PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ��� A Phương trình đường thẳng 1 Phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 với A2 + B2 � 0 Vectơ pháp tuyến n (A,B)= r Vecto chi[.]

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

——–

A Phương trình đường thẳng

1 Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0 với A2 + B2 0

- Vectơ pháp tuyến n (A, B)r=

- Vecto chỉ phương v ( B; A)r = −

— Phương pháp: Xác định điểm I(x0; y0) và vectơ pháp tuyến

n (A, B)r= ; phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

A(x – x0) + B(y – y0) = 0

2 Đường thẳng d có vecto chỉ phương vr(a; b) và đi qua điểm M (x0; y0) có:

— Phương trình tham sô: 0

0

= +



∈ ≠ ≠

 = +



— Phương trình chính tắc: x x0 y y0

− = −

3 Đường thẳng d đi qua hai điểm A (a; 0) và B(0; b) có

phương trình đoạn chắn là: x y 1

a+ =b (a 0, b 0)≠ ≠

Bài 1:

Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng (D) biết:

a) (D) qua M ( 2, 1) có vectơ chỉ phương ar = (3.4)

b) (D) qua M (-2,3) và có pháp vectơ nr = (5,1)

c) (D) qua M (2,4) và có hệ số góc k = 2

d) Qua 2 điểm A (3,5); B (6,2)

Bài 2: Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:

a) 3x + 4y –10 = 0

b) (D) qua A (1,2) và song song với đường thẳng x +3y –1 = 0 c) (D) qua B (2, -1) và vuông góc với đường thẳng x –2y +2 = 0 d) (D) qua C ( 3, 1) và song song đường phân giác thứ (I) của mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (D) trong các

trường hợp sau:

1 (D) qua A (1,2) có pháp vectơ nr= (1,2)

2 (D) qua A (2,1) có vectơ chỉ phương ar = (1,2)

3 (D) qua A (2,1) có hệ số góc k = 2

4 (D) qua 2 điểm A (1,4); B (3,3)

Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh A (2,2)

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ

B và C lần lượt có phương trình: 9x –3y –4 = 0 và x + y –2 = 0 b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC

Bài 5: Cho ∆ABC có phương trình cạnh (AB): 5x –3y + 2 = 0; đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là: 4x –3y +1 = 0; 7x + 2y – 22

= 0 Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba

Bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu A (1,3) và

phương trình hai đường trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt là:

x – 2y + 1 = 0 ; y –1 = 0

Bài 7: Cho biết trung điểm ba cạnh của một tam giác là M1(2,1); M2

(5,3); M3 (3,-4) Lập phương trình ba cạnh của tam giác đó

Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với M (-1,1) là trung

điểm của một cạnh, hai cạnh kia có phương trình là: x + y –2 =0, 2x + 6y +3 = 0 Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác,

Bài 9: Lập phương trình các đường trung trực của ∆ABC biết trung điểm của các cạnh là M (-1,-1), N (1,9) ; P (9,1)

Bài 10: Cho hình bình hành có đỉnh A(3,-1) và phương trình hai

cạnh là: 2x + 3y – 5 = 0; x – 4y + 14 = 0 Tìm phương trình hai cạnh còn lại

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P(2,5) và Q(5,1) Lập

phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3

Bài 12: Viết phương trình đường thẳng (D) qua M(4,3) biết (D)

cách đều A(5,0) và B(3,7) ĐS 7x + 2y – 34 = 0; x – 4 = 0

Bài 13: Tính góc giữa 2 đường thẳng sau:

a) 1

2

D x y

D x y

+ − =



 − + =

1 2

− + =





Bài 14: Lập phương trình đường thẳng đi qua A(2,1) và tạo với

đường thẳng: 2x + 3y +4 = 0 một góc thẳng 450

Bài 15: Cho tam giác ABC với phương trình 3 cạnh là:

AB: x +2y –5 =0; BC: 2x –y –5 =0 ; CA: 2x +y +5 =0

Viết phương trình phân giác trong góc B và C

Bài 16: Cho tam giác ABC có A(1, 1) , B(-1, 2) , C(4, 2) Viết

phương trình đường phân giác trong của góc A

ĐS ( 2 1)x (2 2 3)y 3 2 2 0+ + − − + =

Bài 17: Cho 3 điểm A(1,1), B(-1, - 1

2) và C(4, -3) Tìm phương trình đường phân giác ngoài của góc A ĐS x + 7y – 8 = 0

