Bài toán 08 tích phân hàm ẩn (phần 1) đề thi

Bài Tập Tự Luyện... Mệnh đề nào dưới đây đúng?

_

THẦY HỒ THỨC THUẬN

TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC

“LIVE VIP 2K4”

INBOX THẦY ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN

VÀ ĐĂNG KÝ HỌC!

Bài toán: Tính tích phân dựa vào phương pháp đổi biến số

Cho b ( )

a

f x dx=I

( )

( ) 2

1

u x

u x

J =  f u x dx với u x( )1 =a u x, ( )2 =b

Phương pháp:

'

'

Đổi cận: u x( )1 =a u x, ( )2 =b Khi đó: 1 b ( ) 1 b ( )

I

f x dx= f t dt

➢ Nếu hàm số f x( ) là hàm số chẵn thì: f ( )− =x f x( )

➢ Nếu hàm số f x( ) là hàm số lẻ thì: f ( )− = −x f x( )

Bài toán: Tính tích phân dựa vào phương pháp lấy nguyên hàm

Định lí: Nếu u x( ) và v x( ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a b; thì:

Tích phân:

b

a

( )

( ) ( )



=



=



A Lý Thuyết

Bài Toán 08: Tích Phân Hàm Ẩn

(Phần 1)

Câu 1 Cho tích phân 4 ( )

0

d 32

I = f x x= Tính 2 ( )

0

2 d

J = f x x

Lời giải:

Ta có: 2 ( )

0

2

J =f x dx 4 ( ) ( )

0

1

2 f x d x

0

1

16

2 f x dx

Chọn đáp án D

Câu 2 Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục trên đoạn  2; 4 và thỏa mãn f ( )2 =2, f ( )4 =2020 Tính tích

phân 2 ( )

1

2 d

I = f x x

Lời giải:

Đặt 2 d 1d

2

t= x x= t Đổi cận: x=  =1 t 2;x=  = 2 t 4

Do đó, ta có: 2 ( ) 4 ( ) ( )4 ( ( ) ( ) ) ( )

2

I =f x x=  f t t = f t = f − f = − =

 Chọn đáp án A

Câu 3 Cho 5 ( )

1

d 26

I = f x x= Khi đó 2 ( )

2 0

1 1 d

J =x f x + +  xbằng

Lời giải:

J =x f x + +  x=xf x + x+x x= +A

Xét 2 ( )

2 0

1 d

2

t=x +  t= x xx x= t

 Chọn đáp án A

B Ví Dụ

Câu 4 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) và các tích phân 4 ( )

0



=

 và 1 2 ( )

2 0

2 1

x f x

dx

+

 Tính tích

phân 1 ( )

0

I =f x dx

Lời giải:

Xét: 4 ( )

0



=

2 2

1

t

dx

+

Đổi cận: 0 0; 1

4

x=  =t x=  =t

Khi đó: 4 ( ) 1 2( ) 1 2( )



Ta có: 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( )

1

0

4 2 6

Chọn đáp án D

Câu 5 Cho hàm số f x liên tục trên Biết

ln 2

0

ex 1 d 5

3

2

2 3

d 3 1

x

3

2

d

I f x x

Lời Giải:

1

t

Đổi cận x 0 t 2;x ln 2 t 3

Do đó

Ta có

Suy ra

3

2

1

f x

Chọn đáp án B

Câu 6 Cho hàm số f x( ) liên tục trên và có 1 ( ) 3 ( )

f x dx= f x dx=

1

2 1

−

3

2

I =

Lời giải:

1

1 2

1 1

2

−

=  − + − Đặt: t= −1 2x = −dt 2dx Với 1 3 ; 1 0

2

x= −  =t x=  =t

Ta được: ( ) ( )

1

3 2

1

2

−

  Nếu đặt t=2x−  =1 dt 2dx Với 1 0 ; 1 1

2

x=  =t x=  =t

Ta được 1 ( ) 1 ( )

2

1

2

f x− dx= f t dt=

  Vậy I = + =4 1 5

Chọn đáp án C

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên −4; 4 biết 0 ( )

2

2

f x dx

−

1

f − x dx=

Tính 4 ( )

0

I =f x dx

A I = −10 B I = − 6 C I = 6 D I =10

Lời giải:

Xét: 0 ( )

2

2

−

 Đặt: t= − x dt= −dx Đổi cận: x= −  =2 t 2; x=  =0 t 0

Khi đó: 0 ( ) 0 ( ) ( )

2

0

2

−

=

Xét: 2 ( )

1

f − x dx=

 Do hàm f x là hàm số lẻ nên: ( ) f (−2x)= −f ( )2x

Khi đó: 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

Đặt: t=2xdt=2dx Đổi cận: x=  =1 t 2; x=  =2 t 4

Khi đó: 2 ( ) 4 ( ) ( )

