Phương pháp tọa độ trong không gian trích chuyên mức độ 2

Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN MỨC ĐỘ 2 Trích đề thi thử THPT 2018 các trường Chuyên Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 1[.]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - MỨC ĐỘ 2

Trích đề thi thử THPT 2018 các trường Chuyên

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1− , ) B(2; 1;3− ), C(−4; 7;5) Tọa

độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là

I BC=2AB II Điểm B thuộc đoạn AC

III ABC là một tam giác IV A, B, C thẳng hàng

Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x+3y− =9 0, y+2z+ =5 0

Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Câu 6: Trong không gian với hê ̣ trục tọa độ Oxy, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để

Câu 8: Cho điểm M(2;1; 0) và đường thẳng : 1 1

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0; 1), B(−1; 2; 2) và song

song với trục Ox có phương trình là

Câu 14: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng ( )P đi qua điểm B(2;1; 3− ), đồng thời

vuông góc với hai mặt phẳng ( )Q :x+ +y 3z= , 0 ( )R : 2x− + = là y z 0

A m= 2 B m∈ −( 1;3) C m∈ − + ∞ ( 1; ) D m∈ −( 1;3 \ 0; 2) { }

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B nằm trên mặt cầu có phương

trình ( ) (2 ) (2 )2

x− + y+ + +z = Biết rằng AB song song với OI , trong đó O là gốc tọa

độ và I là tâm mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng trung trực AB

A 2x− − −y z 12=0 B 2x+ + − =y z 4 0 C 2x− − − =y z 6 0 D 2x+ + + =y z 4 0

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 2− ); B(2; 1; 1) và mặt phẳng

( )P :x+ + + = My z 1 0 ặt phẳng ( )Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng ( )P Mặt phẳng

( )Q có phương trình là:

A − + =x y 0 B 3x−2y− + =z 3 0

C x+ + − =y z 2 0 D 3x−2y− − =z 3 0

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; 3; 0− ) Bán kính mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(3; 2; 4), C(0;5; 4)

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA MB + +2MC

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) và đường thẳng d có phương trình

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 4 ,− ) (B −3;5; 2) Tìm tọa độ

điểm M sao cho biểu thức 2 2

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có t ất cả các cạnh đều bằng a Tính theo a khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và SC

; b =5

Tìm T = −a b 

Câu 28: Trong không gian Oxyz cho A(1; 1; 2− ), B(−2; 0;3), C(0;1; 2− G) ọi M a b c ( ; ; ) là điểm thuộc

mặt phẳng (Oxy sao cho bi) ểu thức S=MA MB  +2MB MC  +3MC MA 

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(1; 0;1), B(2;1; 2), D(1; 1;1− ),

(4;5; 5)

C′ − Tính tọa độ đỉnh A′ của hình hộp

A A′(4; 6; 5− ) B A′(2; 0; 2) C A′(3;5; 6− ) D A′(3; 4; 6− )

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; 2− M) ặt phẳng ( )α đi qua H và cắt các trục Ox ,

Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O

và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α

A x2+y2+z2 =81 B x2+y2+z2 = 1 C x2+y2+z2 = 9 D x2+y2+z2 =25

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;3; 1− và m) ặt phẳng ( )P :x−2y+2z= G1 ọi N là

hình chiếu vuông góc của M trên ( )P Vi ết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN

A x−2y+2z+ =3 0 B x−2y+2z+ =1 0 C x−2y+2z− =3 0 D x−2y+2z+ =2 0

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(3;1; 2− , ) C(1;5; 4) Biết

rằng tâm hình chữ nhật A B C D′ ′ ′ ′ thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

M − Hai đường thẳng ( )d , 1 ( )d2 đi qua M và tiếp xúc mặt cầu ( )S lần lượt tại A,

