ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! 1 Thầy Hồ Thức Thuận Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Môn Toán THẦY HỒ THỨC THUẬN TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ[.]
Trang 1
_
THẦY HỒ THỨC THUẬN
TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC
“LIVE VIP 2K4”
INBOX THẦY ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN
VÀ ĐĂNG KÝ HỌC!
Bài toán: Tính tích phân áp dụng tính chất chất đổi biến đặc biệt
➢ Cho hàm số y= f x( ) liên tục và chẵn trên đoạn −a a;
0
1
x
f x
m
+
➢ Phương pháp lấy tích phân hai vế: ( ) ( ) b ( ) b ( )
f x =g x f x dx=g x dx
Câu 1: Tính tích phân:
1 4
12x 1
x
−
= +
A 1
5
7
5
Lời giải:
2x 1 2x 1 2x 1
I
0 4
1
dx
x A
−
= +
Đặt t= − = − , đổi cận:x dt dx x= − =1 t 1; x= =0 t 0
1
4
x
Chọn đáp án A
A Lý Thuyết
B Ví Dụ
(Phần 2)
Trang 2Câu 2: Tích phân
2 2020
2
2 d 1
a x
x x
−
= +
Tính tổng S a b= +
Lời giải:
Xét
2 2020
2
.d 1
x
x
e
−
=
+
Đặt x= − t dx= − Đổi cận dt x= − =2 t 2;x= = −2 t 2
Ta được 2( )2020 ( ) 2 2020 2 2020 2 2020
1
1
t
e
−
−
−
Suy ra 2 2020 2 2020 2 2021 2 2021 ( )2021 2022
2020
x
− −
Do đó
2021
2
2021
I = Suy ra a= =b 2021 Vậy S= + =a b 4042
Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hàm số chẵn y= f x( )liên tục trên và 1 ( )
1
2
1 5x
f x
x
−
= +
Giá trị của 2 ( )
0 d
bằng
Lời giải:
+) Ta có 1 ( )
1
2
f x
x
−
=
+
1 5x 1 5x
−
Xét 0 ( )
1
2
d
1 5x
f x
−
=
+
: Đặt t= −x = − Đổi cận: dt dx x = −1 = và t 1 x =0 = t 0
Khi đó: 0 ( ) ( )
1
2 d
+
0
2 d
1 5 t
t
−
−
= +
0
d
5 1
t t
t
−
=
+
Vì y= f x( )là hàm chẵn trên nên f ( )−2t = f ( )2t , t
Do đó 1 ( )
0
d
5 1
t t
+
0
d
5 1
x x
x
=
+
Thay vào thu được
x
0
d
x x
f x
x
+
=
+
0
2 d
1 ( ) ( )
0
1
2 d 2 8
2f x x = 2 ( )
0
d 16
Vậy 2 ( )
0
d 16
Chú ý: Nếu f x( )là hàm chẵn và liên tục trên −a a; thì ( ) ( )
0
1
x a
f x
b
−
= +
với mọi a , b 0
Chọn đáp án D
Trang 3Câu 4: Cho
2
2
cos 3
d
−
+
= + +
a b+ bằng
Lời Giải:
+) Ta xét bài toán tổng quát: Cho hàm số y= f x( )liên tục và là hàm số chẵn trên đoạn −a a; , khi đó
( )
d
1
a
x
a
f x
b
−
=
+
0 d
a
= với b 0
0
, ( )* Xét 0 ( )
d 1
x
a
f x
b
−
=
+
Đặt t= − = − x dt dx
Đổi cận: x= − =a t a x= = 0 t 0 0 ( )
d 1
t a
b−
−
= −
+
= ( )
0
d 1 1
a
t
f t t
b +
Thế vào ( )* , ta được ( ) ( )
x
0 d
a
+) Áp dụng: Với hàm số chẵn f x( )=cosx+3
Ta có
2
2
cos 3
d
2x 1
x
x
−
+ +
0
0 sinx 3x
2
a b
