HÌNH HỌA VẼ KỸ THUẬT

Phần I NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT HÌNH HỌA VẼ KỸ THUẬT ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG DƯƠNG THỌ TÔN NỮ HUYỀN TRANG 2 Tập bài giảng hình học hoạ hình vẽ kỹ thuật được bi.

HÌNH HỌA

VẼ KỸ THUẬT

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG - 2019

liệu giảng dạy và học tập ở Trường Đại học Bách khoa Đà Nẵng theo chương trình chuẩn mới nhất của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ 2019 cho hệ tín chỉ chất lượng cao, bao gồm ba tín chỉ Đối tượng sử dụng giáo trình này là sinh viên của Trường Đại học Bách khoa Đà Nẵng, cũng như sinh viên hệ kỹ thuật của các trường đại học khác, đã học qua chương trình phổ thông trung học và đã có những kiến thức cơ bản của môn học hình học không gian.

Mục đích của môn học này là rèn luyện khả năng tư duy không gian của sinh viên, giúp họ nắm vững phương pháp biểu diễn không gian hình học bao gồm các yếu tố hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các mối tương quan giữa chúng lên trên các mặt phẳng, đồng thời biết cách giải các bài toán liên quan đến các yếu tố hình học đó.

Nắm vững các tiêu chuẩn Việt Nam (TCVN) về việc thành lập và quản lý các bản vẽ kỹ thuật Biểu diễn được 6 hình chiếu vuông góc cơ bản, hình chiếu phụ, hình chiếu riêng phần Vẽ hình chiếu trục đo hợp lý theo nhiều hệ Vẽ được hình cắt và mặt cắt Vẽ và đọc được các cấu trúc bên trong và bên ngoài của vật thể Biểu diễn tổng hợp được các đối tượng Đọc hiểu và thiết lập được các bản vẽ kỹ thuật

Cung cấp kiến thức, rèn luyện các đức tính cần thiết như cần cù, tỉ mỉ, sáng tạo, chính xác cho một kỹ sư tương lai.Trang bị cho sinh viên một nền tảng kiến thức vững vàng để tiếp tục chuyển qua giao tiếp đồ hoạ hiện đại trên máy tính

Việc giảng dạy và học tập môn học này sẽ thuận lợi hơn nhiều nếu bên cạnh giáo trình, người dạy trình diễn cho người học với các mô hình và hệ thống các slide động cũng như tĩnh cho từng chương Vì vậy chúng tôi đề nghị các bạn đồng nghiệp trong khả năng cho phép nên xây dựng và sử dụng hệ thống các mô hình và hệ thống các slide trong việc giảng dạy môn học này

Chúng tôi mong nhận được ý kiến của các bạn đồng nghiệp và của các bạn sinh viên trong khi sử dụng tập bài giảng này

CÁC TÁC GIẢ

CÁC KÝ HIỆU QUY ƯỚC DÙNG TRONG SÁCH

Các mặt phẳng hình chiếu:

- Mặt phẳng hình chiếu bằng: P1

- Mặt phẳng hình chiếu đứng: P2

- Mặt phẳng hình chiếu cạnh: P3Các trục hình chiếu x, y, z

Thuộc:  Ví dụ: A  d: điểm A thuộc đường thẳng d

Trùng:  Ví dụ: A  B: điểm A trùng với điểm B

PHẦN 1

Gaspard Monge (1746 – 1818)

HỌA HÌNH

Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế và thi công Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều Gaspard Monge là người tiên phong áp dụng các phương pháp của hình học họa hình để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng bản vẽ 2 chiều

1 MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU

- Mục đích môn học: Bản vẽ là văn kiện kỹ thuật cơ bản để chỉ đạo sản

xuất Bản vẽ được xây dựng nhờ những phương pháp biểu diễn và các hệ thống qui ước Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn làm cơ sở lý luận cho việc xây dựng các bản vẽ là nguồn gốc lịch sử và là một trong những nội dung của Hình học họa hình

Để biểu diễn các đối tượng cụ thể như một bộ phận máy móc, một công trình xây dựng, trước hết phải biết cách biểu diễn các không gian hình học chứa những đối tượng cụ thể ấy

- Đối tượng môn học: Hình học họa hình là một môn học nghiên cứu cách

biểu diễn các không gian bằng những yếu tố hình học của một không gian có chiều thấp hơn, phổ biến nhất là mặt phẳng, rồi dùng các hình biểu diễn ấy để nghiên cứu các không gian ban đầu