B Biết góc giữa ( )d và 1 ( )d2 bằng α với cos 3

và ∆ cắt

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; 1− , ) B(1;1;3) Tìm tọa độ điểm M

thuộc (Oxy sao cho MA MB)  +

Câu 39: Cho tam giác ABC với A(2; 3; 2− ), B(1; 2; 2− ), C(1; 3;3− ) Gọi A′, B′, C′ lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A, B, C lên mặt phẳng ( )α : 2x− +y 2z− = 3 0.Khi đó, diện tích tam giác

trên mặt phẳng (Oxy )

A

010

x

y t z

x t

y t z

y t z

y t z

và mặt phẳng ( )P : 2x+2y− +z 24= G0 ọi H là hình chiếu vuông góc của I trên ( )P Điểm

M thuộc ( )S sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất Tìm tọa độ điểm M

A M(−1; 0; 4) B M(0;1; 2) C M(3; 4; 2) D M(4;1; 2)

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 2;1) Mặt phẳng ( )P đi qua M và cắt các trục tọa độ

Ox , Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm của tam giác ABC Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( )P ?

A 2x+ + − =y z 9 0 B 3x+2y+ −z 14=0

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )T có tâm I(1;3; 0) ngoại tiếp hình chóp

đều S ABC , SA=SB=SC= 6, đỉnh S(2;1; 2) Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC )

bằng

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho H(1;1; 3− ) Phương trình mặt phẳng ( )P đi

qua H cắt các trục tọa độ Ox , Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O ) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là

M là trung điểm BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM bằng

Câu 47: Trong không gian Descartes Oxyz cho điểm M(1; 1; 2− ) và mặt cầu ( ) 2 2 2

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0;3;1), C(−1; 4; 2) Độ

dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC :

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz , cho m) ặt phẳng ( )P :x+ −y 2z− = và m6 0 ặt phẳng

( )P′ − − +: x y 2z+ =2 0 Xác định tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ( )P và tiếp xúc với ( )P′

= −



 =

B′

C′

D′

u M

Véc tơ chỉ phương của d :2 2 3 9 0

x y z t

Câu 8:

Lời giải Chọn D

Gọi H là giao điểm của d và ∆, khi đó giá của MH

vuông góc với đường thẳng ∆

0 1;1; 0:

1;1; 1

M VTCP u

Câu 11:

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 1; 2− − , bán kính ) R=2

Mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S có đúng 1 điểm chung khi: d I P( ;( ) )= R

11

25

Mặt phẳng ( )Q :x+ +y 3z= , 0 ( )R : 2x− + = y z 0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

Ta lại có ( )P đi qua điểm B(2;1; 3− nên ) ( ) (P : 4 x− +2) (5 y− −1) (3 z+ = 3) 0

− < < Dựa vào bảng biến thiên ta được: m∈ −( 1;3 \ 0; 2) { }

Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Gọi ( )α là mặt phẳng trung trực của AB

Ta có AB=(1; 2; 1− )

và mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến là np =(1;1;1)

Mặt phẳng ( )Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng ( )P nên có véctơ pháp tuyến

Câu 18:

Lời giải Chọn C

Gọi ( )S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

a b c d

Khoảng cách giữa AC và B D′ là ( ) , . 1

,

6,

Câu 21:

Lời giải Chọn B

Vectơ chỉ phương của d là u=(1;1; 1− )

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm và A= ∆ ∩ , d1 B= ∆ ∩ Suy ra: d2 ( )

Vì đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên AB

cùng phương với u

1 2;1; 0

A a

Thay A(1; 0;1) vào đường thẳng d ta thấy A d∉

Vậy phương trình đường thẳng : 1 1

Gọi I là điểm thỏa mãn IA +IB+2 IC= 0 ( )1

Ta có ( )1 ⇔ 4OI  =OA OB+ +2OC=(4;12;12)

⇔ I(1;3;3) Khi đó MA MB + +2MC = 4MI =4MI

Do M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên để MA MB + +2MC

nhỏ nhất hay MI nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I(1;3;3) trên (Oxy)⇔M(1;3; 0)

Chọn D

Giả sử M x y z ( ; ; )

