(TIỂU LUẬN) tiểu luận hình học giải tích PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 1... Vîi mØi bº sŁ... Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4... Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 5.

Möc löc

1.1 H» tåa º affine 2

1.2 i•u ki»n ” 3 vector çng phflng 4

1.3 Ph†p Œi möc ti¶u affine 5

2 ÷íng thflng v m°t ph£ng trong khæng gian 6 2.1 Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng trong khæng gian 6

2.2 Ph÷ìng tr…nh m°t phflng trong khæng gian 7

2.3 Chòm m°t phflng trong khæng gian 9

3 H» tåa º trüc chu'n 11 3.1 H» tåa º trüc chu'n 11

3.2 Œi möc ti¶u trüc chu'n 12

4 M°t trÆn xoay v ph†p co rót 14 4.1 Ph†p co rót 14

4.2 M°t trÆn xoay 15

4.3 M°t trö v m°t nân 16

4.4 M°t elipxoit 18

4.5 C¡c m°t hyperboloit 20

4.6 C¡c m°t paraboloit 22

5 M°t k· 25 5.1 M°t k· 25

5.2 Hyperboloit 1 tƒng 25

5.3 M°t y¶n ngüa 26

1

vector i ; j ; k ־c

kþ hi»u l Ox; Oy; Oz, gåi l 3 tröc tåa º

2 C¡c m°t phflng chøa 2 tröc tåa º ÷æc gåi l m°t phflng tåa º C¡c m°t phflng

tåa º gçm Oxy, Oyz, Oxz

3 Vîi mØi

vector u b§t k… trong khæng gian, tçn t⁄i duy nh§t mºt bº sŁ

!(x; y; z) sao cho

2

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 1

5 Cho i”m M(x; y; z) v M0 (x0 ; y0 ; z0 ) th… ta câ:

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 1

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 1

Trong khæng gian, cho 2 h» tåa º affine !!! v 0 0 0 0 Gi£ sß Łi

(a 2 ; b 2 ; c 2 ); k0 = (a 3 ; b 3 ; c 3 ) Łi vîi mºt i”m M b§t k…, gåi (x; y; z) l tåa

li¶n h» giœa c¡c sŁ x; y; z v x0 ; y0 ; z0 Theo ành ngh¾a cıa tåa º vector v

tåa º i”m, ta câ:

vîi u hay M, ! 0 M = t u vîi t l! M cho M M = t u vîi tsŁ thüc DO â, ÷íng thflng d câ th” xem

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 2

thüc t, ta s‡ t…m ÷æc 1 bº sŁ (x; y; z) = (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct) l tåa º 1

i”m thuºc ÷íng thflng d v ng÷æc l⁄i, vîi mØi i”m M thuºc ÷íng thflng d, ta

luæn t…m ÷æc mºt sŁ thüc t t÷ìng øng

N‚u c£ 3 sŁ a; b; c •u kh¡c 0, tł ph÷ìng tr…nh tham sŁ, ta rót ra ÷æc,

n‚u i”m M(x; y; z) thuºc ÷íng thflng d th… tçn t⁄i sŁ thüc t sao cho:

mºt i”m thuºc Gåi u1(a1; b1; c1); u2(a2; b2; c2) l 2 vector ºc l“p tuy‚n t‰nh

v c¡c ÷íng thflng chøa chóng song song vîi

Trang 7

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 2

Khi â, vîi i”m M(x; y; z) b§t ký thuºc m°t phflng th… hi”n nhi¶n 3

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 2

H» tr¶n ch‰nh l ph÷ìng tr…nh tham sŁ cıa m°t phflng Vîi mØi bº sŁ

Trang 9

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 2

Gi£ sß ÷íng thflng d câ ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t:

Ch֓ng 3

H» tåa º trüc chu'n l h» tåa º affine O i j k , trong â i ; j ; k l

3 vector ìn và, æi mºt vuæng gâc vîi nhau, v t⁄o th nh tam di»n thu“n

Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n: H» tåa º trüc chu'n cä ƒy ı t‰nh ch§t cıa h»

tåa º affine, v câ th¶m mºt sŁ t‰nh ch§t °c bi»t:

3

y3

z3

D( i ; j ; k )D( u ; v ; w ) = x y z

11

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 3

;k0 (a 3 ; b 3 ; c 3 ) sao cho (O !0

;i0!

;j; !

;k0 ) l“p th nh möc

ti¶u trüc chu'n mîi Cho i”m M cŁ ành câ tåa º trong möc ti¶u trüc chu'n

cô v mîi lƒn l÷æt l (x; y; z) v (x0 ; y0 ; z0 ) Khi â, theo ph†p Œi möc ti¶u

! !

= j0 2 = k0 2 = 1 v

Trang 12

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 3

cos( k!;i ) cos( k!;j ) cos( k!;k )

y =B cos( j!;i ) cos( j!;j ) cos( j!;k )

Ph†p quay möc ti¶u quanh tröc Oz vîi gâc quay

Düa v o cæng thøc bi‚n Œi möc ti¶u tr¶n, ta rót ra ÷æc cæng thøc

quay möc ti¶u tröc chu'n quanh tröc Oz:

Trang 13

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

i”m M xoay quanh tröc d t⁄o th nh ÷íng trÆn câ t¥m l h…nh chi‚u cıa

M l¶n d

X†t i”m M0 câ tåa º (x0; y0; z0) quay xung quanh tröc Oz, t⁄o th nh ÷íng

trÆn (S) câ t¥m l h…nh chi‚u cıa M0 l¶n Oz

t⁄o th nh m°t trÆn xoay

Khi â, M(x; y; z) thuºc m°t trÆn xoay khi v ch¿ khi tçn t⁄i mºt i”m

M0(x0; y0; z0) thuºc C sao cho khi M0 quay xung quanh Oz t⁄o th nh ÷íng

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Cho ֒ng ( y = 0

quay xung quanh Oz ÷æc m°t trÆn xoay câ ph÷ìng

x = atr…nh:

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

(a 6= 0) quay xung quanh tröc Oz, ta ÷æc m°t

x = aztrÆn xoay câ ph÷ìng tr…nh:

Trang 17

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Co rót theo ph÷ìng Oy vîi t¿ sŁ ta ÷æc m°t nân câ ph÷ìng tr…nh:

a2 b2trong â, b = a

Trang 18

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Co rót theo ph÷ìng Oy vîi t¿ sŁ ta ÷æc m°t elipxoit câ ph÷ìng tr…nh:

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

8

<y = 0Cho ֒ng x2

Trang 20

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Trang 21

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Co rót theo ph÷ìng Oy vîi t¿ sŁ ta ÷æc m°t hyperboloit 2 tƒng câ ph÷ìng tr…nh:

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Co rót theo ph÷ìng Oy vîi t¿ sŁ ta ÷æc m°t paraboloit eliptic câ ph÷ìngtr…nh:

x2+ y2 = p0 z

x2 y2M°t câ ph÷ìng tr…nh: a 2 b 2 = 2z (p > 0; q > 0) ÷æc gåi l m°tparaboloit hyperbolic (M°t y¶n ngüa)

Trang 23

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 4

Trang 24

Nguy„n øc Anh Khoa Ch÷ìng 5

Trang 26