Tích phân và cách giải bài tập cơ bản A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b] Hiệu số F(b) F(a)− được gọi là tích phân từ a đến b[.]
Trang 1Tích phân và cách giải bài tập cơ bản
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b] Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f (x), kí hiệu là
b
a
f (x)dx
Ta dùng kí hiệu F(x)ba =F(b)−F(a) để chỉ hiệu số F(b)−F(a)
Vậy
b
b a a
f (x)dx=F(x) =F(b)−F(a)
Ta gọi
b
a
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước a ( )
a
f x dx 0=
f x dx= − f x dx
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi
b
a
f (x)dx
hay
b
a
f (t)dt
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào
cách ghi biến số
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b]
thì tích phân
b
a
f (x)dx
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b Vậy
b
a
S=f (x)dx
2 Tính chất của tích phân
Trang 2+) Tính chất 1: b ( ) b ( )
+) Tính chất 2: b ( ) ( ) b ( ) b ( )
+) Tính chất 3: c ( ) b ( ) b ( )
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3
f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx a c c c b
3 Định lý
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên
- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó a ( ) a ( )
−
=
- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó a ( )
a
−
=
4 Các tính chất bổ sung
+)
b
a
0dx=0
a
cdx =c b−a
+) Nếu f x( ) 0, x a, b thì b ( )
a
Hệ quả: Nếu hai hàm số f x( ) và g x( ) liên tục và thỏa mãn
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
1 Phương pháp giải:
Trang 3Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
b a a
f (x)dx=F(x) =F(b)−F(a)
Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:
• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số
• Bước 2 Tính F(b) − F(a)
- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân
tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Tính 1( )
2
0
I= x −1 x dxta thu được kết quả là:
A 8
9
140
141 8
Lời giải
2
0 0
Chọn B
Ví dụ 2: Tính tích phân
2
2
−
Lời giải
Nhận xét: x 1 x 1, 1 x 2
Trang 4Do đó:
I | x 1| dx | x 1| dx | x 1| dx
−
x 1 dx x 1 dx
−
= − + + +
−
= 5
Vậy I = 5
Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] và
3F a − =2 3F b Tính tích phân b ( )
a
I=f x dx
3
3
−
Lời giải
Ta có: 3F a( )− =2 3F b( )3 F b ( ) ( )−F a = −2
3
−
Do đó b ( ) ( ) ( )
a
2
I f x dx F b F a
3
Chọn D
Ví dụ 4: Cho các tích phân 2 ( ) 5 ( )
f x dx 2; f t dt 4
2
f y dy
Trang 5Lời giải
Ta có: 2 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 5 ( )
f x dx f y dy 2; f t dt f y dy 4
thuộc vào biến)
Lại có: 2 ( ) 5 ( ) 5 ( )
f y dy f y dy f y dy
( )
5
2
f y dy 4 2 2
Chọn A
Ví dụ 5: Cho 2 ( )
0
f x dx 5
=
0
I f x 2sin x dx
= +
2
Lời giải
Ta có: 2 ( )
0
I f x 2sin x dx
= +
( )
f x dx 2 sin xdx
( )
2 2
0
0
Chọn A
Trang 6C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1
2 4
2
1
x
+
A 275
305
196
208 17
Câu 2
2
e 1
e 1
1 dx
x 1
−
A ( 2 )
Câu 3 ln 2( )
0
e +1 e dx
A 3ln 2 B 4ln 2
5
7 3
Câu 4
4
0
1 dx 2x 1+
Câu 5 5( )4
2
A 89720
18927
960025
53673 5
Câu 6 Kết quả của tích phân:
1
0
7 6x
3x 2
+
=
+
A 1 ln5
5 ln
5
3 2ln
2 +
Câu 7 Tích phân:
4
0
x−2 dx
Trang 7A 0 B 2 C 8 D 4
Câu 8 Tích phân
2 2 0
A 2
3 2
Câu 9 Tính
2
1
dx
− + − ?