Hình học họa hình nhờ bảo đãm được tính trực quan và chính xác nên đã được dùng nhiều trong thực tế để xây dựng các bản vẽ kỹ thuật và nó là một trong những môn học cơ sở của chương trình đào tạo kỹ sư

- Yêu cầu của hình biểu diễn: Muốn đạt được mục đích trên, các hình

biểu diễn phải đạt được các yêu cầu sau:

+ Đơn giản, rõ ràng, chính xác

+ Thỏa mãn tính tương đương hình học hay tính phản chuyển của bản vẽ

* Để học tốt môn hình họa- vẽ kỹ thuật, người học cần nắm vững các kiến thức của hình học sơ cấp nhất là hình học không gian

2.1 Phép chiếu xuyên tâm

1 Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng P, một điểm S

không thuộc P và một điểm A bất kỳ

- Gọi A’ là giao của đường thẳng

SA với mặt phẳng P

*Ta có các định nghĩa sau:

- Mặt phẳng P gọi là mặt phẳng

hình chiếu;

- Điểm S gọi là tâm chiếu;

- Đường thẳng SA gọi là tia

chiếu của điểm A;

- Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A từ tâm S lên mặt phẳng hình chiếu P

2 Tính chất phép chiếu

Tính chất 1: Hình chiếu của một đường thẳng không qua tâm chiếu là một

đường thẳng Nếu đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì suy biến (H-2a)

Tính chất 2: Hình chiếu của của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

đồng qui (điểm đồng qui là hình chiếu điểm vô tận E của hai đường thẳng song song) (H-2b)

2.2 Phép chiếu song song

Nếu cho tâm S của phép chiếu

xuyên tâm ra vô tận ta thu được phép

chiếu song song

1 Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng P, một đường

thẳng s không song song mặt phẳng P

và một điểm A bất kỳ trong không

- Qua A kẻ đường thẳng a // s A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng

P

* Ta có các định nghĩa sau:

- Mặt phẳng P gọi là mặt phẳng hình chiếu;

- Đường thẳng s gọi là phương chiếu;

- Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm A;

- Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu P theo phương chiếu s

Phép chiếu vuông góc là trường hợp

đặc biệt của phép chiếu song song khi

phương chiếu vuông góc với mặt phẳng

hình chiếu (H- 5)

2 Tính chất phép chiếu

Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính

chất của phép chiếu song song, ngoài ra có

thêm các tính chất sau: (H- 6)

- Chỉ có một phương chiếu s duy

2.4 Nhận xét

Các phép chiếu xuyên tâm, song

song và vuông góc nói trên được dùng để

biểu diễn các vật thể trong không gian lên

mặt phẳng Muốn thỏa mãn tính phản

chuyển hay tương đương hình học, mỗi

yếu tố hình học phải biểu diễn bởi hai hình

chiếu, hoặc một hình chiếu và một điều

kiện tương đương

* Phần giáo trình sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc

mà ta gọi là Phương pháp hình chiếu vuông góc

Hình 6: Tính chất phép chiếu vuông góc

1.1 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT ĐIỂM TRONG HỆ HAI MẶT PHẲNG

đường thẳng x theo chiều quay

được chỉ ra trên hình 1.1.a cho đến

khi P1 trùng với P2 Ta nhận được

hình biểu diễn còn gọi là đồ thức

của điểm A trong hệ hai mặt phẳng

- A1: Hình chiếu bằng của điểm A

- A2: Hình chiếu đứng của điểm A

- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2)

P2

P 1

Hình-1.1a,b: Xây dựng hình biểu diễn của một điểm

- Trên hình biểu diễn A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng

* Độ xa của một điểm

- Ta có: gọi là độ xa của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa dương: Khi điểm A nằm phía trước P2

- Cách nhận biết trên hình biểu diễn:

+ Độ xa dương: A1 nằm phía dưới trục x

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của điểm A

- Quy ước:

+ Độ cao dương: Khi điểm A nằm phía trên P1

- Cách nhận biết trên hình biểu diễn:

+ Độ cao dương: A2 nằm phía trên trục x

1.2 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT ĐIỂM TRONG HỆ BA MẶT PHẲNG

- Chiếu vuông góc điểm A

lần lượt lên các mặt phẳng P1, P2 và

P3 ta nhận được các hình chiếu A1,

A2 và A3

- Cố định mặt phẳng P2, quay

mặt phẳng P1 quanh trục x, quay mặt

phẳng P3 quanh trục z theo chiều

quay được chỉ ra trên hình 1.5a cho

đến khi P1 trùng với P2, P3 trùng với

P2 Ta nhận được hình biểu diễn của

+ Độ xa cạnh dương : Khi điểm A nằm phía bên trái P3

- Cách nhận biết trên hình biểu diễn:

