Phương pháp tọa độ trong không gian: Phần 2 - Nguyễn Hoàng Việt

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Môn Toán phương pháp tọa độ trong không gian tiếp tục cung cấp tới bạn đọc phương pháp giải bài toán về phương trình đường thẳng, một số bài toán về cực trị. Ngoài ra còn cung cấp cho các em học sinh bộ đề ôn tập cuối chương có đáp án và lời giải chi tiết. Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo.

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

tơ khác #»0 và có giá song song hoặc trùng với d.

• Một véc tơ chỉ phương của d là #»u = (u1; u2; u3) (hệ số của t)

• Muốn xác định tọa độ một điểm thuộc d, ta chỉ cần cho trước giá trị cụ thể củatham số t, thay vào hệ phương trình tính x, y và z

(2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

qua điểm N (x00; y00; z00), vec tơ chỉ phương #»v = (v1; v2; v3)

Trường hợp 1: Hai véc tơ chỉ phương có bộ tọa độ tỉ lệ nhau hay #»u = k · #»v Khi đó

d1 và d2 sẽ có khả năng song song hoặc trùng nhau Thay tọa độ điểm M vào phươngtrình d2

• Nếu thỏa mãn thì d1 trùng d2;

• Nếu không thỏa mãn thì d1 song song d2

Trường hợp 2: Hai véc tơ chỉ phương có bộ tọa độ không tỉ lệ nhau hay #»u 6= k · #»v Khi đó d1 và d2 sẽ có khả năng cắt hoặc chéo nhau Ta xét hệ

• Nếu hệ này có nghiệm duy nhất (t; t0) thì d1 cắt d2;

• Nếu hệ này vô nghiệm thì d1 chéo d2

u1·v1+u2·v2+u3·v3+ = 0

• Nếu (*) vô nghiệm thì d song song (P );

• Nếu (*) nghiệm đúng với mọi t thì d nằm trong (P )

d ⊥ (P ) ⇔ #»u cùng phương với #»n hay #»u = k · #»n

• Gọi #»u = (u1; u2; u3), #»v = (v1; v2; v3) lần lượt là véc tơ chỉ phương của d1 và d2;

• Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2, với 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦.Khi đó

cos ϕ =

cos ( #»u , #»v )

=

#»

u

d H

M

M 0

☼ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳngchéo nhau d1 và d2

• d1 qua điểm M và có véc tơ chỉ phương #»u ;

• d2 qua điểm N và có véc tơ chỉ phương #»v Khi đó khoảng cách giữa d1 và d2 được tính theocông thức

d (d1, d2) = HK =

[ #»u , #»v ] · # »

M N

...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳngchéo d1 d2< /sub>

• d1 qua điểm M có véc tơ phương #»u ;

• d2< /sub> qua điểm N có véc tơ phương #»v... d2< /sub> ϕ = 90◦ Khi #»u ⊥ #»u hay

=

u1A + u2< /sub>B... · #»n

☼ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M0 cóvéc tơ phương #»u Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến d đượctính theo