6.2.1. Mặt phẳng chiếu: Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu, mặt kia là bất kỳ thì một hình chiếu của giao tuyến thuộc hình chiếu suy biến của mặt phẳng. Áp dụng bài toán về điểm thuộc mặt, vẽ hình chiếu thứ hai của giao tuyến.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng α (α2) với mặt tháp S(ABC). (H-6.3)
Giải: Vì bài toán cho α là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với hình chiếu suy biến α2của α.
Giao tuyến là tứ giác 1234. Điểm 2 thuộc đường cạnh SB, được gắn song song với đoạn BC chẳng hạn để suy ra 21. Nói chung tìm hình chiếu bằng của giao tuyến ta đưa bài toán trở về điểm và đoạn thẳng thuộc mặt tháp.
*Lưu ý: Đoạn 1141 khuất; Điểm 31, 2’1 , 41 thẳng hàng, do đó không cần tìm điểm 2’1 .
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng α(α2) với mặt nón tròn xoay trong trường hợp mặt phẳng α cắt tất cả các đường sinh của nón.(H-6.4)
Hình-6.3: Giao đa diện theo đa giác
B1
21
11
A1 2’1
C1
≡42
A2 B2 C2
J2
22
32
α2
S2
12
J1
41
31
S1
GIAO MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 48
- α cắt mặt nón theo đường ellipse (e) mà hình chiếu đứng suy biến thành đoạn A2B2 thuộc α2.
- A1B1 là trục dài của ellipse trên hình chiếu bằng.
- Lấy I2 là trung điểm A2B2 → I1 là trung điểm của A1B1. I1 là tâm đối xứng của ellipse trên hình chiếu bằng.
- C2 ≡ D2, Ta vẽ C1D1 nhờ đường tròn thuộc mặt phẳng nằm ngang đi qua CD (bài toán điểm thuộc mặt nón). C1D1 là trục ngắn của ellipse (e).
*Lưu ý: Người ta đã chứng minh rằng: Hình chiếu bằng S1 của đỉnh nón là một tiêu điểm của ellipse vừa vẽ ở trên..
- Trường hợp mặt phẳng α song song với một đường sinh, α sẽ cắt nón theo parabol (p) có hình chiếu đứng là đoạn A2B2.
- Trường hợp mặt phẳng α song song với hai đường sinh ,α cắt nón theo hyperbol (h) có hình chiếu đứng là đoạn A2B2.
Ví dụ 3: Hãy vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng α và mặt cầu tâm O.(H- 6.5)
Giải: Giao tuyến là đường tròn tâm I, hình chiếu đứng của nó suy biến thành đoạn A2B2α 2 (vì α P2), và đường kính của nó bằng A2B2.
Dùng bài toán cơ bản điểm thuộc cầu
đi vẽ hình chiếu bằng giao tuyến:
Hình chiếu bằng đường tròn giao tuyến là đường ellipse mà trục dài là C1D1, hình chiếu đứng của đường kính CD vuông góc với P2 nên suy biến, C1D1 = A2B2 và trục ngắn là A1B1.
Nhìn hình chiếu đứng ta thấy α cắt đường tròn xích đạo ở hai điểm T, T' (T2 T'2) nên ở hình chiếu bằng T1 và T'1 là hai tiếp điểm của ellipse và đường bao mặt cầu, cũng là hai giới hạn thấy khuất của ellipse.
6.2.2. Mặt lăng trụ hoặc mặt trụ
T'1
Hình-6.5: Mặt phẳng giao cầu
(v1) T1
I2
C2D2
(v2)
(u1) O2
B2
(u2) )
O1
B1
C1
I1
α2
T2
T’2
A1
A2
J2
A2
C2≡D2
B2
S2
α2
A1 B1
D1
J1
(e1) (e2)
I1
S1
I2
C1
Hình-6.4: Giao theo ellipse
GIAO MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 49
chiếu: Nếu mặt đã cho là mặt lăng trụ hoặc mặt trụ chiếu (đường sinh là đường thẳng chiếu), mặt phẳng là bất kỳ thì một hình chiếu của giao tuyến trùng với hình chiếu suy biến của lăng trụ hoặc trụ. Vẽ hình chiếu thứ hai của giao tuyến bằng cách áp dụng bài toán về điểm, đường thẳng thuộc
mặt phẳng.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụ chiếu bằng được cho như trên hình-6.6b.
Giải: Ta biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến là tam giác A1B1C1 trùng với a1b1c1. (H-6.6a)
Tìm các đỉnh A2, B2, C2 bằng việc giải bài toán cơ bản điểm thuộc mặt phẳng α(mα, nα). Phần thấy khuất thể hiện như hình-6.6b. Vì mặt (ac) khuất trên hình chiếu đứng, do đó A2C2 khuất.
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình-6.7b.
( Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P1 )
Giải: Giao tuyến của mặt phẳng α với trụ là đường ellipse (e). Vì mặt trụ là chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến (e1) trùng với hình chiếu suy biến (đường tròn) của mặt trụ. (H-6.7a)
Áp dụng bài toán cơ bản thuộc mặt phẳng α, vẽ hình chiếu đứng (e2). Lưu ý mặt phẳng đối xứng chung của α và trụ là . Trên hình chiếu bằng có 1 suy biến và vuông góc mα. (H-6.7b)
Vẽ hình chiếu đứng của trục dài AB có đường kính A2B2, trong đó A2 là điểm cao nhất và B2 là điểm thấp nhất.
b2
a2
nα
c2
B1
C1
A1≡a1
A2
C2
B2 x
≡b1
≡c1
b/
Hình-6.6a,b: Mặt phẳng giao lăng trụ chiếu bằng
a/
B1
C1
a1
A A1≡
C
B c a
b
≡ b1
≡c1
nα
mα
P2
x
P1
GIAO MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT 50
Vẽ hình chiếu đứng trục ngắn CD có đường kính C2D2, liên hợp với đường kính A2B2.
Vẽ hai điểm giới hạn thấy khuất J, K của ellipse trên hình chiếu đứng.
Nối các điểm vừa dựng ta có ellipse (e2) như hình-6.7b