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hàm số f x( )liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 Biết f x f( ) ( 1−x)=1với x 0;1 Tính giá trị
( )
1
0
d 1
x I
f x
=
+
A 3
1
Lời Giải:
Ta có: 1+ f x( )= f x f( ) (1− +x) f x( ) ( )
( ) ( 1 )
f x
Xét
( )
1
0
d
1
x I
f x
=
+
Đặt t= − = −1 x x 1 t dx= − Đổi cận: dt x= = ; 0 t 1 x= = 1 t 0
Khi đó
d
I
Trang 4Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên ( ) và với mọi x 0; 2000 ta có f x và ( ) 0 f x f( ) ( 2000−x)=1 Giá trị của tích phân
( )
2000
0
1 1
f x
= +
là:
Lời giải:
Xét tích phân
( ) 2000
0
1 1
f x
= +
( )1 Đặt x=2000−t, ta có dx= − dt
Đổi cận: x =0 =t 2000 và khi x =2000 = t 0
Khi đó
1
1 1
Mà f x f( ) ( 2000− =x) 1 nên ( ) ( )1
2000
f x
− =
Suy ra
1
f
x dx
f x
+
Từ ( )1 và ( )2 ta có
2000
0
2I = dx hay
2000
0
2000 1
1
2 2. 0 1000
Chọn đáp án C
Câu 7: Cho f x( )xác định, liên tục trên 0; 4 thỏa mãn ( ) ( ) 2
0 d
bằng
A 32
Lời giải:
Xét tích phân 4 ( )
0 d
I = f x x Đặt t= −4 x = − dt dx
Đổi cận: x =0 = ; t 4 x =4 = t 0
Khi đó 4 ( )
0
0
Suy ra 4 ( ) 4 ( )
2I = f x dx+ f 4−x dx 4 ( ) ( )
0
= + −
4
2
0
4 d
2 0
x x
= − + =
16 3
I
= Vậy 16
3
I =
Chọn đáp án C
Trang 5Câu 8: Cho hàm số f x( )liên tục trên thỏa mãn f(2 )x 4 ( )f x x, x Biết rằng
1
0 ( )d 1
Tính tích phân
2
1 ( )d
Lời Giải:
Ta có
1
0
2 d
1
0
4f x x x d
4 f x dx x xd 4 1 7
2
0
1
d 2
2
0
2
0
2
1
( )d
Chọn đáp án B
Câu 9: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 2 1
f x + f −x = x− − + + Tính tích phân
( )
2
0
d
I = f x x ta được kết quả:
A I = + e 4 B I = 8 C I =2 D I = + e 2
Lời giải:
2 1
3f x + f 2−x dx= 2 x−1 e x − +x +4dx *
0 2
0 0
2
f −x dx= − f −x d −x = f x dx=I
0
2
0
3f x + f 2−x dx=4 f x d x 4I
2
0
2
0
2
4 4 8
0
2
4 f x dx= =8 I f x dx
Chọn đáp án C
Trang 6Câu 10: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ( ) π sin cos
2
x và f( )0 = Giá trị của tích phân 0 2 ( )
0
x f x dx
A π
4
π
1 4
Lời giải:
Theo giả thiết, f ( )0 =0 và ( ) π sin cos
2
Nên ( )0 π 0
2
hay
π 0 2
f =
Mặt khác, 2 ( )
0
I x f x dx
= Đặt:
0
2
0
0
0
−
Mà 2 ( ) 2
0 f x dx 0 f 2 x dx
0
1
= − + −
Suy ra
Chọn đáp án D
Câu 1: Cho y= f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên Biết 1 ( ) 2 ( )
1
1 2
( )
2
23x 1
f x
dx
− + bằng
Câu 2: Tích phân
2 100
2 x 1
x
e
−
= +
có giá trị bằng:
A
102
2
101 2
102 2
102
Câu 3: Cho f x( )là hàm số chẵn liên tục trong đoạn −1;1 và 1 ( )
1
2
f x dx
−
=
11 x
f x
e
−
= +
C Bài Tập Tự Luyện