Bài 18: Tìm phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (D1): 2x +3y –6 = 0 ; (D2): 3x + 4y –1 = 0 Biết (∆) thoả:

a) Qua điểm A(-1, 3)

b) Song song đường thẳng (d): x + y +1 = 0

c) Vuông góc đường thẳng (d): x + 4y + 1 = 0

ĐS a) 13x + 20y – 47 = 0 b) x + y +5 = 0 c) 4x – y + 100 = 0

Bài 19: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai

đường thẳng (D1): x –3y +1= 0; (D2): 2x +5y –9 = 0 và tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R =2

ĐS 3x + 4y – 10 = 0; x – 2 = 0

Bài 20: Cho hai điểm A(6; 1), B(0; 3) và đường thẳng

(∆1): 3x – 2y – 5 = 0

a)Viết phương trình đường thẳng ( )∆2 qua hai điểm A, B

b) Viết phương trình đường thẳng (∆3) và (∆4) theo thứ tự qua A, B và vuông góc với (∆1) Có nhận xét gì về quan hệ giữa (∆3) và (∆4

) ĐS ( )∆2 : 2x + 6y – 18 = 0 ( )∆3 : 2x + 3y – 15 = 0

(∆4): 2x + 3y – 9 = 0

Tìm tọa độ điểm và tính khoảng cách

Phương pháp:

— Một điểm nằm trên đường thẳng tương ứng với một tham số t và ngược lại

— Biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t

— Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) chứa điểm

M hay công thức khoảng cách Sau đó giải phương trình tìm giá trị tham số t

— Thay giá trị tham số vào biểu thức xác định tọa độ điểm M hay công thức khoảng cách cần tìm

Bài 21: Cho (D1): 3x – 4y + 6 = 0; (D2): 4x –3y –9 = 0 Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều (D1) và (D2)

Bài 22: Tìm M trên (D): 2x + y –1 = 0 biết khoảng cách từ M đến

đường thẳng (∆): 4x + 3y – 10 = 0 bằng 2

Bài 23: a) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(xM; yM) qua đường thẳng (d): Ax + By + C = 0

b) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M(1; -2) qua đường thẳng (d): 3x + 2y – 5 = 0

Bài 24: Cho hai điểm M(5; 5), N(1; 4) và đường thẳng

(d): x + 2y – 6 = 0 Tìm điểm A trên đường thẳng (d) sao cho: a) AM AN− lớn nhất b) MA + MB nhỏ nhất

ĐS a) ( ; )7 5

2 4 b)

133 47

30 60

Bài 25: Cho tam giác ABC có đường phân giác của góc A là (d): x

+ y + 2 = 0 đỉnh B(1; 3), đỉnh C(2; 0) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Bài 26: Tìm toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

biết trung điểm của các cạnh AB, BC, AC tương ứng là C’(5; 1), A’(1;1), B’(3; 7) ĐS (3; )5

3

Bài 27: Cho ba đường thẳng: (d1): x – y + 1 = 0

(d2): 3x + 2y – 7 = 0 (d3): x + 4y – 19 = 0

đôi một cắt nhau tại A, B, C

Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC ĐS ( ;3 12)

5 5

Bài 28: Lập phương trình các cạnh của ∆ABC đỉnh C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: 2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 (ĐHVH 1998)

Bài 29: Cho hai điểm M(1; 1), N(7; 5) và đường thẳng

(d): x + y – 8 = 0

a) Tìm điểm P ∈ (d) sao cho ∆PMN cân đỉnh P

b) Tìm điểm Q ∈ (d) sao cho ∆QMN vuông đỉnh Q

ĐS P(2; 6) Q(2;6)

Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng:

(d1): x – y = 0 và (d2): 2x + y – 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành (ĐH khối A 05)

Bài 31: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ

giao điểm của chúng (nếu có):

x 1 2t

a)

= +



 = − +

 và x – 2y + 1 = 0 b)

y 3 2t

= − +



 = +

x k

y 2 2k

=



 = −

y 4 3t

= − −



 = +

x 1 y 2

− = +

Bài 32: Tìm phưong trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai

đường thẳng:

( )1 ( )2

những đoạn bằng nhau

Bài 33: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC và điểm

M(-1; 1) là trung điểm của cạnh AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đường thẳng:

( )1 ( )2

x 1 t

y 2t

= −



a) Xác định toạ độ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC và viết phương trình đường cao AH

b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 34: Cho đường thẳng (∆1):

x 1 4t 3

16

= +





 = − +



và điểm M(0; 55

16).