⇒ ≥ Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất 19

4 khi

16112

a b

Theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA AC   + + ′= ′

Suy ra    AA′=AC′−AB−AD

Lại có: AC′=(3;5; 6− )

Câu 31:

Lời giải Chọn C

Ta có H là trực tâm tam giác ABC ⇒OH ⊥(ABC)

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC có bán kính ) R=OH = 3

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α là ( ) 2 2 2

Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên ( )P ta có N(1+t;3 2 ; 1 2− t − + t)

Thay N vào phương trình mặt phẳng ( )P ta được 9 8 0t− = 8

là x−2y+2z+ =3 0

O

A

B C

K H z

y

x

Câu 33:

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AC ⇒ Tọa độ điểm I(2;3;1)

= > ⇒ 45IMB< ° ⇒ 90AMB< °⇒ =α BMATrong tam giác MAB ta có: 2 2 2

2 cos

AB =MA +MB − MA MB α =7⇒AB= 7

Câu 35:

Lời giải Chọn C

B A

D

C

A'

I M

A B

Gọi D x y z ( ; ; ) là điểm thỏa mãn DA DB  + =0

Gọi I a b c ( ; ; ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng ( )S : 2 2 2

Câu 39:

Lời giải Chọn C

Dễ thấy S∆A B C′ ′ ′ =S∆ABC.cosϕ với ϕ=( (ABC) ( ); α )

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc mặt phẳng (Oxy , thì ) ( )P qua M và có vectơ pháp tuyến n =u ∆;k=(1;−2; 0)

Khi đó, phương trình mặt phẳng ( )P là x−2y− =3 0

Gọi d là hình chiếu của ∆ lên (Oxy , thì d chính là giao tuy) ến của ( )P với (Oxy )

Suy ra : 2 3 0

0

x y d

0

x t

d y t z

( )P (2; 2; 1)

IH =n = −

 

Phương trình đường thẳng IH là

1 2

2 23

là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P

Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M(3; 2;1) và có một véc tơ pháp tuyến OM=(3; 2;1)

O

B

A H

B

A

C M

Câu 44:

Lời giải Chọn C

Do H là trực tâm ABC∆ ⇒AH ⊥BC

Mặt khác: OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC ⇒BC⊥(OAH)⇒OH ⊥BC

Tương tự: OH AB⊥ ⇒OH ⊥(ABC) hay OH=(1;1; 3− )

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )P

Hơn nữa, ( )P đi qua H(1;1; 3− ) nên phương trình mặt phẳng ( )P là x+ −y 3z− =11 0

Tam giác SAH và tam giác SIE đồng dạng có: SA SH

SI = SE SH SA SE.

SI

66

23

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC thì ) n =(1; 2; 2− )

t t

t t

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O(0; 0; 0), A(0; 0;a , ) B a( ; 0; 0), C(0; ; 0a ), ; ; 0

, OM = 6< nên R M nằm trong mặt cầu

Gọi ( )α là mặt phẳng qua M và cắt ( )S theo một đường tròn

Gọi H là hình chiếu của tâm O trên mặt phẳng ( )α ta có OH OM≤

Bán kính của đường tròn giao tuyến là 2 2 2 2

r= R −OH ≥ R −OM = − = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡M

Khi đó mặt phẳng ( )α qua M và nhận OM=(1; 1; 2− )

làm véctơ pháp tuyến

Câu 48:

L ời giải Chọn B

Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC là AH =d A BC( , )

O

Ta có đường thẳng BC đi qua điểm B(0;3;1) và nhận vectơ CB=(1; 1; 1− − )

Gọi I x y z ( , , ) là tâm mặt cầu Để ý ( ) ( )P  P′ nên I thuộc phần không gian giới hạn bởi 2 mp

( )P và ( )P' , đồng thời cách đều ( )P và ( )P' Khi đó ta có:

Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S ⇔d( )I d; = R với I(1;1;1)và R= 3 là tâm và bán kính mặt cầu ( )S Ta có ( 2 2)