Trang 7Câu 4: Cho hàm số y= f x( )là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn − ; ,thỏa mãn ( )
0
d 2018
=
của tích phân ( )
d
2018x 1
f x
=
+
2018
Câu 5: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm, liên tục trên và f x ( ) 0 khix 0;5 Biết f x f( ) ( 5−x)=1
, tính tích phân
( )
5
01
dx I
f x
+
4
3
2
Câu 6: Cho hàm số f x( )liên tục và a 0 Giả sử với mọi x 0;a ta có f x ( ) 0và f x f a( ) ( −x)=1 Tính
( ) 0
d 1
a
x I
f x
=
+
A
3
a
2
a
I = C I =2a D I =aln(a+1)
Câu 7: Cho f x( )là hàm liên tục trên đoạn 0; a thỏa mãn ( ) ( )
( ) .0, 0;1
f x f a x
d
, 1
a
+
b , clà hai số nguyên dương và b
c là phân số tối giản Khi đó b c+ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A (11; 22 )
B ( )0;9 C (7; 21 ) D (2017; 2020 )
Câu 8: Cho hàm số f x( )liên tục trên đoạn [0;1]thỏa mãn 2 2
4 (x f x ) 3 (1+ f − =x) 1−x Tính 1 ( )
0 d
A
16
4
20
6
Câu 9: Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn f x( )+ f ( )− =x 2 2cos 2+ x, Tính x
( )
3
2
3
2
−
=
Câu 10: Xét hàm số f x( )liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa ( ) ( ) 2
2f x +3f 1−x = 1−x Tính 1 ( )
0 d
A
4
6
20
16
Trang 8Câu 11: Cho hàm số f x( )liên tục trên đoạn ln 2; ln 2 và thỏa mãn ( ) ( ) 1
1
+
x
e Biết
ln 2
ln 2
2
Câu 12: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và thỏa mãn f x( )+ f ( )− = −x 3 2 cosx, với mọi x Khi
đó giá trị của tích phân 2 ( )
2
−
= bằng bao nhiêu?
3
I = −
2
I = +
2
I = −
2
I = +
Câu 13: Cho f x xác định, liên tục trên ( ) 0; 4 thỏa mãn ( ) ( ) 2
f x + f −x = − +x x Giá trị của 4 ( )
0
f x dx
bằng
32
Câu 14: Cho hàm số f x( )liên tục trên đoạn −ln 2; ln 2và thỏa mãn ( ) ( ) 1
1
x
e
Biết ln 2 ( )
ln 2
−
(a b ; ) Tính P= +a b
2
Câu 15: Cho hàm số y= f x( )liên tục trên \ 0 thỏa mãn ( ) 3
x
+ =
Tính 3 ( )
1
d
I =xf x x
A 25
50
25
50
9
Câu 16: Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 1; 2
2
và thỏa mãn
2
x
+ =
2
1
2
( )
d
f x
x
=
2
2
2
2
I =
Trang 9Câu 17: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) 0;1 và thỏa mãn ( ) ( 2) ( ) 1
1
x
+ Tính giá
trị tích phân 1 ( )
0
d
I = f x x
A 9ln 2
2
9
3
2
I =
Câu 18: Xét hàm số f x( ) liên tục trên đoạn −1, 2 và thỏa mãn ( ) ( 2 ) ( ) 3
f x + xf x − + f −x = x Tính
giá trị tích phân 2 ( )
1 d
−
2
Câu 19: Cho hàm số f x liên tục trên ( ) −1; 2 thỏa mãn ( ) ( ) 3
3
x
Khi đó 2 ( )
1
d
− bằng
12
5
Câu 20: Cho hàm số f x liên tục trên ( ) 0;1 thỏa mãn ( ) 2 ( )3 6
3 1
x
+ Khi đó 1 ( )
0 d
bằng