a) Viết phương trình đường thẳng (∆2) qua M và song song với (

∆1)

b) Viết phương trình đường thẳng (∆3) qua M và song song với (

∆1)

c) Tìm khoảng cách giữa (∆1) và (∆2)

Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1),

B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Khối B 2004 ĐS C(7; 3) C’( 43; 27)

− −

Bài 36: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆' đi qua điểm M(-3; 1) và song song với đường thẳng ∆: -2x + 7y – 9 = 0

ĐS 2x – 7 y +12 = 0

Bài 37: Cho đường thẳng ∆: 3x – 2y + 4 = 0 và điểm M(2; 5) Viết phương trình đường thẳng ∆’ đối xứng với đường thẳng ∆ qua điểm M ĐS 3x – 2y – 36 = 0

Bài 38: Cho hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng

1

∆ : x + 3y -6 = 0;

2

∆ : 2x – 5y -1 = 0 và có tâm I(3; 5)

- Viết phương trình các cạnh còn lại Tính tọa độ các đỉnh

- Viết phương trình các đường chéo

ĐS A(3;1); C(3; 9); B(-147; 59); D(153; -49)

AC: x – 3 = 0 BD: 9x – 25y + 2798 = 0

Bài 39: Cho đường thẳng ∆: 2x – y -1 = 0 và điểm M(1; 2)

a) Viết phương trình đường thẳng (∆’) đi qua M và vuông góc với ∆

b) Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên ∆

c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆ ĐS M’(9 8;

8 5)

Bài 40: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(5; 6); B(-3; 2); C(2; -3)

a) Viết phương trình các đường cao AA’, BB’, CC’ Suy ra tọa

độ trực tâm H của tam giác

b) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác, suy ra tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ĐS H(0; 1) O(5 7;

4 4)

Bài 41: Cho tam giác ABC; cạnh AB nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình :

∆: 5x – 3y + 2 = 0 Các đường cao AD, BE theo thứ tự nằm trên các đường thẳng:

4x - 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0

a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

b) Viết phương trình đường cao CF

ĐS A(-1; -1); B(2; 4) ; C(6; 1); CF: 3x + 5y – 23 = 0

Bài 42: Cho tam giác ABC, đỉnh A(3; -4) và hai đường cao nằm trên

hai đường thẳng

1

d : 7x – 2y + 1 = 0; d : 2x – 7y – 6 = 0.2

a) Viết phương trình các cạnh AB, AC của tam giác

b) Tìm tọa độ các đỉnh B, C, phương trình cạnh BC

c) Viết phương trình đường cao thứ ba

ĐS: AB: 7x + 2y – 13 = 0 ; AC: 2x + 7 y + 22 = 0

BC: x – y + 2 = 0 AJ: x + y + 1 = 0

B ĐƯỜNG TRÒN

Vấn đề 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và tiếp xúc

với đường thẳng (D) cho trước

Phương pháp: phương trình có dạng: (x – a )2 + (y – b)2 = R2

Với R = d(I; D) (khoảng cách từ I đến D)

Bài 1: a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và tiếp xúc với

đường thẳng D: x – 2y – 2 = 0

b) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và tiếp xúc với đường

thẳng D: 3x + 4y + 7 = 0

Bài 2: a) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và cắt đường

thẳng D: x – 2y + 4 = 0 một đoạn bằng 4

Vấn đề 2: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A; B và có

tâm I nằm trên đường thẳng (D) cho trước

Phương pháp Tìm điểm I trên (D) sao cho IA = IB = R Có hai cách

xác định tâm I: + Cách 1: I (D)

IA IB

∈



 =



+ Cách 2: Viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn AB Giao điểm của đường thẳng trung trực với (D) là tọa độ điểm I

Bài 3:a) Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1; 1);

B(1; - 3) và có tâm nằm trên đường thẳng (D): 2x – y + 1 = 0

Đ S:

 +  + +  =

 ÷  ÷

   

b) Vií́t phương trình đường tròn (C) qua hai đií̉m A(-1; 2); B(-2; 3)

và có tđm nằm trín đường thẳng (D): 3x – y + 10 = 0

Vđ́n đí̀ 3: Vií́t phương trình đường tròn qua hai đií̉m và tií́p xúc

với đường thẳng (D) cho trước

Phương pháp: Vií́t phương trình đường tròn có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Dùng 3 điều kiện đí̉ tìm a, b, c

( )

 ∈

 ∈



 =



A (C)

B (C)