+ Độ xa cạnh dương: A1 và A2 nằm phía bên trái trục z

*Lưu ý: Từ đây trở đi xem như P 2 trùng với mặt phẳng tờ giấy, ta sẽ không vẽ chu vi P2 trên hình biểu diễn

1.4 VẼ HÌNH CHIẾU CẠNH CỦA MỘT ĐIỂM

Bài toán: Cho các cặp hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của các điểm

A, B Tìm hình chiếu cạnh của các điểm đó (H-1.6a,b)

Hình chiếu cạnh A3, B3 là giao của hai đường dóng Δ và Δ’ Trình tự vẽ dễ thấy trên các hình 1.6a,b

B1

B3

z(+)

y(+)O

2.1 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt (H-2.1), vì vậy để cho hình biểu diễn của một đường thẳng ta cho hình biểu diễn của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó

Cũng có thể biểu diễn trực tiếp đường thẳng bởi hai hình chiếu của nó, nếu từ hình chiếu d1 và d2 của đường thẳng d ta xây dựng lại đường thẳng d duy nhất trong không gian

Trên hình-2.2 biểu diễn đường thẳng d đi qua hai điểm AB Dễ thấy có d1

đi qua A1B1 và d2 đi qua A2B2

2.2 CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT

2.2.1 Loại song song với một mặt phẳng hình chiếu

1 Đường bằng: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

bằng P1 (H-2.3a,b)

*Nhận xét:

- Hình chiếu đứng của đường bằng thì song song trục x

- Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng thì bằng

A1

B2

d2

d1 d

2

chương

ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG

2

14

2 Đường mặt: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

đứng P2 (H-2.4a,b)

*Nhận xét:

- Hình chiếu bằng của đường mặt thì song song trục x

- Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt thì bằng

= AB

2.2.2 Loại vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu

1 Đường thẳng chiếu bằng: Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

hình chiếu bằng P1 (H-2.6a,b)

*Nhận xét:

- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm

- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x

2 Đường thẳng chiếu đứng: Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

hình chiếu đứng P2 (H-2.7a,b)

*Nhận xét:

- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm

- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x

d1

A1 ≡B1

B2 x

A2

d2 b/

Hình-2.5a,b: Biểu diễn đường cạnh p

F1

E3 z

y

F3

E2

y’O

F2

p2

p1

p3 b/

= EF

3 Đường thẳng chiếu cạnh: Là đường thẳng vuông góc với mặt

2.3 SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

2.3.1 Điều kiện 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường

thẳng thường (không phải đường cạnh) là các hình chiếu cùng tên thuộc nhau

(H-2.9)

2.3.2 Điều kiện 2: Điều kiện cần và đủ để một điểm C thuộc một đường

cạnh AB là tỷ số đơn của ba điểm A,B,C trên hai hình chiếu bằng nhau.(H-2.10)

Trường hợp có sử dụng hình chiếu cạnh ta trở về 2.3.1

Hình-2.8a,b: Biểu diễn đường thẳng chiếu cạnh g

Hình-2.7a,b: Biểu diễn đường thẳng chiếu đứng

- Hình chiếu bằng cuả vết đứng thuộc trục x

- Hình chiếu đứng cuả vết đứng trùng với chính nó

2.5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI ĐƯỜNG THẲNG

2.5.1 Hai đường thẳng cắt nhau

Điều kiện: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường (không phải

đường cạnh) cắt nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau trên một đường dóng

Nói khác đi là hai đường thẳng có một điểm chung (H-2.14)

C1

C2 d2

d1 x

Hình-2.9: Biểu diễn điểm C

thuộc đường thẳng d(AB)

A2

y'x

M

N

2.5.2 Hai đường thẳng song song

Điều kiện : Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng (không phải

đường cạnh) song song là các hình chiếu cùng tên song song nhau (H-2.16)

2.5.3 Hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng không thỏa mãn điều kiện cắt nhau và song song thì chéo nhau

Hình-2.18: Hai đường thẳng a và b chéo nhau trên hình biểu diễn do:

minh mệnh đề trên) (H-2.19)

x

Hình-2.16: a // b

a1

a2 x

b2

b1

2.7 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT MẶT PHẲNG

2.7.1 Các cách biểu diễn

Vận dụng từ hình học không gian, một mặt phẳng có thể được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, bởi một điểm và một đường thẳng không thuộc nhau, bởi hai đường thẳng cắt nhau hay song song Ví dụ các hình biểu diễn của bốn cách xác định trên được cho ở hình -2.20

