3 1 3

Câu 11: Rút gọn biểu thức 3 a b 3 3 : 3 3  2

5 a 2  a  0  là biểu thức rút gọn của biểu thức nào sau đây ?

Câu 14: Với ,a b0 và giá trị biểu thức

Câu 15: Với ,a b0 và a b 1, rút gọn biểu thức

Câu 16: Với ,a b0 và a b 1, rút gọn biểu thức

Câu 17: Với 0 a 1, rút gọn biểu thức

Câu 18: Nếu 1 2  a   a     1 thì giá trị của  là

Câu 19: Rút gọn biểu thức K   x  4 x  1  x  4 x  1  x  x  1  ta được

Câu 20: Rút gọn biểu thức x  4 x 2 :x 4   x  0 ,  ta được

Câu 21: Biểu thức x x x x x  x  0  được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Câu 22: Rút gọn biểu thức: A  x x x x x : 11 16 ,  x  0  ta được

Câu 24: Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Câu 25: Trong các kết luận sau, những kết luận nào sai?

A II và III B III C I D II và IV

Câu 26: Cho a1 Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Câu 28: Biết  a  1   2 3   a  1   3 2 Khi đó ta có thể kết luận về a là

Câu 29: Cho 2 số thực , a b thỏa mãn a 0, a 1, b0, b1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 30: Cho P x x x x x 5 3 , 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 31: Cho biểu thức P 4 x x 3 2 x x 3 , 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 33: Rút gọn biểu thức n n n n n n n n  0,  a b a b

Câu 34: Cho a 0;a 1 Rút gọn biểu thức

      với a và b là các số thực dương Biểu thức thu gọn của biểu thức P có dạng là P xa yb , với ;x yℤ Biểu thức liên hệ giữa x và y là

Câu 36: Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

  có dạng P m a n b 4  4 , với ;m nℤ Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là

Câu 37: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 38: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định - Lần 1 - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 39: (SGD - Nam Định - Lần 1 - 2018) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 40: (THPT Vân Nội - Hà Nội – HK1 - 2018) Cho số thực a thỏa mãn điều kiện

 a  1   2 3   a  1   1 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vấn đề 2 HÀM SỐ LUỸ THỪA

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y x m , với m là một số nguyên dương

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y x n , với n là một số nguyên âm

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y x  , với  không nguyên

Câu 4: Tìm điều kiện của x để hàm số y x  2020 có nghĩa

Câu 5: Tìm điều kiện của để hàm số y x   1 có nghĩa

Câu 6: Tìm điều kiện của x để hàm số

Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y x.

Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số y 5 x.

Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số y 4 x1.

 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

Câu 10: Tìm tập xác định D của hàm số y 3 x x 1.

Câu 11: Tìm tập xác định D của hàm số y   1   x x 2  m , với m là một số nguyên dương

Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y   2 x  4   2020

Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y 1 2x  3 1 

Câu 14: Tìm tập xác định D của hàm số y   4  x  11 3

Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số y   1   x 2 x 2  n , với n là một số nguyên âm

Câu 17: Tìm tập xác định D của hàm số y 3 3x7.

Câu 18: Tìm tập xác định D của hàm số y 4 4x4 

Câu 19: Tìm tập xác định D của hàm số y   2  x  1  5

Câu 20: Tập xác định của hàm số y   x 3  27   2 là

Câu 21: Tập xác định của hàm số  x 2  3 x  2  

Câu 22: Tập xác định của hàm số y   4 3  x x  2  2017 là

Câu 23: Tập xác định của hàm số y   x  5  3 là

Câu 24: Tập xác định của hàm số y   4  x 2 3  1 là

Câu 25: Tập xác định của hàm số y   x 2  2 x  3  2 là

Câu 26: Tập xác định của hàm số y   x 2  1   2

Câu 27: Tập xác định của hàm số y   3 x x  2 3  2 là

Câu 28: Tìm tập xác định của hàm số: y     x 2 3 x  4  1 3  2  x

Câu 29: Tìm tập xác định của hàm số y x2   2 là

Câu 30: Tìm tập xác định của hàm số y   4 x 2  1   4

Câu 31: Tìm tập xác định D của hàm số y   1  x 2   2020  2 x  4.

Câu 32: Tìm tập xác định D của hàm số y     1 x 2 x 2  2 2   2 x 2   x 3.

Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  2 x  1  e  1  x 2  3 x  4.

Câu 34: Tìm tập xác định D của hàm số 1

Câu 35: Tìm tập xác định D của hàm số 2 3 1

Câu 36: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  2  5   x 2  9  3 5  x 2  5 x  2.

Câu 37: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2 3 3 x 2  2 x 5  7 1 3 x 11. x

Câu 38: Tìm tập xác định D của hàm số y  25  x 2  3 x 2  3 x   4  x 2  1    e  2 x  7.

Câu 39: Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  5 x  4  2 3   x 2  3 x   7 x  3  x 2  2 x  1.

Câu 40: Tìm tập xác định D của hàm số y   x x 2 2   2020  3 16   x 2  1  8  3.

Câu 1: Đạo hàm của hàm số y x  là

Câu 2: Đạo hàm của hàm số y    u x      là

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y x  4 là

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y x  5 bằng

Câu 5: Hàm số y   x  1  1 3 có đạo hàm là

Câu 6: Hàm số y   3  x 2   4 3 có đạo hàm trên khoảng   3; 3  là

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y   x 2  3  1 3 là

Câu 8: Đạo hàm của hàm số y   2 x  1  1 3 là

Câu 9: Đạo hàm của hàm số y   x 2  x   là

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 4x 2 3x1 là

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y   2 x 2  3 x  2  1 3

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y   3 x 2  2 x  1  4 3

Câu 13: Đạo hàm của hàm số y   x 2  3  1 2  2 2017 là

Câu 14: Cho hàm số f x    3 x 2   x 1 Giá trị của f    0 là

Câu 15: Hàm số y 3 2x 2  x 1 Giá trị của f    0 là

Câu 18: Cho hàm số f x    3 1 2sin 2  x Đạo hàm tại của hàm số đã cho tại điểm x0.

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )   5 x 2  1   1 là

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x     2 x  1  1 3 trên đoạn   1;5 là

Câu 21: Giá trị lớn nhất của hàm số f x     x 5  x 3  1  1 2 trên đoạn   1;3 là

Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x     5 2  x  5 3 trên đoạn   0;2 là

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số f x     1  x   4 3 trên đoạn   3;0  là

Câu 24: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )   x 2  4  2 trên đoạn   1;3  Giá trị M m  là

Câu 25: Đạo hàm của hàm số y 3 x 2 x 3 là

Câu 26: Đạo hàm của hàm số y 5 x 3 8.