2

4

2

1

1

Ta có: 4 ( ) ( ) 4 ( )

2

0

2

0

2 8 6

f x dx f x

I = f x d x= + d x= − =−

Chọn đáp án B

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn f ( )1 = và 6 1 ( )

0

5

xf x dx=

 Khi đó tích phân

( )

1

0

I = f x dx bằng

Lời giải:

Đặt:

u x

dv f x dx

du dx

v f x

=





=









 =

Khi đó: 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

x f x dx xf x= − f x dx= f − f x dx

= − =  =

Chọn đáp án A

Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f −( )2 =1, 2 ( )

1

2 4 d 1

f x− x=

( )

0

2

d

xf x x

−



A I =1 B I = 0 C I = −4 D I =4

Lời giải:

Đặt t=2x− 4 dt=2dx Đổi cận x=  = −1 t 2, x=  =2 t 0

1

2

−

2

f t t

−

2

−

Đặt

u x

dv f x dx

du dx

v f x

=





=









 =

Vậy 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )

2

0 2

−

−

− −

Chọn đáp án B

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên

Biết

4

1

''( 1) 7

x f x− dx=

2

2 1

2 '(x f x −1)dx= −3

 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm có hoành độ x =3 là

y= x−

C. y=2x−7 D. y=3x−10

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra: f ( )0 = và 2 f ( )0 = 0

Xét 2 2

1 2 '(x f x −1)dx= −3

u=x −  u= x x Đổi cận: x=  = ;1 u 0 x=  = 2 u 3

Ta có: 3 ( ) ( )3

0 0

f u u= f u = −

  f ( )3 − f ( )0 = − 3 f ( )3 = −1

Xét 4

1 x f ''(x 1) dx− =7

 Đặt u= −  = + x 1 x u 1 du=dx

Đổi cận: x=  =1 u 0;x=  =4 u 3

3 0

( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) ( ) ( )

0

4f 3 f 0 f u 4f 3 f 0 f 3 f 0 7

4f 3 7 f 3 f 0 4 f 3 1

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoàn độ x = là: 3 y= −x 4

Chọn đáp án A

x O

y

2

Câu 1 Cho 5 ( )

1

d 4

f x x

−

=

1

2 1 d

−

2

2

I =

Câu 2 Biết f x( ) là hàm liên tục trên và 9 ( )

0

9

f x dx =

 Khi đó giá trị của 4 ( )

1

3 3

f x− dx

Câu 3 Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn 3 ( )

1

0

I =f x+ + x+ dx

Câu 4 Cho 2 ( )

2 1

f x + xdx=

2

I = f x dx bằng:

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên , biết 2 ( )

2 0

x f x dx =

0

I =f x dx

2

Câu 6 Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn 1 ( )

5

9

f x dx

−

=

 Tính tích phân 2 ( )

0

1 3 9

f − x + dx

Câu 7 Cho hàm số f x( ) là hàm liên tục trên và 2 ( )

0

2

f x dx = −

 , 3 ( )

1

f x dx =

 Tính 2 ( )

0

3

f x dx

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  0; 4 biết 2 ( )

0

d 2

f x x =

 và 2 ( )

1

2 d 4

f x x =

0

d

I = f x x

A I = 6 B I = − 6 C I = −10 D I =10

Câu 9 Biết 1 ( )

0 f x x = −d 1

1 f 2x−1 dx=3

0 f x xd

Câu 10 Cho 1 ( )

0

9

f x dx =

0

sin 3 cos 3



=

Câu 11 Cho ( )

1 2

0

2000

f x dx =

0

cos 2 x f sin 2x dx



C Bài Tập Tự Luyện

Câu 12 Cho biết 1 ( )

1 2

1 2

xf x dx =

 Tính tích phân 2 ( )

6

sin 2 sin





2

3

I =

Câu 13 Cho hàm số f x liên tục trên ( ) − + và 1; ) 3 ( )

0

f x+ dx=

1

I =x f x dx

Câu 14 Cho 2 ( )

1

2

I = f x dx= Giá trị của 2 ( )

0

sin 3cos 1 3cos 1

dx x



+ +

3

Câu 15 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn 9 ( )

1

4

dx

0

sin cos 2



=

( )

3

0

I = f x dx bằng:

Câu 16 Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn 99 ( )

0

2

f x dx =

 Khi đó tích phân

99 1

2 2

0

ln 1 1

e

x

x

−

+

Câu 17 Cho hàm số f x liên tục trên Biết

ln 2

0

ex 1 d 5

3

2

2 3

d 3 1

x

3

2

d

I f x x

Câu 18 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn −1;3 thỏa mãn 1 ( )