*Lưu ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách

xác định khác Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

2.7.2 Vết mặt phẳng

Vết mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình

chiếu (H-2.21) Người ta thường chỉ quan tâm vết bằng và vết đứng

1 Vết bằng: Vết bằng mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt

phẳng hình chiếu bằng P1 Vết bằng của một mặt phẳng  thường được ký hiệu

là m (H-2.21)

*Nhận xét:

- Hình chiếu đứng của vết bằng trùng với trục chiếu m2 x

- Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó m1 m

2-Vết đứng: Vết đứng mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với

mặt phẳng hình chiếu đứng P2 (H-2.21)

*Nhận xét:

- Hình chiếu bằng cuả vết đứng trùng với trục chiếu n1 x

- Hình chiếu đứng cuả vết đứng trùng với chính nó n2 n

*Lưu ý:

Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì vết của đường thẳng thuộc các vết

tương ứng của mặt phẳng.

Hai vết cuả mặt phẳng phải giao nhau trên trục x hoặc song song với trục

x (do vị trí tương đối của 3 mặt phẳng trong không gian)

Mặt phẳng cho bằng các vết là đơn giản và thuận tiện nếu các bài toán sau

nầy cần đến đường bằng, đường mặt của mặt phẳng (mục 3.5)

2.8 CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG

2.8.1 Loại vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu

1 Mặt phẳng chiếu bằng: Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

2 Mặt phẳng chiếu đứng: Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

3 Mặt phẳng chiếu cạnh: Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình

A

β

B

*Nhận xét:

- Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh thì song song trục x

- Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng

Hình-2.24a,b: Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh  là đường thẳng 3 Vết đứng n và vết bằng m cùng song song với trục x

mγ // nγ // x ; A3B3C3  3

2.8.2 Loại song song với một mặt phẳng hình chiếu

1 Mặt phẳng bằng: Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

- Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy biến thành một đường thẳng

song song với trục x

- Hình chiếu đứng của một miếng phẳng thuộc mặt phẳng mặt thì bằng chính nó

Hình-2.26a,b: Mặt phẳng mặt  được biểu diễn bằng tam giác DEF

3 Mặt phẳng cạnh: Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình

chiếu cạnh P3

*Nhận xét:

- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến

thành một đường thẳng vuông góc với trục x

- Hình chiếu cạnh của một miếng phẳng thuộc mặt phẳng cạnh thì bằng chính nó

Hình-2.27a,b: Mặt phẳng cạnh  được biểu diễn bằng tam giác ABC

J

2.9 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA MẶT PHẲNG

Để biểu diễn một đường thẳng hoặc một điểm thuộc một mặt phẳng, ta dựa

vào hai mệnh đề dưới đây của hình học không gian:

1 Một đường thẳng thuộc một mặt phẳng nếu nó có hai điểm thuộc mặt

phẳng

2 Một điểm thuộc một mặt phẳng nếu nó thuộc một đường thẳng của mặt

phẳng

Các bài toán về biểu diễn điểm và đường thẳng trên mặt phẳng có mối

liên quan hỗ trợ nhau mà chủ yếu là sự liên thuộc của điểm và đường thẳng

Các bài toán trên là các bài toán cơ bản của mặt phẳng sử dụng để biểu diễn

các hình trên mặt phẳng, vẽ các bài toán giao và các mặt hình học sau nầy

2.9.1 Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I và một

đường thẳng d thuộc mặt phẳng α đó Biết hình

chiếu đứng d2, tìm hình chiếu bằng d1

Hình- 2.28: Đường thẳng d cắt các đường

thẳng a, b tại hai điểm A, B của mặt phẳng (a, b)

và biết A2  a2, B2  b2

Theo mệnh đề 1, hai điểm A, B đủ xác

định đường thẳng d thuộc mặt phẳng a, b Dựa

vào sự liên thuộc điểm và đường thẳng dễ dàng

- Gắn điểm K vào một đường

thẳng g bất kỳ trên mặt phẳng đã cho β

(g  β)

- Xem g xác định bởi hai điểm

C, D với C  c và D  d

- Vẽ hình chiếu g2 nào đó đi

qua K2 Lại gắn g2 vào hai điểm C2,

D2, rồi vẽ được g1 như bài toán cơ bản

Hình-2.28: Biểu diễn đường thẳng d thuộc α(a, b)