Câu 27: Hàm số y 3 a bx 3 ,với ,a b là tham số, có đạo hàm là

Câu 28: Cho hàm số y   x  2   2 Hệ thức giữa y và y không phụ thuộc vào x là

Câu 29: Gọi m là số thực để hàm số y   3 x 2  2 m  5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn   2;3

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 30: Gọi m là số thực để hàm số y   2 x m  2  3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 trên đoạn   1;4 

Câu 31: Hàm số y  3  x 2  1  2 có đạo hàm là

Câu 32: Cho hàm số y 4 2x x 2 Đạo hàm của hàm số f x    có tập xác định là

Câu 33: Cho hàm số y e e e e x , với x0 và e là hằng số Đạo hàm của y là

Câu 34: Đạo hàm của hàm số y   x 2   x 1  1 3 là

Câu 35: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ

2 y x  3 Câu 36: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

4 x y  Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận

B Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

Câu 38: Cho hàm số y  f x    x  2 có đồ thị   C Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số tăng trên  0;   B Đồ thị   C không có tiệm cận

C Tập xác định của hàm số là ℝ D Hàm số không có cực trị

Câu 39: Cho hàm số y  f x    x  có đồ thị   C Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 40: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  0;   ?

1 y x 3 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Hàm số đồng biến trên tập xác định

B Hàm số nhận O   0;0 làm tâm đối xứng

C Hàm số lõm trên   ;0  và lồi trên  0;  

D Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Câu 42: Cho hàm số y x  4 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A Đồ thị hàm số có một trục đối xứng B Đồ thị hàm số đi qua điểm   1;1

C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng

Câu 43: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng mà nó xác định?

Câu 44: Cho f x    x 1 3 và f x   0 2 Tính giá trị củax 0

Câu 45: Cho hàm số y   x  1  1  2 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

B Hàm số nghịch đồng trên khoảng  1;   

C Hàm số có tập xác định là  1;   

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Câu 46: Cho hàm số y(x 2 1) , 2 có các khẳng định sau Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

I Tập xác định của hàm số là D   0;  

II Hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định của nó

III Hàm số luôn đi qua điểm M   0;1

IV Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Câu 47: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Câu 52: Cho ;  là các số thức Đồ thị các hàm số y x y x  ;   trên khoảng  0;   được cho hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 53: Cho hàm số y x 2 , có các khẳng định sau

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 54: Cho các hàm số lũy thừa y x y x y x  ,   ,   có đồ thị như hình vẽ Chọn đáp án đúng:

Câu 55: Cho hàm số y x  2 Mệnh đề nào sau đây là sai?

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   

Câu 56: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận 2 trục tọa độ làm 2 tiệm cận

Câu 57: Hình dưới đây là đồ thị của hai hàm số y x a và y x b Hãy chọn khẳng định đúng

Câu 58: Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y x 1 4 ?

Câu 59: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

Câu 62: (THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 - 2018) Tìm các giá trị nguyên dương n2 để hàm số y   2  x   n  2  x  n với x    2; 2  có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất

Câu 63: Trên đồ thị   C của hàm số y x 2 1

 lấy điểm M 0 có hoành độ

  C tại điểm M 0 có hệ số góc bằng

◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Cho hai số dương ,a b với a1 Số  thoả mãn đẳng thức a  b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b

Xuất phát từ công thức   * ta có các tính chất về logarit dưới đây

"Các công thức dưới đây sử dụng với điều kiện a b c b b, , , , 1 2 0, a1, nℕ*, 0"

2 log a b log a log a b b b   Đặc biệt: 1 log a log a b b  

⑤ log a b  log a b Đặc biệt: 1 log a n b log a b

⑥ log a blog log a c c b và log log log c a c b b

 a, với c1 Đặc biệt: log 1 a log c c a và 1 log a  b log a b

⑦ Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10 Kí hiệu: log10 blogblgb

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số 10: log log a log b b

⑧ Lôgarit tự nhiên là logarit cơ số e2,71828

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số e: ln log a ln b b

Biểu thức log a f x   xác định

   Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình A n 0 cần nhớ:

 n là số tự nhiên lẻ thì A n  0 A0

 n là số tự nhiên chẵn thì A n  0 A0

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức A log 2 2  x 1  xác định?

Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B  ln 4   x 2  xác định?

Lời giải Điều kiện xác định: 4x 2     0 2 x 2

Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức C  x 3   x log  x  2  2

Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2  

Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì biểu thức E  log 5  x m   xác định với mọi x     3; ?

Biểu thức E xác định  x m   0 x m Để E xác định với mọi x     3;  thì m   3

Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì biểu thức 1   

Biểu thức F xác định   3  x x   2 m     0 2 m   x 3 , với m   3 2 Để f x   xác định với mọi x    4;2  thì   4;2     2 ;3 m    2 m    4 m  2

Kết hợp với điều kiện, suy ra m2 thoả mãn

Ví dụ 7: Có bao nhiêu số nguyên a để biểu thức G  log 2  ax 2  4 x  1  có nghĩa với mọi xℝ?

Biểu thức G xác định với mọi xℝ 2 4 1 0, 0 0 4

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P a 3 2log  a b  a  0, a  1, b  0  ta được

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a 2,b5 ta được 2 3 2log 5  2 và thay a2,b5 vào 4 đáp án để so sánh

Ví dụ 2:Cho alog 5 2 Ta phân tích được log 10004 ma n, , ,  m n k k

3 3 3 3 3 3 log 1000 log 10 log 2 log 5 1 log 5 1

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức

  nằm trong khoảng nào sau đây?

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a2 Tính 2 3 2 5 4

  và thay a2 vào 4 đáp án để so sánh

Ví dụ 4: Cho số thực x thỏa mãn: 1 log log 9 log 5 log 2 a x 2 a  a  a  a  0, a  1  Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: log 1log 9 log 5 log 2 log 9 log 5 log 2 a x 2 a  a  a  a  a  a

3.2 6 log 3 log 5 log 2 log log

Ví dụ 5: Cho 0 a 1, biểu thức E a 4 log 5 a 2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Ta có: E a 4 log 5 a 2 a 4 2 log 5 a a log 25 a 25

Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức 1 9 3

Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

3 3 log 7 2log 49 log 1 log 7 2log 7 log 7

Ví dụ 7:Biểu thức log 2 sin 2 log cos 2

Ta có: log 2 sin 2 log cos 2 log 2sin 2 cos log sin 2 log 2 1 1

HS có thể sử dụng MTCT: Chuyển máy tính về đơn vị Rad (Shift + Mode + 4) Sau đó nhập log 2 sin 2 log cos 2

Ví dụ 8:Cho lgx a ,ln10b, với 0 x 1 Tính log10 e   x bằng

1 log 1 1 1 1 1 log log ln10 x a ab e b x x b

◈ GHI NHỚ Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

 Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit  Cách 2: Sử dụng MTCT

 Bài toán minh hoạ: Cho log 3 2 a, log 5 2 b Biểu diễn log 20 3 theo ,a b

 Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

2 2 2 log 20 log 2 5 2log 2 log 5 log 3 log 3 b b a a a

 Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log 3 2 và log 5 2 vào các biến A, B và C trong máy tính)

 Thử đáp án A: Nhập  Máy tính trả ra kết quả khác 0 Loại đáp án A

 Thử đáp án B: Nhập  Máy tính trả ra kết quả bằng 0 Chọn đáp án B

Tìm tập xác định của hàm số logarit

Câu 10: Tìm tập xác định D của hàm số y 3 x x 1.