0

2

f x dx =

 và 3 ( )

1

4

f x dx =

( )

3

1

−

= 

Câu 19 Cho hàm số y= f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên −4; 4 biết 0 ( )

2

2

f x dx

−

1

f − x dx=

Tính I =4 f x dx( )

Câu 20 Cho hàm số y= f x( ) xác đinh và liên tục trên , thỏa ( 5 )

f x + x+ = x+ với mọi x  Tích

phân 8 ( )

2

f x dx

− bằng

Câu 21 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ( )  0;1 và thỏa mãn f ( )0 = , 6 1( ) ( )

0

2x−2 f x dx=6

Tích phân 1 ( )

0 f x dx

 bằng:

A − 3 B − 9 C 3 D 6

Câu 22 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn  1; 2 có f ( )2 = và b 2( ) ( )

1

1

x− f x dx=a

( )

2

1

I = f x dx theo a và b

A I = − a b B I = − b a C I = + a b D I = − − b a

Câu 23 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 1( ) ( )

0

x+ f x dx=

 và 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính 1 ( )

0

I =f x dx

Câu 24 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ( )  0; 2 và thảo mãn f ( )0 = , 2 2( ) ( )

0

2x−4 f x dx=4



Tính 2 ( )

0

I =f x dx

Câu 25 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ( )  2;3 và 3( ) ( )

2

2

x− f x dx=a

 , f ( )3 = Tính tích phân b

( )

3

2

f x dx

 theo a và b

A. − − a b B. b a− C. a b− D. a b+

Câu 26 Cho 1( ) ( ) ( ) ( )

0

3x+1 f x dx=2019; 4f 1 − f 0 =2020

1 3

0

3

f x dx

A 1

Câu 27 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn f( )2 =16 và 1 ( )

0

f x dx =

 Tích phân

( )

2

0

I =xf x dx bằng

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f −( )2 = , 1 2 ( )

1

2 4 d 1

f x− x=

( )

0

2

d

xf x x

−



A I =1 B I = 0 C I = −4 D I =4

Câu 29 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn 2 ( ) ( )

0

sin x f x dx f 0 1



0

cos





Câu 30 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và f( )2 =16, 2 ( )

0

4

f x dx =

 Tính tích phân 1 ( )

0

2

I =xf x dx

Câu 31 Cho 1( ) ( ) ( ) ( )

0

1 3+ x f x dx=2019; 4f 1 − f 0 =2020

1 3

0

3

f x dx



A 1

Câu 32 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f ( )2 = − và 2 2 ( )

0

1

f x dx =

 Tính tích

phân 4 ( )

0

I =f x dx

A I = −10 B I = − 5 C I = 0 D I = −18

Câu 33 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên thỏa mãn f ( )1 = và 1 1 ( )

0

1 3

f x dx =

 Tính tích phân

2

0

sin 2 sin





3

3

3

3

I = −

Câu 34 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn 2 ( )

1

1 d 3

f x− x=

 và f ( )1 =4 Tích phân 1 ( )

0

' d

x f x x

A − 1 B 1

2

Câu 35 Cho hàm số f x( )liên tục trong đoạn 0;

4



 , biết 4 ( )

0

tan 2



0



=

4

f   = 

 

Khi đó 4 ( )

0



= bằng

Câu 36 Cho hàm số f x có ( ) f( )x và f( )x liên tục trên đoạn  1;3 Biết f ( )1 = 1, f ( )3 =81, f ( )1 = 4,

( )3 108

f  = Giá trị của 3( ) ( )

1

4 2− x f x d x

Câu 37 Cho hàm số y= f x( ) với f ( )0 = f ( )1 = Biết rằng: 1 1 ( ) ( )

0

,

x

e f x + f x dx=ae b+

trị biểu thức 2019 2019

a +b bằng

Câu 38 Giả sử hàm f có đạo hàm cấp 2 trên thỏa mãn f ( )1 = −2 và ( ) 2 ( )

f −x +x f x = x với mọi

x  Tích phân 1 ( )

0

xf x dx

 bằng:

3

Câu 39 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai f( )x liên tục trên đoạn  0; 1 thoả mãn f ( )1 = f ( )0 =1,

( )0 2018

f  = Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 1 ( )( )

0

f x −x x= −

B 1 ( )( ) 0

f x −x x=−

C 1 ( )( )

0

f x −x x=

0

f x −x x=

Câu 40 Cho hàm số y= f x( )là hàm bậc ba như hình vẽ, đường thẳng là tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1

2

− Tính 1 ( )

5 2

−

−

 +

A 25

36

4 .

C 45

4

36