2.10 MẶT PHẲNG SONG SONG

Trong hình học không gian ta có

định lý sau:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để

hai mặt phẳng song song nhau là trong

mặt phẳng nầy có hai đường thẳng giao

nhau tương ứng song song với hai đường

thẳng giao nhau trong mặt phẳng kia

Từ đó ta suy ra hình biểu diễn của

hai mặt phẳng song song nhau

Trên hình-2.30 biểu diễn hai mặt

phẳng song song (a,b) và (c,d), trong đó

các cặp đường thẳng a và c; b và d thuộc

hai mặt phẳng trên song song

nhau đôi một

2.11 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Trong hình học không gian ta có định lý sau:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt

phẳng là đường thẳng đó song song với một đường thẳng của mặt phẳng

Ví dụ: Qua điểm A vẽ đường thẳng d song song với mặt phẳng (a,b), đã

được c1 Từ đó vẽ d1 đi

qua A1 và song song c1

3.1 GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG

Nội dung chính của mục nầy là vẽ giao tuyến hai mặt phẳng Hai mặt

phẳng giao nhau theo giao tuyến là một đường thẳng Nguyên tắc chung là xác

định hai điểm chung của chúng rồi nối lại bằng một đường thẳng

3.1.1 Giao của một mặt phẳng và một mặt phẳng chiếu

Nếu một trong hai mặt phẳng là mặt phẳng chiếu thì một hình chiếu

của giao tuyến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu

Để xác định hình chiếu thứ hai của giao tuyến, ta áp dụng bài toán đường

thẳng thuộc mặt phẳng còn lại

Ví dụ : Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng  và mặt phẳng (a,b)

thẳng của mặt phẳng (a,b), hình chiếu

đứng g2 đã biết, nên dễ dàng suy ra g1

theo bài toán cơ bản 1 trên mặt phẳng

(a,b)

3.1.2 Giao của hai mặt phẳng bất kỳ

Trong trường hợp tổng quát, để tìm giao tuyến g của hai mặt phẳng  và 

ta phải xác định hai điểm chung nào đó của giao tuyến bằng phương pháp mặt

phẳng phụ trợ Nội dung của phương pháp nầy gồm ba bước như sau: (H-5.3)

c/Vẽ giao điểm I của

các giao tuyến phụ trợ m và

thứ hai ’ Qua ba bước như

trên, ta sẽ tìm thêm một điểm K nào đó thuộc giao tuyến g I và J xác định giao tuyến g của  và 

Ví dụ : Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (a,b) và (c,d) (H-3.3)

Giải: Xác định điểm chung thứ nhất I của hai mặt phẳng (a,b) và (c,d)

- Dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng  Hình chiếu đứng của  là đường thẳng 2

- Vẽ các giao tuyến phụ trợ ( áp dụng trường hợp đặc biệt ở trên)

- m =  x (a,b) ; m2  2 , suy ra m1

- n =  x (c,d) ; n2  2 , suy ra n1

- Vẽ giao điểm của hai giao tuyến phụ trợ :

I = m x n ; I1 = m1 x n1 , suy ra I2 Tương tự ta dùng mặt phẳng phụ trợ thứ hai ’ Để thuận lợi ta có thể dùng

’ song song  vì lúc đó các giao tuyến phụ trợ mới sẽ tương ứng song song với

m và n Ta được điểm thứ hai J của giao tuyến

Hai điểm I và J xác định giao tuyến g cần tìm (H-3.3)

3.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

3.2.1 Giao của một đường thẳng và một mặt phẳng chiếu

Nếu mặt phẳng là mặt phẳng chiếu và đường thẳng bất kỳ, trường hợp nầy một hình chiếu của giao điểm xem như đã biết, nó chính là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu và hình chiếu cùng tên của đường thẳng

Để xác định hình chiếu còn lại, áp dụng bài toán điểm thuộc đường thẳng

Ví dụ: Vẽ giao của đường thẳng d với mặt phẳng chiếu đứng  (H-3.4)

Giải: Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng chiếu đứng 

Vì  vuông góc P2 nên biết I2 = d2 x 2 Dễ dàng suy ra I1  d1

3.2.2 Giao của một đường thẳng chiếu và một mặt phẳng

d2

I1

I2

d1 x

Nếu đường thẳng là đường thẳng chiếu và mặt phẳng bất kỳ, trường hợp nầy một hình chiếu của giao điểm cũng xem như đã biết, nó trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng chiếu

Để tìm hình chiếu còn lại, áp dụng bài toán điểm thuộc mặt phẳng

Ví dụ: Vẽ giao điểm K của đường thẳng chiếu đứng d và mặt phẳng

(a,b) (H-3.5)