Câu 11: Tìm tập xác định D của hàm số y   1   x x 2  m , với m là một số nguyên dương

Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y   2 x  4   2020

Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số y 1 2x  3 1 

Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số y   1   x 2 x 2  n , với n là một số nguyên âm

Câu 17: Tìm tập xác định D của hàm số y 3 3x7.

Câu 18: Tìm tập xác định D của hàm số y 4 4x4 

Câu 19: Tìm tập xác định D của hàm số y   2  x  1  5

Câu 20: Tập xác định của hàm số y   x 3  27   2 là

Câu 21: Tập xác định của hàm số  x 2  3 x  2  

Câu 22: Tập xác định của hàm số y   4 3  x x  2  2017 là

Câu 23: Tập xác định của hàm số y   x  5  3 là

Câu 24: Tập xác định của hàm số y   4  x 2 3  1 là

Câu 25: Tập xác định của hàm số y   x 2  2 x  3  2 là

Câu 26: Tập xác định của hàm số y   x 2  1   2

Câu 27: Tập xác định của hàm số y   3 x x  2 3  2 là

Câu 28: Tìm tập xác định của hàm số: y     x 2 3 x  4  1 3  2  x

Câu 29: Tìm tập xác định của hàm số y x2   2 là

Câu 30: Tìm tập xác định của hàm số y   4 x 2  1   4

Câu 31: Tìm tập xác định D của hàm số y   1  x 2   2020  2 x  4.

Câu 32: Tìm tập xác định D của hàm số y     1 x 2 x 2  2 2   2 x 2   x 3.

Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  2 x  1  e  1  x 2  3 x  4.

Câu 34: Tìm tập xác định D của hàm số 1

Câu 35: Tìm tập xác định D của hàm số 2 3 1

Câu 36: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  2  5   x 2  9  3 5  x 2  5 x  2.

Câu 37: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2 3 3 x 2  2 x 5  7 1 3 x 11. x

Câu 38: Tìm tập xác định D của hàm số y  25  x 2  3 x 2  3 x   4  x 2  1    e  2 x  7.

Câu 39: Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  5 x  4  2 3   x 2  3 x   7 x  3  x 2  2 x  1.

Câu 40: Tìm tập xác định D của hàm số y   x x 2 2   2020  3 16   x 2  1  8  3.

Câu 1: Đạo hàm của hàm số y x  là

Câu 2: Đạo hàm của hàm số y    u x      là

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y x  4 là

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y x  5 bằng

Câu 5: Hàm số y   x  1  1 3 có đạo hàm là

Câu 6: Hàm số y   3  x 2   4 3 có đạo hàm trên khoảng   3; 3  là

Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ - logarit

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y   x 2  3  1 3 là

Câu 8: Đạo hàm của hàm số y   2 x  1  1 3 là

Câu 9: Đạo hàm của hàm số y   x 2  x   là

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 4x 2 3x1 là

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y   2 x 2  3 x  2  1 3

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y   3 x 2  2 x  1  4 3

Câu 13: Đạo hàm của hàm số y   x 2  3  1 2  2 2017 là

Câu 14: Cho hàm số f x    3 x 2   x 1 Giá trị của f    0 là

Câu 15: Hàm số y 3 2x 2  x 1 Giá trị của f    0 là

Câu 18: Cho hàm số f x    3 1 2sin 2  x Đạo hàm tại của hàm số đã cho tại điểm x0.

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )   5 x 2  1   1 là

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x     2 x  1  1 3 trên đoạn   1;5 là

Câu 21: Giá trị lớn nhất của hàm số f x     x 5  x 3  1  1 2 trên đoạn   1;3 là

Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x     5 2  x  5 3 trên đoạn   0;2 là

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số f x     1  x   4 3 trên đoạn   3;0  là

Câu 24: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )   x 2  4  2 trên đoạn   1;3  Giá trị M m  là

Câu 25: Đạo hàm của hàm số y 3 x 2 x 3 là

Câu 26: Đạo hàm của hàm số y 5 x 3 8.

Câu 27: Hàm số y 3 a bx 3 ,với ,a b là tham số, có đạo hàm là

Câu 28: Cho hàm số y   x  2   2 Hệ thức giữa y và y không phụ thuộc vào x là

Câu 29: Gọi m là số thực để hàm số y   3 x 2  2 m  5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn   2;3

Câu 30: Gọi m là số thực để hàm số y   2 x m  2  3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 trên đoạn   1;4 

Câu 31: Hàm số y  3  x 2  1  2 có đạo hàm là

Câu 32: Cho hàm số y 4 2x x 2 Đạo hàm của hàm số f x    có tập xác định là

Câu 33: Cho hàm số y e e e e x , với x0 và e là hằng số Đạo hàm của y là

Câu 34: Đạo hàm của hàm số y   x 2   x 1  1 3 là

Câu 35: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ

2 y x  3 Câu 36: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

4 x y  Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận

B Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang

Câu 38: Cho hàm số y  f x    x  2 có đồ thị   C Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 39: Cho hàm số y  f x    x  có đồ thị   C Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 40: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  0;   ?

1 y x 3 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Hàm số đồng biến trên tập xác định

B Hàm số nhận O   0;0 làm tâm đối xứng

C Hàm số lõm trên   ;0  và lồi trên  0;  

D Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Câu 42: Cho hàm số y x  4 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A Đồ thị hàm số có một trục đối xứng B Đồ thị hàm số đi qua điểm   1;1

C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng

Câu 43: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng mà nó xác định?

Câu 44: Cho f x    x 1 3 và f x   0 2 Tính giá trị củax 0

Câu 45: Cho hàm số y   x  1  1  2 Mệnh đề nào sau đây là sai?

B Hàm số nghịch đồng trên khoảng  1;   

Câu 46: Cho hàm số y(x 2 1) , 2 có các khẳng định sau Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 52: Cho ;  là các số thức Đồ thị các hàm số y x y x  ;   trên khoảng  0;   được cho hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 53: Cho hàm số y x 2 , có các khẳng định sau

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 54: Cho các hàm số lũy thừa y x y x y x  ,   ,   có đồ thị như hình vẽ Chọn đáp án đúng:

Câu 55: Cho hàm số y x  2 Mệnh đề nào sau đây là sai?