Câu 10 Nếu 4
1 f (x)dx =6
1 g(x)dx = −5
thì 14[f (x)−g(x)] bằng
Câu 11 Cho biết 5 ( )
2
f x dx=3
2
Giá trị của 5 ( ) ( )
2
A=f x +g x dx
là:
Câu 12 Cho 2 3
1
2I= (2x +ln x) dx Tìm I?
2+
Câu 13 Nếu
10
0
f (x)dx=17
8
0
f (x)dx =12
10
8
f (x)dx
bằng:
Câu 14 f và g là hai hàm số theo x Biết rằng x [a, b], f '(x)=g '(x)
Trong các mệnh đề:
(I) x [a, b], f '(x)=g(x)
(II)
Trang 8(III) x [a; b], f (x)−f (a)=g(x)−g(a)
Mệnh đề nào đúng?
Câu 15 Để k( )
1
k−4x dx+3k 1 0+ =
thì giá trị của klà bao nhiêu ?
Câu 16 Nếu
6
0
f (x)dx =10
4
0
f (x)dx =7
6
4
f (x)dx
bằng:
Câu 17 Tìm a sao cho
2
1
I=[a +(4 - a)x + 4x ]dx = 12
Câu 18 Biếtb( )
0
2x−4 dx=0
, khi đó b nhận giá trị bằng:
A b=1 hoặc b= 4 B b= hoặc b 20 =
C b=1 hoặc b= 2 D b= hoặc b 40 =
Câu 19 Cho
3x 0
e d x
b
−
=
Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng
A a = - b B a < b C a > b D a = b Câu 20 Nếu
d
a
f (x)dx =5
d
b
f (x)dx=2
, với a thì d b b
a
f (x)dx
bằng:
Câu 21 Cho tích phân
3 x 0
I= 2 −4 dx, trong các kết quả sau:
Trang 9(I) 3( ) 2( )
(II) 3( ) 2( )
(III) 3( )
x 2
I=2 2 −4 dx
Kết quả nào đúng?
A Chỉ II B Chỉ III C Cả I, II, III D Chỉ I
Câu 22 Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b] Các kết
quả sau, câu nào đúng?
A
f (x) dx f(x)dx
f (x) dx= f(x) dx+ f(x) dx
C
f (x) dx= f(x) dx + f (x)dx
Câu 23 Khẳng định nào sau đây sai về kết quả
0
1
−
−
Câu 24 Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên thỏa mãn
1
1
−
=
giá trị tích phân
1
0
f (x)dx
là:
1 4
Câu 25 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
Trang 10A
b
a
f (x)dx=F(b)−F(a)
B F'(x)=f (x) với mọi x(a;b)
C
b
a
f (x)dx =f (b)−f (a)
D Hàm số G cho bởi G(x)=F(x)+5 cũng thỏa mãn
b
a
f (x)dx=G(b)−G(a)
Câu 26 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g(x) với mọi 0
x [a;b] Xét các khẳng định sau:
f (x)+g(x) dx = f (x)dx+ g(x)dx
f (x)−g(x) dx= f (x)dx− g(x)dx
f (x).g(x) dx= f (x)dx g(x)dx
IV
b b
a b a
a
f (x)dx
f (x) dx g(x)
g(x)dx
=
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
Câu 27 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Nếu f là hàm số chẵn trên thì
−
=
B Nếu
−
=
thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1]−
Trang 11C Nếu
1
1
0
f (x)dx
−
=
thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1]−
D Nếu
1
1
0
f (x)dx
−
=
thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1]−
Câu 28 Tích phân
2 x 0
ke dx
(với k là hằng số )có giá trị bằng:
A k(e2 −1) B e2 −1 C k(e2 −e) D e2 −e
Câu 29 Tích phân
5 2 1
−
có giá trị bằng
Câu 30 Giá trị của a để đẳng thức
thức đúng
Đáp án
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30