Giải: Vì d vuông góc P2 nên biết I2  d2 Áp dụng bài toán điểm thuộc mặt phẳng (a,b) vẽ được K1

3.3 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM

Giả sử có đoạn thẳng AB được biểu diễn bằng các hình chiếu Xác định độ dài của AB theo các hình chiếu ấy.(H-3.6a)

Trước hết vẽ AC // A1B1 Ta có mối quan hệ các yếu tố giữa một tam giác vuông ABC với các yếu tố của hình họa như sau:

- Cạnh huyền AB của tam giác là độ dài thật đoạn thẳng AB;

- Cạnh góc vuông 1, AC= A1B1 là hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB;

- Cạnh góc vuông 2, BC chính bằng hiệu độ cao của hai điểm A và B;

- Góc  của AB và AC chính là góc của AB với A1B1, tức là góc của AB đối với P1

Vậy trên hình biểu diễn, muốn vẽ độ lớn của AB và góc  của AB với P1

ta vẽ như hình học phẳng Nghĩa là vẽ một tam giác vuông với một cạnh góc vuông bằng A1B1, và cạnh kia bằng hiệu độ cao của AB Cạnh huyền của tam giác vừa vẽ là độ dài thật của AB Góc nhọn ứng với A1B1 là góc của AB đối với

Phương pháp trên còn gọi là phương pháp tam giác vuông (H-3.6b) Với

phương pháp nầy ta dễ dàng xác định hai yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại

Tương tự, ta cũng có một tam giác vuông trên hình chiếu đứng mà độ dài thật AB là cạnh huyền; một cạnh góc vuông là hình chiếu đứng A2B2; cạnh kia bằng hiệu độ xa của AB Với tam giác nầy ta có góc nghiêng  của AB với P2 (H-3.7a,b)

Ví dụ: Xác định độ dài của đoạn thẳng

cạnh AB (H-3.8)

Hiệu độ xa của AB là A1B1 Cạnh huyền

của một tam giác vuông mà một cạnh là A2B2

,cạnh thứ hai là A2A0 dài bằng A1B1 cho ta độ

dài của AB (Dĩ nhiên có thể xác định độ dài

của AB bằng cách vẽ tam giác vuông B1A1A0

trên hình chiếu bằng, ở đây B1A0 = A2B2.)

* Lưu ý: Biết cách xác định độ dài của

một đoạn thẳng ta có thể xác định diện tích của

một tam giác, một đa giác và do đó của một

hình phẳng nói chung

3.4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Phương pháp tổng quát để tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là:

- Qua điểm vẽ một đường thẳng vuông góc với mặt phằng;

- Tìm giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với mặt phẳng;

C a/

A1

Độ dài thật AB

Δy b/

(Hiệu độ xa AB)

- Dùng phương pháp tam giác vuông xác định độ lớn thật của đoạn vuông góc.(H-3.6, 37)

- Trường hợp mặt phẳng là mặt phẳng chiếu thì đoạn vuông góc sẽ là đọan thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu, nên độ lớn thật thể hiện ngay trên hình chiếu Trên hình- 3.10, mặt phẳng đã cho là chiếu đứng và khoảng cách cần tìm thể hiện ngay trên hình chiếu đứng

Khi tìm độ lớn của một đoạn đường bằng ta thấy ngay độ lớn của nó ở

hình chiếu bằng Khi vẽ giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng chiếu,

ta biết một hình chiếu của nó và vẽ hình chiếu thứ hai khá dễ dàng Sở dĩ được như thế vì các yếu tố đã cho ở vị trí đặc biệt, phù hợp với yêu cầu bài toán

Trong hình học họa hình, người ta sử dụng các phép biến đổi hình chiếu để biến những hình chiếu đã cho thành những hình chiếu mới có vị trí thích hợp, giúp ta giải quyết bài toán dễ dàng hơn

Muốn cho một hình  có vị trí bất kỳ trở thành có vị trí đặc biệt ta có thể làm theo hai cách sau:

- Giữ nguyên hình , thay hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ bằng một hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới sao cho đối với hệ thống mặt phẳng hình chiếu nầy, hình  có vị trí đặc biệt

- Giữ nguyên hệ thống mặt phẳng hình chiếu, thay đổi vị trí của  sao cho

ở vị trí mới hình  có vị trí đặc biệt đối với hệ thống mặt phẳng hình chiếu

4.1 PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ĐỨNG

Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng P2 là dùng mặt phẳng P’2 vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P1, làm mặt phẳng hình chiếu đứng mới (H-4.1)