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   

Câu 56: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận 2 trục tọa độ làm 2 tiệm cận

Câu 57: Hình dưới đây là đồ thị của hai hàm số y x a và y x b Hãy chọn khẳng định đúng

Câu 58: Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y x 1 4 ?

Câu 62: (THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 - 2018) Tìm các giá trị nguyên dương n2 để hàm số y   2  x   n  2  x  n với x    2; 2  có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất

Câu 63: Trên đồ thị   C của hàm số y x 2 1

 lấy điểm M 0 có hoành độ

  C tại điểm M 0 có hệ số góc bằng

◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Cho hai số dương ,a b với a1 Số  thoả mãn đẳng thức a  b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b

Xuất phát từ công thức   * ta có các tính chất về logarit dưới đây

"Các công thức dưới đây sử dụng với điều kiện a b c b b, , , , 1 2 0, a1, nℕ*, 0"

2 log a b log a log a b b b   Đặc biệt: 1 log a log a b b  

⑤ log a b  log a b Đặc biệt: 1 log a n b log a b

⑥ log a blog log a c c b và log log log c a c b b

 a, với c1 Đặc biệt: log 1 a log c c a và 1 log a  b log a b

⑦ Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10 Kí hiệu: log10 blogblgb

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số 10: log log a log b b

⑧ Lôgarit tự nhiên là logarit cơ số e2,71828

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số e: ln log a ln b b

Biểu thức log a f x   xác định

   Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình A n 0 cần nhớ:

 n là số tự nhiên lẻ thì A n  0 A0

 n là số tự nhiên chẵn thì A n  0 A0

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức A log 2 2  x 1  xác định?

 Dạng 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT Điều kiện xác định: 2 1 0 1 x   x 2

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B  ln 4   x 2  xác định?

Lời giải Điều kiện xác định: 4x 2     0 2 x 2

Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức C  x 3   x log  x  2  2

Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2  

Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì biểu thức E  log 5  x m   xác định với mọi x     3; ?

Biểu thức E xác định  x m   0 x m Để E xác định với mọi x     3;  thì m   3

Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì biểu thức 1   

Biểu thức F xác định   3  x x   2 m     0 2 m   x 3 , với m   3 2 Để f x   xác định với mọi x    4;2  thì   4;2     2 ;3 m    2 m    4 m  2

Kết hợp với điều kiện, suy ra m2 thoả mãn

Ví dụ 7: Có bao nhiêu số nguyên a để biểu thức G  log 2  ax 2  4 x  1  có nghĩa với mọi xℝ?

Biểu thức G xác định với mọi xℝ 2 4 1 0, 0 0 4

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P a 3 2log  a b  a  0, a  1, b  0  ta được

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a 2,b5 ta được 2 3 2log 5  2 và thay a2,b5 vào 4 đáp án để so sánh

Ví dụ 2:Cho alog 5 2 Ta phân tích được log 10004 ma n, , ,  m n k k

3 3 3 3 3 3 log 1000 log 10 log 2 log 5 1 log 5 1

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức

  nằm trong khoảng nào sau đây?

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a2 Tính 2 3 2 5 4

  và thay a2 vào 4 đáp án để so sánh

Ví dụ 4: Cho số thực x thỏa mãn: 1 log log 9 log 5 log 2 a x 2 a  a  a  a  0, a  1  Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: log 1log 9 log 5 log 2 log 9 log 5 log 2 a x 2 a  a  a  a  a  a

3.2 6 log 3 log 5 log 2 log log

Ví dụ 5: Cho 0 a 1, biểu thức E a 4 log 5 a 2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Ta có: E a 4 log 5 a 2 a 4 2 log 5 a a log 25 a 25

Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức 1 9 3

 Dạng 2 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT

3 3 log 7 2log 49 log 1 log 7 2log 7 log 7

Ví dụ 7:Biểu thức log 2 sin 2 log cos 2

Ta có: log 2 sin 2 log cos 2 log 2sin 2 cos log sin 2 log 2 1 1

HS có thể sử dụng MTCT: Chuyển máy tính về đơn vị Rad (Shift + Mode + 4) Sau đó nhập log 2 sin 2 log cos 2

Ví dụ 8:Cho lgx a ,ln10b, với 0 x 1 Tính log10 e   x bằng

1 log 1 1 1 1 1 log log ln10 x a ab e b x x b

◈ GHI NHỚ Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

 Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit  Cách 2: Sử dụng MTCT

 Bài toán minh hoạ: Cho log 3 2 a, log 5 2 b Biểu diễn log 20 3 theo ,a b

 Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

2 2 2 log 20 log 2 5 2log 2 log 5 log 3 log 3 b b a a a

 Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log 3 2 và log 5 2 vào các biến A, B và C trong máy tính)

 Thử đáp án A: Nhập  Máy tính trả ra kết quả khác 0 Loại đáp án A

 Thử đáp án B: Nhập  Máy tính trả ra kết quả bằng 0 Chọn đáp án B

 Dạng 3 BIỂU DIỄN LOGARIT THEO CÁC LOGARIT ĐÃ BIẾT

Ví dụ 1: Giả sử đặt alog 3, 2 blog 3 5 Hãy biểu diễn log 45 6 theo a và b

1 1 log 3 log 2 log 2 a   a và 3 1 log 5

2 1 log 3 5 log 45 2 log 5 2 log 45 log 6 log 3.2 1 log 2 1 1 a ab b ab b a

Ví dụ 2: Giả sử đặt log 6 12 a,log 7 12 b Hãy biểu diễn log 7 2 theo a và b

2 2 log 6 1 log 3 1 2 log 6 log 3 log 12 2 log 3 1 a a a

3 3 2 log 7 log 7 2 2 2 log 7 log 7 1 1 log 12 2log 2 1 log 3 1 2 1 2 a b b b b a a

12 log 7 log 7 log 7 log 7 log 2 log 12 1 log 6 1

Ví dụ 3: Cho số thực dương b thỏa mãn b1và các số thực a, c, x thỏa mãn: log 3 b a; log 6 b c và 3 x 6 Hãy biểu diễn x theo a và c.

