Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Bài 7... Giải các phương trình sau:... Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: Bài 6.. Giải các phương t
Trang 1HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
2222
Chương
Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC
1 Kiến thức cơ bản
Gọi và là những số thực dương, và là những số thực tùy ý
= − ⇒ − = ( ) = ⇒ = ∀ ( )
2 Lưu ý
Nếu < thì chỉ xác định khi ∀ ∈ ℤ
Nếu > thì α > β ⇔ α > β
Nếu < < thì α > β ⇔ α < β
→∞
Để so sánh và Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai
số so sánh mới lần lượt là A và B Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của và
Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)
3 Bài tập áp dụng
Bài 1 Với là các số thực dương Hãy rút gọn các biểu thức sau:
1/
2/
+
=
−
−
−
4/
số
Trang 27/ =
+
=
−
−
= +
11/
−
−
−
=
12/
−
−
− −
= − + − −
13/
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau:
5/
và
π
và
7/
và
13/ ( )− và ( )− 14/ π
và
π
15/
−
−
và
19/ − và 20/ π
và
π
21/
−
và
−
Bài 3 So sánh hai số nếu:
1/ < 2/ ( ) > ( ) 3/
và
4/
>
5/ ( − ) < ( − ) 6/ ( − ) < ( − )
Bài 4 Có thể kết luận gì về cơ số nếu:
1/ ( − )− <( − )− 2/ ( + )− > ( + )− 3/
−
<
Trang 34/ ( − )− >( − )− 5/ ( − ) >( − ) 6/
−
>
Bài 5 Đơn giản các biểu thức sau:
1/ = − ( ) − − ( ) − −
( ) ( )
=
−
=
=
( )
=
−
−
−
=
= − + +
9/
Bài 6 Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau:
1/
+
− +
3/
−
4/
5/
= − + +
6/
= − + +
Trang 47/
−
+
−
−
−
−
−
− +
=
−
11/
12/
+
−
13/
=
14/
16/
17/
= + +
Bài 8 Giải các phương trình sau:
+
=
−
=
4/ ( ) = − 5/
−
=
7/
−
− =
=
Bài 9 Giải các bất phương trình sau:
+
<
Trang 5Bài 10 Giải các phương trình sau:
Trang 6Bài 2: LOGARIT
1 Kiến thức cơ bản
a/ Định nghĩa
>
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): =
b/ Tính chất
Nếu > thì > ⇔ > Nếu < < thì > ⇔ <
c/ Các qui tắc tính logarit
Cho > ≠ và > Ta có:
d/ Các công thức đổi cơ số
β
=
2 Bài tập áp dụng
Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:
Trang 710/ = + + 11/ = + 12/ = −
Bài 2 Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán
+
+
Trang 8Bài 4 So sánh các cặp số sau:
+
+ 5/ CM: < <
8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ∗ bài tập 3
Bài 5 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)
+
Trang 913/ −
=
Trang 10Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1 Kiến thức cơ bản
1.1/ Khái niệm
a/ Hàm số lũy thừa = α (α là hằng số)
Tập xác định: = ℝ
Tập giá trị: ! =( +∞)
Tính đơn điệu
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Dạng đồ thị:
Tập xác định: =( +∞)
Tập giá trị: ! = ℝ
Tính đơn điệu
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Dạng đồ thị:
○ Khi > hàm số đồng biến
○ Khi < < : hàm số nghịch biến
>
< <
○ Khi > hàm số đồng biến
○ Khi < < : hàm số nghịch biến
=
>
O 1
=
< <
O
1
Trang 111.2/ Giới hạn đặc biệt
→
+
→
−
=
1.3/ Đạo hàm
L u
L u ýýýý: ( ) = − ⇒( ) = −
2 Bài tập áp dụng
Bài 1 Tính các giới hạn sau:
1/
→+∞
+
+
→+∞
−
→+∞
+
−
4/
+
→+∞
+
+
−
7/
→
−
−
9/
→
−
−
10/
−
→
−
11/
→
−
→+∞
−
Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
=
+ −
=
+
= + Với > nếu chẳn
Với < nếu lẻ
Trang 1213/ +
=
− + Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
=
−
Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
=
+
=
Bài 5 Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
Bài 6 Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1/ = + =
+
+ +
+
−
+
Bài 7 Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra:
1/ " = " " = ( + + ) 2/ " + " = " =
3/ " ># " = + ( − ) # = ( − ) 4/ " = " = − + − + −
5/ " < # " = + # = +
Bài 8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Trang 135/ = − 6/ = 7/ = − 8/ =( )
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Cơ sở lý thuyết
1.1/ Phương trình mũ cơ bản
Với > ≠ thì >
= ⇔
=
1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp
Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( ) = ( )
ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng " = # Với > ≠ thì " = # ⇔ " =#
Trường hợp cơ số có chứa ẩn thì:
Thí dụ 1 Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số)
Trang 144/ Giải phương trình: − − = ( )
−
−
Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: = ( )
2/ Giải phương trình: ( + ) − = ( )
+ 3/ Giải phương trình: ( + ) − =( + )− ( )
Điều kiện:
( )
= −
⇔ + − − − − = ⇔ − = − ⇔ − = −
≥
4/ Giải phương trình: ( + ) − + = ( + )+ ( )
Thí dụ 2 Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa)
Trang 15
( )
( )
$
Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: − + = ( )
%
=
( )
%
%
=
= −
ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
"
%
Dạng 2: " ( )" "
⇒ Chia hai vế cho "
, rồi đặt ẩn phụ
"
(chia cơ số lớn nhất)
Dạng 3: " + " = với = Đặt % " "
%
Thí dụ 1 Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn)
Trang 16Với % = ⇒ = ⇔ = ⇔ = −
3/ Giải phương trình: + − − = ( )
%
%
=
4/ Giải phương trình: − − + = ( )
Điều kiện: ≥
%
%
%
=
%
%
= −
6/ Giải phương trình: + − = ( )
( )
Đặt % = > Khi đó:
( ) ( ) ( )
%
%
%
=
=
Với %
Trang 17
( ) ( )
Đặt
& '
( )
=
=
8/ Giải phương trình: ( + ) (+ + ) = ( )
%
%
=
+
9/ Giải phương trình: + = ( )
Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn
%
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình
(
=
=
Khi đó:
(
+ =
Theo định lí Viét, thì (chính là nghiệm của phương trình: ) − ) + =
Trang 18( )
Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
& '
Trang 1910/ Giải phương trình: − + − = ( )
Đặt % = (* ≤ ≤% )
%
%
%
%
=
Bài giải tham khảo
Đặt: % = >
( )
%
%
=
= −
Với % = ⇒ = ⇔ =
Đặt: % = >
( )
%
%
=
=
Thí dụ 2 Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)
Trang 20Đặt: % = >
%
%
=
4/ Giải phương trình: + = ( )
Điều kiện: ≠
⇔ + − = ⇔ + − =
Đặt: % = >
( )
%
% %
%
= −
=
Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: ( + ) (+ − ) = ( )
%
−
( )
%
−
Thí dụ 3 Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3)