1 Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu

- Gọi x’ ≡ P’2 x P1 là trục hình chiếu mới

- Giả sử điểm A trong hệ thống (P1, P2) có hình chiếu là (A1, A2).- Chiếu vuông góc điểm A lên P’2 ta có hình chiếu A’2 Cố định P1 xoay P’2 quanh trục x’cho đến khi P’2≡ P1

- Ta nhận được các hình biểu diễn của điểm A trong hệ thống (P1, P’2); A’2

là hình chiếu đứng mới của điểm A

4

chương

PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

33

2 Tính chất

Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới ( P1, P’2), xét một điểm A với các hình chiếu A1, A2, A’2: (H-4.1b)

- Hình chiếu bằng A1 không thay đổi

- Độ cao của A trong hệ thống mới và cũ bằng nhau AxA2 = Ax’A’2

3 Qui ước

Trên hình-4.1b, ở trục x’ ghi chữ P1 về phía độ xa dương, chữ P’2 về phía

có độ cao dương của điểm A

Ví dụ 1: Thay đổi mặt phẳng hình

chiếu đứng mới sao cho đường thẳng AB trở

thành đường mặt trong hệ thống mới (H-6.2)

Giải: Nếu AB là đường mặt thì hình

chiếu bằng A1B1 phải song song với trục

hình chiếu mới x’ Vậy ta dùng mặt phẳng

hình chiếu đứng mới P’2 sao cho A1B1 // x’

Độ cao của A và B không thay đổi nên ta dễ

dàng vẽ được A’2 và B’2

Có thể dùng phương pháp vừa vẽ để

tìm độ dài của AB vì dễ thấy A’2B’2 = AB

A’2 A’x

hai mặt phẳng P1 và ABC nên nó

phải vuông góc với đường bằng của

ABC Vậy ta vẽ một đường bằng của

mặt phẳng ABC, chẳng hạn AD

Muốn AD trở thành vuông góc với

P’2 (đường thẳng chiếu đứng) thì

A1D1 phải vuông góc với trục x’

Hình chiếu đứng mới của AD

là A’2  D’2 và hình chiếu đứng mới

của mặt phẳng ABC là đường thẳng

B’2A’2C’2

Có thể dùng bài toán trên để

tìm góc của một mặt phẳng đối với

mặt phẳng hình chiếu bằng hoặc vẽ

giao điểm của đường thẳng và mặt

phẳng

4.2 PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG

Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P1 là dùng mặt phẳng P’1 vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P2, làm mặt phẳng hình chiếu bằng mới (H4.4)

1 Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu

- Gọi x’ ≡ P’1 x P2 là trục hình chiếu mới

- Giả sử điểm A trong hệ thống (P1, P2) có hình chiếu là (A1, A2)

- Chiếu vuông góc điểm A lên P’1 ta có hình chiếu A’1 Cố định P2 xoay P’1 quanh trục x’cho đến khi P’1≡ P2

- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (P2, P’1), A’1 là hình chiếu bằng mới của điểm A

2 Tính chất

Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới ( P2, P’1), xét một điểm A với các hình chiếu A1, A2, A’1: (H-4.4b)

- Hình chiếu đứng A2 không thay đổi

- Độ xa của A trong hệ thống mới và cũ bằng nhau AxA1 = Ax’A’1

3 Qui ước

Trên hình-4.4b, ở trục x’ ghi chữ P2 về phía độ cao dương, chữ P’1 về phía có độ xa dương của điểm A

Ví dụ 3: Thay đổi mặt phẳng hình

chiếu bằng để cho đường mặt AB trở

thành đường thẳng chiếu bằng trong hệ

thống mới (H-4.5)

Giải: Nếu CD đã trở thành một

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

hình chiếu bằng mới P’1 thì C2D2 vuông

góc với x’ Vậy ta thay P1 thành P’1 sao

cho C2D2  x’ rồi suy ra C’1  D’1

*Lưu ý: Từ ví dụ nầy cũng như ví

dụ 2 (H-4.3) ở trên, ta có thể chuyển một

đường mặt thành đường thẳng chiếu bằng

và đường bằng thành đường thẳng chiếu

Giải: Muốn cho mặt phẳng DEF

song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

mới P’1 thì trục hình chiếu mới x’ phải

song song với D2E2F2

Từ đó vẽ được D’1E’1F’1 và dễ thấy:

x'P' 1

x'