Ví dụ 4: Cho log 3 2 a, log 5 3 b, log 2 7 c Hãy tính log 63 140 theo , ,a b c

2log 3 1 log 3 7 2log 3 log 7 log 2 log 63

2 log 5 log 7 1 log 2 5.7 2 log 3.log 5 log 2

Ví dụ 6:Cho các số dương a b, thỏa mãn 4a 2 9b 2 13ab Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau

A log 2a3b log a2log b B 1 4 log 2  a  3 b   3 log a  2 log b

Lấy logarit cơ số 10 cho hai vế ta được:

2log 2a3b log 25ab 2log 2a3b 2log 5 log alogb

Câu 1: Cho các số thực dương ,a b với a1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log a   bc log a blog a c B log a   bc log log a b a c

C log a   bc log a blog a c D log a   bc log log a b b c

Câu 2: Cho các số thực dương ,a b với a1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Câu 3: Cho các số thực dương , ,a b c với a1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A log log log a a a b b c  c B log a   bc log a blog a c

Câu 4: Cho các số thực dương , ,a b c với a1,b1, Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5: Cho các số thực dương , ,a b c với a1 Khẳng định nào sau đây sai?

A log a b log b a B log log a b b a1 C 1 log a  b log a b

Câu 6: Cho a là số thực dương, a1 Khẳng định nào sau đây sai?

A  0,125  log 1 a  1 B log a 1 1 a   C 3 1 1 log a a  3 D 9 log 2 a 2a Câu 7: Cho hai số thực ,a b với 1 a b Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 8: Cho 0 a 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log 1 a a và log a a0 B log a x a có nghĩa với x

C log a x n n log a x x  0, n0  D log a xylog log a x a y

Câu 9: Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây là đúng?

C log a blog a c b c D Tất cả đều sai

Câu 10: Với các số thực dương a, b bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ln( ) lnab  alnb B ln( ) ln lnab  a b C ln ln ln a a b  b D lna ln ln b a b  

Câu 11: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

 Dạng 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT

Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 13: Xác định ,a b sao cho log2 alog2 blog2  a b  Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 14: Cho các số thực dương a, b với a1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A log a 2   ab  1 1 2 2 log a b B log a 2   ab  2 log a b

C log a 2   ab 1 4 log a b D log a 2   ab 1 2 log a b

Câu 15: Cho các số thực dương , ,a b a1 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 16: Cho các số thực ,a b thỏa mãn a b 1 Khẳng định nào sau đây sai?

A log a blog b a B log a blog b a C lnalnb D 1  

Câu 17: Cho các số thực a b 0 Mệnh đề nào sau đây sai?

A ln   ab 2  ln     a 2  ln b 2 B ln   ab  1 2  ln a  ln b 

Câu 18: Với các số thực dương ,a b bất kỳ, đặt

  Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

C logM  3 loga2 logb D logM 3 loga2 logb

Câu 19: Cho các số thực dương , ,a b c với c1 Mệnh đề nào sau đây sai?

A log c a log c log c a b b   B log ln ln c ln a a b b c

Câu 20: Cho 0a b, 1;ab 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 21: Cho ,a b là các số thực dương bất kỳ Mệnh đề nào sau đây đúng?

C log   a b 3  3 log log a b D log   a b 3  1 3 log a  log b

Câu 22: Cho hai số thực ,a b dương và khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 23: Với ba số thực dương , ,a b c bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 24: Cho a, b là các số thực dương thỏa a1, a b , mệnh đề nào sau đây đúng

Câu 25: Cho 0a b, 1 thoả mãn log a 2 blog b 2 a1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 26: Cho hai số thực ,a b với 1 a b Khẳng định nào khẳng định đúng?

Câu 27: Cho , , ,a b c d là các số thực dương, khác 1 bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 28: Cho , ,a b c0 đôi một khác nhau và khác 1, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A log 2 a log 2 b log 2 c 1 b c a c a b b c a  B log 2 a log 2 b log 2 c 1 b c a c a b b c a 

C log 2 a log 2 b log 2 c 1 b c a c a b b c a   D log 2 a log 2 b log 2 c 1 b c a c a b b c a 

Câu 29: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1

Câu 30: Với giá trị nào của x thì biểu thức: f x  log 26  x x 2  xác định?

Câu 31: Với giá trị nào của x thì biểu thức: f x    log 5  x 3  x 2  2 x  xác định?

Câu 32: Điều kiện xác định của biểu thức T  lg  x 2  4  x 2  6 x  9  là

Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của a để biểu thức T log 1220  a  có nghĩa?

Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của a để biểu thức T  log 12   a 2  có nghĩa?

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức T log 2  x 2 log 1 3   x 2 có nghĩa?

Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức 3 ln 1  

Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức T log3  x 3x 1 x x có nghĩa?

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức 12 5 log 2  

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức T 4x12log x 1 log 4 x có nghĩa?

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức log 2 3 2 x 1

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức lg 3 3

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức log 2 2 1

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức T  log 3 x 2  4 ln  x 2  2 x  3  có nghĩa?

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức T   4 log x 2  1  x  2  có nghĩa?

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức 2 1

Câu 49: Với giá trị nào của m thì biểu thức f x    log 5  x m   xác định với mọi x     3; ?

Câu 50: Với giá trị nào của m thì biểu thức   1   

Câu 51: Với giá trị nào của m thì biểu thức f x  log3  m x x  3m  xác định với mọi

Câu 52: Biểu thức ln  x 2  2 mx  4  có nghĩa với mọi xℝ khi

Câu 53: Có tất cả bao nhiêu số nguyên của a để biểu thức T  log 20  12 3  a 2  có nghĩa?

Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên âm m để biểu thức f x  12 3log 3 2  x m  xác định

Câu 55: Với giá trị nào của m thì biểu thức T  34 ln 4   m x   xác định với mọi x     ; 1  ?

Câu 56: Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị m để biểu thức T  log 2  x 2  4 mx  4  có nghĩa với mọi xℝ Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 1: Rút gọn P 3log 4 log 5 9  3 ta được

Câu 2: Rút gọn Plog tan5 a  log cot5 a   ta được

Câu 3: Rút gọn Plog 2 xlog 4 xlog 8 x ta được

11 x C 6log 2 x D 11log 2 x Câu 4: Cho biểu thức Plog 8 log 2 log 4 a  a  a Kết quả rút gọn của biểu thức P bằng

Câu 5: Rút gọn Alog 3.log 36 6 3 ta được

Câu 6: Cho ,a b0 và ,a b1, biểu thức P log a b 3 log b a 4 có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 7: Rút gọn P2log 12 3log 5 log 15 log 150 2  2  2  2 ta được

Câu 8: Kết quả rút gọn biểu thức A= 36 log 5 6 10 1 log 2  3 log 36 9 là

Câu 9: Rút gọn biểu thứcAlog log log a b b c c a a b c 2  , , 0; , ,a b c1

Câu 10: Rút gọn biểu thức A a log a b  a log a b (với a0,b0) ta được

Câu 11: Nếu 1 log (log 9 3 log 4) a x2 a  a  a  0, a  1  thì x bằng

Câu 12: Cho a 0,b0 Giá trị của x bằng bao nhiêu biết 2 2 2

A 4 a b 7 4 B a 7 4 b C a b 4 7 D a b 4 1 7 4 Câu 13: Nếu log 2 x 5log 2 a4 log 2 b  a b ,  0  thì x bằng