R khoaêngcacâhtûđtímặúnđg trođn ăï ịn D

Băi 4: Vií́t phương trình đường tròn qua hai đií̉m A(1; 0) và

B(2; 0) đồng thời tií́p xúc với đường thẳng x – y = 0

Vđ́n đí̀ 4: Vií́t phương trình đường tròn qua đií̉m A cho trước và

tií́p xúc với một đường thẳng (D) tại một đií̉m B bií́t trước

Phương pháp: Vií́t phương trình đường thẳng d qua B và vuông góc với (D) Giao đií̉m của d với đường trung trực của AB là tọa độ tđm đường tròn

Băi 5: Vií́t phương trình đường tròn (C) qua A(-1; 3) và tií́p xúc với

đường thẳng 4x + 3y – 30 = 0 tại B(6; 2)

Vđ́n đí̀ 5: Vií́t phương trình đường tròn có tđm nằm trín đường

thẳng (D) và tií́p xúc với một đường thẳng (D’) cho trước

Phương pháp: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn

Dùng 2 điều kiện để tìm a, b  ∈



I (D) d(I;D') R

Bài 6: Viết phương trình đường tròn có hoành độ tâm a = 9, bán

kính R = 2 5 và tiếp xúc với đường thẳng 2x + y – 10 = 0

Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường (∆) phương trình x + y – 5 = 0 có bán kính R = 10 và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0

Vấn đề 6: Viết phương trình đường tròn đi qua một điểm A cho

trước và tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước.

Phương pháp:

* Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a, b) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

* Giả sử (C) đi qua A và tiếp xúc với d1 và d2 tại K1, K2

Dùng điều kiện IK1 = IK2 = IA = R Tính được I(a, b) và R = IA

Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm gốc O và tiếp

xúc với hai đường thẳng d1: 2x + y – 1 = 0 và d2 : 2x – y + 2 = 0

Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1, 0) và tiếp

xúc với hai đường thẳng d1: x + y – 4 = 0 và d2: x + y + 2 = 0

Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp:

a) (C) có tâm I(1; 3) và đi qua điểm A(3; 1)

b)(C) có tâm I(-2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 2x + y –1 = 0

Bài 11: Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương

trình sau:

a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 6y + 2 = 0 c) 2x2 + 2y2 – 5x – 4y + 1 + m2 = 0

Bài 12: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm M(1; -2), N(1;

2) và P(5; 2)

Bài 13: a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ

và đi qua điểm (2; 1)

b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1; 1), (1; 4) và tiếp xúc với trục Ox

Bài 14: Hãy lập phương trình đường tròn (C) biết rằng:

1) Đường kính AB với A(-1, 1), B(5, 3)

2) Qua 3 điểm A(1, 3), B(5, 6) và C(7, 0)

3) Tâm I(-4, 2) và tiếp xúc (D): 3x + 4y – 16 = 0

4) Tiếp xúc các trục tọa độ và

a) Đi qua A(2, 4)

b) Có tâm trên (D): 3x – 5 y – 8 = 0

5) Tiếp xúc với Ox tại A(-1, 0) và đi qua B(3, 2)

Kết quả 1) x2 + y2 – 4x – 4y –2 = 0 2) x2 + y2 – 3x – 5y + 14 = 0 3) (x + 4)2 + (x – 2)2 = 16 4) a) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 và (x – 10)2 + (y – 10)2 = 100 b) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 16 và (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 5) (x + 1)2 + (y – 5)2 = 25

Bài 14: Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng x 1 2t

:

= +



∆  = − +



và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Vấn đề 7: Tiếp tuyến có phương cho trước:

Cho đường tròn (C) và đường thẳng (D) Ax + By + C = 0

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết tiếp tuyến song song (hoặc vuông góc ) với (D).

Phương pháp: Tiếp tuyến (d) song song (hoặc vuông góc) với (D) thì phương trình có dạng :

Ax + By + C1 = 0 (C1 ≠ C) hoặc Bx – Ay + C2 = 0

Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I ; D) = R để tìm C1 (hoặc C2)

Vấn đề 8: Tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ở ngoài (C)

Cho đường tròn (C) và một điểm A(xA;yB) ở ngoài (C).Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) đi qua (xuất phát từ) điểm A

Phương pháp: Tiếp tuyến (D) đi qua A có phương trình:

A(x – xA) + B(y – yB) = 0

Dùng điều kiện tiếp xúc: d(I , D ) = R để tìm A, B

Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương

trình: x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)

a) Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với