P 2 P' 1

P2

P1

5.1 ĐƯỜNG CONG

5.1.1 Khái niệm

Đường cong hình học có thể xem như là tập hợp của một điểm chuyển

động theo một qui luật nào đó Thí dụ đường tròn là tập hợp các vị trí kế tiếp của

một điểm chuyển động trong một mặt phẳng và luôn cách đều một điểm cố định

của mặt phẳng đó, gọi là tâm đường tròn;

khoảng cách không đổi là bán kính của đường

tròn

Trên hình-5.1 vẽ đường cong (c) bất kỳ

và một điểm M Tại M ta sẽ có một tiếp tuyến

t và một mặt phẳng pháp tuyến P vuông góc t

- Nếu mọi điểm của đường cong cùng

thuộc một mặt phẳng thì ta có đường cong

phẳng Ví dụ những đường cong phẳng hay

gặp là những đường bậc 2 như đường tròn,

ellipse, parabol, hyperbol Có thể nói ellipse,

parabol, hyperbol là những đường cong bậc 2

lần lượt không có điểm vô tận, có một điểm vô tận, có hai điểm vô tận Đường

tròn được xem như ellipse đặc biệt có hai trục bằng nhau

Hình-7.6 vẽ một ellipse có cặp trục AB và CD, một cặp đường kính liên

hiệp bất kỳ MN và PQ

- Nếu các điểm của đường cong không cùng thuộc một mặt phẳng thì ta có

đường cong ghềnh Ví dụ những đường cong ghềnh như xoắn ốc trụ, xoắn ốc

nón,…Hình-7.7 vẽ một đường xoắn ốc trụ có vòng chuẩn i và bước là đoạn h

- Nếu đường cong được biểu diễn bằng phương trình đại số bậc n thì được

gọi là đường cong đại số bậc n Ví dụ phương trình chính tắc của một parabol là

y2 = 2px (p>0)…

Hình-5.1: Đường cong (c) và

các yếu tố

Mn(c)t

P

5

chương

BIỂU DIỄN ĐƯỜNG VÀ MẶT

37

5.1.2 Hình chiếu của một đường cong

Ta nghiên cứu một số tính chất:

1/Hình chiếu xuyên tâm hay song song

của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm nói

chung là tiếp tuyến của hình chiếu đường cong

tại hình chiếu điểm đó (H-5.4)

2/Hình chiếu của đường cong đại số bậc

n, nói chung là một đường cong đại số bậc n

3/Hình chiếu vuông góc của đường cong

đại số bậc n lên mặt phẳng đối xứng của nó

(nếu có) là một đường cong phẳng đại số

có bậc n/2

*Lưu ý: Hình chiếu của ellipse, parabol,

hyperbol nếu không suy biến sẽ lần lượt là

ellipse, parabol, hyperbol

Khi vẽ chúng, ta cần quan tâm đến các trục đối xứng hoặc hình chiếu trục đối xứng của chúng Hình chiếu song song của cặp đường kính liên hợp của ellipse là cặp đường kính liên hợp của ellipse Riêng đường tròn ta phải khảo sát thêm dưới đây

5.1.3 Đường tròn

Hình chiếu vuông góc của đường tròn nói chung là một ellipse Với trục dài là hình chiếu của đường kính đường tròn song song với mặt phẳng hình chiếu tương ứng Do đó trục dài của ellipse bằng đường kính của đường tròn được chiếu Cặp đường kính vuông góc của đường tròn chiếu thành cặp đường kính liên hợp của ellipse Trong hình họa một ellipse hoàn toàn xác định khi biết cặp

NP

(c')

t

t'

trục hoặc cặp đường kính liên hợp

Ví dụ: Hãy vẽ hình chiếu của đường

ellipse với trục dài C2D2, trục ngắn bằng 0

Trên hình-5.5 vẽ hình chiếu bằng

đường tròn là ellipse tâm O1, trục dài A1B1

= 2R là hình chiếu của đường kính AB

song song mặt phẳng hình chiếu bằng P1

(AB là đường thẳng chiếu đứng) Trục ngắn

Đa diện là một mặt kín tạo thành bởi các đa

giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh (H-5.6)

Các đa giác tạo thành đa diện gọi là các mặt của đa

diện Các cạnh và các đỉnh của đa giác gọi là các

cạnh và các đỉnh của đa diện Nhiều khi người ta

cũng gọi vật thể giới hạn bởi các mặt của đa diện là

đa diện Để tránh nhầm lẫn ta thống nhất đa diện là

một mặt Các đa diện thường gặp là mặt tháp và lăng

đa diện lồi

Hình-5.6: Đa diện lồi

Hình-5.7: Mái che công trình bằng tổ hợp đa diện

Hình-5.5: Biểu diễn đường tròn

A1

O2

C2