Câu 14: Nếu log 7 x8log 7 ab 2 2log 7 a b 3  a b , 0  thì x bằng:

Câu 15: Rút gọn biểu thức Alog a alog a a 2 3log a a a  0; a1  ta được

Câu 16: Cho a 0,a 1, biểu thức A(lnalog ) a e 2 ln 2 alog a 2 e có giá trị bằng

Câu 17: Cho a 0,a 1, biểu thức 2ln 3log 3 2 ln log a a

 Dạng 2 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT

 e D 6log a e Câu 18: Cho các số thực dương a, b, c với a và b khác 1 Rút gọn biểu thức sau: log log a b b c

Câu 19: Rút gọn biểu thức Alog a a a a 3 5 , ta được kết quả là

10 Câu 20: Rút gọn biểu thức

B a a , ta được kết quả là

60 Câu 21: Cho a 0,a 1, giá trị của biểu thức A a log 4 a bằng

Câu 22: Cho a 0,a 1, biểu thức Dlog a 3 a có giá trị bằng

Câu 23: Giá trị log 4 4 8 bằng

Câu 24: Giá trị của log3 a a với  0   a 1  là

Câu 25: Cho 0 a 1, biểu thức E a 4log 5 a 2 có giá trị bằng

Câu 26: Cho a là số thực dương khác 1 Tính I log a a

Câu 27: Cho 0 a 1, giá trị của biểu thức P  log a  a a a 3 5  là

Câu 28: Giá trị của biểu thứclog 3.log 36 6 3 bằng

Câu 29: Cho a0 và a1 Khi đó biểu thức P a 8log 7 a 2 có giá trị là

Câu 30: Giá trị của biểu thức B2log 12 3log 5 log 15 log 150 2  2  2  2 bằng

Câu 31: Tìm giá trị của biểu thức sau 36 1

Câu 32: Cho log 2 x 2 Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 3 4

Câu 33: Giá trị của biểu thức 5 7

Câu 34: Cho số thực a0,a1 Giá trị của biểu thức

Câu 35: Tìm giá trị của biểu thức sau 9 125 7

Câu 36: Giá trị của biểu thức 1 1 1 3

Câu 37: Tìm giá trị của biểu thức sau B  log 4  3 7  3 3   log 4  3 49  3 21  3 9 

Câu 38: Nếu log 7 x8log 7 ab 2 2log 7 a b 3  a b ,  0  thì x bằng

Câu 39: Cho 0 a 1 Giá trị của biểu thức

Câu 40: Cho log3 x4log3 a7 log3 b a b  , 0 Giá trị của x tính theo ,a b là

Câu 41: Cho x2000 Giá trị của biểu thức

Câu 42: Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn: a log 7 3 27,b log 11 7 49,c log 25 11  11 Giá trị của biểu thức

Câu 43: Biết log log log3  4  2 y  0, khi đó giá trị của biểu thức A2y1 là

Câu 44: Cho log a b 3 Giá trị của biểu thức log b 3 a

Câu 45: Rút gọn biểu thức: A   log b 3 a  2 log b 2 a  log b a   log a b  log ab b   log b a ta được kết quả là

A b b b  b Biểu thức rút gọn A là

Câu 47: Cho a0,b0;a1,b1,nℝ * , một học sinh tính biểu thức

Bước 1: Plog b alog b a 2   log b a n Bước 2: P log ( ) b a a 2 a n

Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào?

Câu 49: Cho a 0,a 1, biểu thức 2ln 3log 3 2 ln log a a

  thì xy bằng bao nhiêu ?

1 1 1 1 55 log x log x log x  log n x  log x đúng với mọi 0 x 1, giá trị của n là

Câu 52: Rút gọn biểu thức Alog 2.log 3.log 4 log 15 3 4 5 16 ta được kết quả là

2 Câu 53: Kết quả rút gọn của biểu thức C  log a blog b a2 log  a blog ab b  log a b ta được kết quả là

Câu 54: Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A 2 2 bac hai log log 2 n can n 

B 2 2 bac hai log log 2 n can n  

Câu 55: Tính giá trị của biểu thức Pln tan1    ln tan2    ln tan3     ln tan89 

P 2 C P0 D P 2 Câu 56: Cho log 2 x 2 Tính giá trị biểu thức 2 2 1 3 4

Câu 57: Cho f   1  1; f m n     f m      f n  m n ,  m n ,  ℕ * Khi đó giá trị của biểu thức

Câu 58: Cho log9 xlog12 ylog16  x y  Giá trị của tỉ số x y là

Câu 59: Cho , ,a b c lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c b 1;c b 1 Khi đó log c b  alog c b  a bằng:

A.2log c b  a.log c b  a B.3log c b  a.log c b  a C.2log c b  a.log c b  a D.3log c b  a.log c b  a

Câu 1: Biết log 2a, khi đó log16 tính theo a là

Câu 2: Cho alog 2 m và Alog 8 m m, với 0m1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3: Nếu log 3a thì log 9000 bằng

Câu 4: Cho log 9 6 a Tính log 2 3 theo a

Câu 5: Cho log 5a Tính log 50 theo a?

Câu 6: Cho log 5 2 avà log 5 3 b Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 7: Biết log 2a, log 3b thì log 45 tính theo a và b bằng

Câu 8: Cho log 5 2 a Tính log 40 32 theo a ta được

Câu 9: Đặt alog 3, 30 blog 5 30 Hãy biểu diễn log 1350 30 theo a và b

A log 150 3 ab B log 150 3  a b C.log 150 3  a b D log 150 3 a

Câu 11: Cho log 15 3 a Tính Alog 15 25 theo a

 Dạng 3 BIỂU DIỄN LOGARIT THEO CÁC LOGARIT ĐÃ BIẾT

Câu 13: Cho alog 5 2 Ta phân tích được log 10004 ma n, , ,  m n k k

Câu 14: Cho log 5 2 a, log 5 3 b Tính giá trị biểu thức

Câu 15: Biết log 3a, log 7b thì log 8334900 tính theo a và b bằng

Câu 17: Nếu log 2a và log 7 2 b thì log 56 bằng

Câu 18: Cho log 2 a;log 3 b  Tính log 90 6 theo a và b

Câu 19: Nếu log 3 2 a,log 5 2 b thì log 2 6 360 bằng

Câu 20: Biết log 5 3 a và log 2 3 b Tính M log 30 6 theo a và b

Câu 21: Cho alog 5; 3 blog 5 7 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 22: Cho log 3 2 a;log 5 3 b Khi đó log 90 12 tính theo a và b bằng

Câu 23: Cho log 3 5 a,log 5 7 b Tính log 105 15 theo a và b

Câu 24: Cho alog 2 3 và blog 5 3 Tính log 60 10 theo a và b

Câu 25: Nếu log 3 8 p và log 5 3 q thì log 5 bằng

Câu 26: Biết log 5 27 a, log 7 8 b, log 3 2 c thì log 35 12 tính theo , , a b c bằng

Câu 27: Cho log 3a và log 5b Biểu diễn log 1125 6 theo a và b bằng

Câu 28: Cho log 3 2 a, log 5 3 b, log 2 7 c Hãy tính log 63 140 theo , ,a b c

Câu 29: Cho log b a x và log b c y Hãy biểu diễn log a 2  3 b c 5 4  theo x và y

Câu 30: Cho log 5 27 a; log 7 8 b; log 3 2 c Giá trị của log 35 12 bằng

CHỦ ĐỀ 3 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

◈ BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Với u u x    là hàm hợp theo biến x

◈ KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

① Tập xác định: D ℝ ① Tập xác định: D ℝ

② Tập giá trị T   0;   ② Tập giá trị T   0;  

③ Tính đơn điệu: ln 0, y a x a  x ℝ  HS đồng biến trên ℝ

③ Tính đơn điệu: ln 0, y a x a  ℝx  HS nghịch biến trên ℝ

④ Giới hạn đặc biệt: lim lim 0 lim lim x x x x x x y a y a

④ Giới hạn đặc biệt: lim lim lim lim 0 x x x x x x y a y a

⑥ Đồ thị ⑥ Đồ thị Đồ thị hàm số y a x luôn đi qua 2 điểm A     0;1 , B 1; a và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang y=a x x y

① Tập xác định: D   0;   ① Tập xác định: D   0;  

② Tập giá trị T ℝ ② Tập giá trị T ℝ

0 0 lim lim log lim lim log x x a x x a y x y x

Đồ thị hàm số y = log_a x luôn đi qua hai điểm A(1, 0) và B(a, 1), đồng thời nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của hàm số y = a^x và y = log_a x có đặc điểm chung là luôn đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba.

① Hàm số y  log a f x   xác định

② Theo tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit ta luôn có:

③ Hàm số ylog a f x   xác định trên tập K  f x      0, x K

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số    2   1     3    3

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số f x    2 x  1 16  2 x  5

Ví dụ 3: Tập xác định của hàm số       

Ví dụ 4: Tập xác định của hàm số  

 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LOGARIT

Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên âm lớn nhất của tham số m để hàm số ylog2020  x 3 3x 2  2 m  luôn xác định trên khoảng    2; 

Hàm số xác định trên    2;   x 3  3 x 2   2 m  0,     x  2; 

 Dựa vào BBT, suy ra: m 18 Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất của m là 18

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  

1 log 2 3 f x x x m có tập xác định là ℝ

Hàm số xác định trên ℝ

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Với u u x    là hàm hợp theo biến x

Để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm x₀, bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay với chức năng hỗ trợ tính toán.

 Bước 1: Bấm tổ hợp phím Shift +  Bước 2: Nhập hàm số và giá trị x 0 cần tính đạo hàm

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ?

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

Hàm số y logx đồng biến trên tập xác định của nó vì cơ số 10 1

Ví dụ 3: Cho 4 hàm số f x    ln x , g x    2 x 2  4 ,   2020

  , l x    ln  x 2  1  Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng  0;  ?

Hàm số f x    ln x đồng biến trên  0;  vì cơ số e  1

  nghịch biến trên ℝ vì cơ số 2020

20211 Hàm số g x    2 x 2  4 xác định với  x ℝ và 2 0,  0; 

 nên hàm số đồng biến trên  0;  

Hàm số l x    ln  x 2  1  xác định với  x ℝ và 2  

 nên hàm số đồng biến trên  0;  

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số y e cos2x tại x 6

 cos2  cos2 x 2sin2 cos2 x y  x e   x e cos 1

Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây sai?

A Hai hàm số y a x và ylog a x với a1 có cùng tình đơn điệu trên tập xác định

B Đồ thị hàm số y a x với 0 a 1 luôn nằm trên trục hoành

C Đồ thị hàm số ylog a x với 0 a 1 luôn nằm bên phải trục tung

D Hai hàm số y a x và ylog a x đều có đồ thị nằm phía trên trục hoành

Căn cứ vào tính chất của đồ thị hàm mũ ta rút ra kết quả là đáp án D

+) Hai hàm số y a x và ylog a x với a1 cùng đồng biến trên TXĐ

+) y a x nên đồ thị luôn nằm trên trục hoành

+) ylog a x có TXĐ D   0;   nên đồ thị luôn nằm bên phải trục tung

Ví dụ 6: Cho hàm số f x    2 e x  x Đồ thị của hàm số y  f x    có thể là hình vẽ nào sau đây?

Ta có f x     2 e x  1 Xét hàm số g x    2 e x  1

  2 x 0, g x  e   x ℝ Do đó hàm số luôn đồng biến và đi qua điểm M   0;1

4 5 b  b thì ta kết luận gì về ,a b?

Ví dụ 8: Hình bên dưới là đồ thị của ba hàm số ylog , a x ylog , b x y log c x với 0a b c, , 1 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ

Vì đồ thị hàm số y log c x nghịch biến trên  0;  nên 0   c 1 Đồ thị hàm số y log , a x ylog b x đồng biến trên  0;   nên , a b  1

Dựng đường thẳng y1 cắt 2 đồ thị hàm ylog , a x ylog b x lần lượt tại A a     ;1 , B b ;1 nên b a Vậy b a c 

Ví dụ 9: Hình bên dưới là đồ thị của ba hàm số y a y b y c x ,  x ,  x với 0a b c, , 1được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ

Vì đồ thị hàm số y c x nghịch biến trên ℝ nên 0 c 1 Đồ thị hàm số y a y b x ,  x đồng biến trên ℝ nên ,a b1

Dựng đường thẳng x 1 cắt 2 đồ thị hàm y a y b x ,  x lần lượt tại A     1; , a B 1; b nên b a Vậy b a c 

Ví dụ 10: Đạo hàm của hàm số ylog7  x 2 3x4 là

Lời giải x y y = log c x y = log b x y = log a x

Ví dụ 11: Cho hàm số f x    2 x x   1 1 Tính giá trị f    0

Ví dụ 12: Đạo hàm của hàm số y  ln  x  x 2  1  là

Ví dụ 13: Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x     x ln  x  1  trên   0;2

Ví dụ 14:Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x     x ln  x  x 2  4  trên đoạn 0; 5  Khi đó giá trị của biểu thức P e 5  M e m bằng

Ví dụ 15: Cho hàm số ln 1 y 1

 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Ví dụ 16: Cho hàm số y e  x 3  3 mx 2  2 x  2020 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên ℝ

HS luôn NB trên ℝ  y   0,     x ℝ  3 x 2  6 mx  2  e   x 3 3 mx 2  2 x  2020  0,   x ℝ

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 2   6

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2  m  1    4 m  3

Do m nguyên dương nên m   1,2,3  Vậy có 3 giá trị m nguyên dương thỏa mãn

Bài toán lãi kép mô tả một người gửi số tiền A đồng vào ngân hàng với lãi suất r% trong một kì hạn nhất định Nếu không rút tiền, sau mỗi kì hạn, lãi suất sẽ được cộng vào vốn gốc Sau n kì hạn, tổng số tiền nhận được, bao gồm cả vốn lẫn lãi, sẽ được tính toán dựa trên công thức lãi kép.

T n A r (kì hạn ở đây có thể là 1 năm; 1 tháng hoặc k tháng)

 Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ nhất là T 1 A A r %A 1r%

 Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ 2 là T 2T 1T r 1 %T 1 1r%A 1r% 2

 Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ n là

Bài toán 2 liên quan đến việc gửi tiết kiệm hàng tháng, trong đó một người gửi số tiền A đồng vào ngân hàng vào đầu mỗi tháng Với lãi suất hàng tháng là r%, tổng số tiền nhận được sau n tháng sẽ được tính toán dựa trên số tiền gửi và lãi suất áp dụng.

 Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ nhất là T 1 A A r %A 1r%

 Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ hai là

 Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ ba là

 Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối tháng thứ n là

 Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN ta suy ra:

Một người vay ngân hàng số tiền A với lãi suất r% mỗi tháng Sau một tháng, họ bắt đầu hoàn nợ với hai lần trả, mỗi lần cách nhau một tháng và mỗi lần trả là a đồng Số tiền còn nợ ngân hàng sau n tháng được tính toán dựa trên các khoản thanh toán này.

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ nhất là T 1A 1r%a

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ hai là

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ ba là

 Dạng 3 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ MŨ

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối tháng thứ n là

 Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN ta suy ra:

 Chú ý: Để trả hết nợ ta cho T n 0 sẽ tìm ra được thời gian trả hết số tiền đã vay

Bài toán 4 đề cập đến việc gửi tiết kiệm tại ngân hàng A với lãi suất r% mỗi tháng Mỗi tháng, vào ngày tính lãi, người gửi sẽ rút một khoản tiền a để sử dụng Sau n tháng, số tiền còn lại trong tài khoản ngân hàng sẽ được tính toán dựa trên số tiền ban đầu và các giao dịch rút tiền hàng tháng.

Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất hàng năm Nếu lãi suất được nhập vào vốn, sau 15 năm, số tiền người đó nhận được sẽ là bao nhiêu? (Kết quả sẽ được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng).

Theo công thức ở bài toán 1 ta có: T 1510 1 8% 8    15 317.216.911

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8,4% mỗi năm, và lãi suất hàng năm được cộng vào tiền vốn Để tính số năm tối thiểu cần gửi để số tiền thu được vượt quá một mức nhất định, cần áp dụng công thức lãi kép để xác định thời gian cần thiết cho khoản tiết kiệm tăng trưởng.

2 lần số tiền gửi ban đầu

Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n

Vậy số năm tối thiểu là 9 năm

Theo thông tin từ internet, lãi suất tiền gửi của ngân hàng TP Bank là 6,2%/năm Vào ngày 01/01/2020, anh Nguyễn Văn A dự định mua một chiếc laptop trị giá 20.000.000 đồng vào ngày 01/01/2021, vì vậy anh đã quyết định gửi một số tiền T triệu đồng vào ngân hàng Để đạt được số tiền cần thiết, anh Nguyễn Văn A nên gửi số tiền gần với số tiền nào sau đây?

Số tiền anh A nhận được sau 12 tháng được tính bởi công thức:

Một người gửi tiết kiệm với số tiền A đồng và lãi suất 6% mỗi năm, nếu không rút tiền thì lãi sẽ được nhập vào gốc hàng năm Sau 10 năm, số tiền người đó rút ra, bao gồm cả gốc và lãi, vượt quá số tiền ban đầu 100 triệu đồng Câu hỏi đặt ra là số tiền A mà người đó cần gửi là bao nhiêu?

Từ công thức lãi kép ta có A n A  1r  n

Theo đề bài ta có:

Một người gửi đều đặn một khoản tiền T vào ngân hàng hàng tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng Sau 15 tháng, số tiền tích lũy đạt 10 triệu đồng Hãy xác định số tiền T gần nhất trong các lựa chọn được đưa ra.

Với số tiền T gửi đều đặn mỗi tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất r% mỗi tháng, ta có

Sau một tháng, số tiền của người đó là A 1T 1r  đồng

Sau hai tháng, số tiền của người đó là A 2 T 1r T1r T1r   2  1 r  đồng

Sau ba tháng, số tiền của người đó là

… Sau mười lăm tháng, số tiền của người đó là

Theo đề thì sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng nên

Anh Nam có kế hoạch tiết kiệm 2 tỷ đồng trong 8 năm để mua nhà Để đạt được mục tiêu này, anh cần gửi một số tiền nhất định mỗi năm, với lãi suất 8%/năm, lãi suất sẽ được cộng vào vốn Sau khi gửi tiền lần cuối, anh sẽ chờ thêm 1 năm để có đủ số tiền mong muốn.

Anh Nam cần gửi số tiền M hàng năm để sau 8 năm tích lũy được 2 tỉ đồng Trong suốt thời gian này, anh sẽ thực hiện tổng cộng 8 lần gửi tiết kiệm.

Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng và cam kết trả 5 triệu đồng mỗi tháng Để xác định thời gian hoàn tất khoản vay, cần tính toán tổng số tiền lãi và số tiền gốc được thanh toán hàng tháng Tháng cuối cùng, số tiền trả có thể thấp hơn 5 triệu đồng Hãy tính toán để biết sau bao nhiêu tháng người vay sẽ trả hết nợ ngân hàng.

Theo công thức ở bài toán 3, số tiền mà người đó còn nợ sau n tháng là:

T n        Sau n tháng thì người đó sẽ trả hết nợ thì

Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ

Vào năm 1992, số p = 2^756839 - 1 được xác định là một số nguyên tố, đánh dấu nó là số nguyên tố lớn nhất được biết đến tại thời điểm đó Hãy xác định số lượng chữ số của p khi được biểu diễn trong hệ thập phân.

A 227830 chữ số B 227834 chữ số C 227832 chữ số D 227831 chữ số

2 có chữ số tận cùng khác 0 nên 2 756839 và p2 756839 1 có số các chữ số bằng nhau

Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của p2 756839 1 là:

Suy ra p2 756839 1 khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số

Định dạng
Số trang	173
Dung lượng	21,15 MB