PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu một trong những ph[.]

tử chung, phương trình giải bằng các phương pháp giải phương trình cơ bản.

Có 2 kỷ thuật chính thường được áp dung.

 Kỷ thuật 1: Thế trực tiếp hằng số để tạo được nhân tử chung đối với một số hệ

hữu tỉ, hệ chứa căn thức mà mối quan hệ giữa các biến có liên quan chặt chẽ tới hằng số.

 Kỷ thuật 2: Thế trực tiếp hằng số để tạo sự đồng bậc đối với một số hệ phương

hữu tỉ, hệ chứa căn thức có dáng dấp của sự đẳng cấp Mục tiêu chính là quan sát hệ để tạo ra tạo sự đồng bậc trong một phương trình trong hệ.

a) Kỷ thuật 1: Thế hằng số trực tiếp trong hệ để tạo nhân tử chung.

Ví dụ 1:

Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình đang xét, ta thấy ngay cả hai phương trình

trong hệ đều chứa số 7 Do đó ý tưởng đầu tiên ta sẽ tìm mối liên quan giữa cácbiến xung quanh số 7 xem thế nào ?

Ở phương trình thứ hai trong hệ biến đổi ta có : 7 4x 2x 3y

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có : 7 4x 2x 3y

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được phương trình :

Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, theo hướng tự nhiên chúng ta thấy rõ ràng

từ phương trình thứ nhất trong hệ chúng ta khai thác là không khả thi Tuynhiên, quan sát ta thấy trong cả hai phương trình trong hệ ta thấy cả hai đều cóchứa số 4, chắc điều này không phải là ngẫu nhiên Ta thử mạnh dạn rút hằng sốtheo biến thay vào phương trình thứ nhất trong hệ xem thế nào ?

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có : 4 8x 3x  2 y2 8y

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được :

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có : 4 8x 3x  2 y2 8y

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được :

 Với xy thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có: x2  (vô nghiệm).1 0

Với x 3 thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:

Phân tích : Rõ ràng nhìn vào hệ ta thấy cách đặt để của bài toán, ta có thể nghỉ

ngay đến lựa chọn thế bằng hằng số Tuy nhiên, với cách đặt để như thế này ta

cần có một chút chuẩn bị trước để xem đường lối ta suy nghỉ sẽ trợ giúp chúng

ta bao nhiêu phần trăm trên bước đường cụ thể hóa lời giải

Không khó chúng ta nhận thấy phương trình thứ hai chứa một hằng đẳng thức.Thật vậy, ta có :

5

45

45

Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, ta thấy phương trình thứ hai trong hệ đối

xứng với hai biến x, y nhưng phương trình thứ nhất trong hệ các biến lại đẳngcấp Đặc biệt trong cả hai phương trình trong hệ đều có sự tương đồng hai hằng

số là 4 và 8 , do đó ta cần chọn thay thế trong hệ bởi hệ số nào cho thuận tiện.Không khó để nhận thấy hệ số 4 gắn với biến còn hệ số 8 thì đóng vai trò là hệ

số tự do thật sự Do đó, để thay thế có tính khả quan hơn chúng ta sẽ thay thếquan hệ giữa các biến trong hệ bằng hệ số 8

Ta biến đổi hệ phương trình đã cho trở thành:

x 3x 12 0

3 57x

2

y 3y 2 0

3 17y

Phân tích : Quan sát hệ đã cho, ta thấy hệ có cấu trúc gần giống với ví dụ 3 đã xét

ở trên Tuy nhiên nếu trong trường hợp này nếu ta thế trực tiếp hằng số 1 thìkhả năng biến đổi đại số chắc sẽ khó khăn trong việc bắt nhân tử chung

Mặt khác quan sát cả hai phương trình trong hệ, ta nhận thấy hệ đang xét thìphương trình thứ hai có chứa hằng đẳng thức liên quan đến phương trình thứ

Thật vậy ta có: x y3 3 1 xy 1 x y   2 2 xy 1 .

Từ đây ta có thể lên ý tưởng thế 2y2x y2 2 xy 1 vào phương trình thứ haitrong hệ để thực hiện việc nhóm hạng tử rồi bắt nhân tử chung Nhưng rõ ràngviệc này cũng đòi hỏi một sự khéo léo nhất định mới có thể thành công

Hãy để ý sự sắp xếp trong hệ ở cả phương trình đối với biến y , từ đây ta nghỉtới việc xét các khả năng của làm cho hệ có nghiệm của y rồi lược giản đưa hệ

2 x t x  2xt 12t 3x 0    x x 5  2t x 5  0

Tới đây, hệ được xem là thành công trong việc thế hằng số

Lời giải : Nhận xét y 0 không thỏa hệ phương trình đã cho

Với y 0 ta biến đổi hệ đã cho trở thành :

Bình luận : Hệ này như đã phân tích có thể giải bằng phương pháp thế biến theo

biến, tuy nhiên hạn chế của nó chính là xử lý biến đổi đại số không thuận lợi đòihỏi khả năng biến đổi rất khéo léo Tuy nhiên, nếu quan sát sự đặc biệt của biến

y ta sẽ cho được phép biến đổi hệ trở nên dễ nhìn hơn và từ đó phép thế hằng số sẽ phát huy được tác dụng của nó và làm cho lời giải bài toán được gọn nhẹ hơn.

Phân tích : Quan sát hệ ta thấy hệ có cấu trúc vừa chứa căn thức vừa chứa phân

thức, khó có thể biết được xuất phát từ đâu để thuận lợi cho việc giải hệ Thôngthường với hệ kiểu này chúng ta hay xuất phát từ phương trình không chứa căntrong hệ Tuy nhiên, ở phương trình thứ hai trong hệ rõ ràng ta khó khai thácđược gì từ đây Phương trình thứ nhất tuy chứa căn thức nhưng lại là dạng cơ

bản f x  g x  nên ta sử dụng phép nâng lũy thừa để làm căn thức Mặtkhác khi nâng lũy thừa chúng ta sẽ làm giảm mất đại lượng x , rồi sau đó ta sẽ2

cố gắng xem lại mối quan hệ giữa các biến như thế nào với nhau ?

Ta có: x22xy 3 x 3y    x22xy 3 x  26xy 9y 2 4xy 9y 2 3Quan sát vế phải của phương trình hai trong hệ ta thấy có liên quan chặt chẽ vớikết quả vừa thu được

Khi đó thay vào ta biến đổi sẽ có phương trình : x3 9y33 x y xy  

Vế trái và vế phải phương trình biến đổi gợi hình ảnh hằng đẳng thức nên ta cótìm mối liên hệ cho hai biến x, y nên có thể giải quyết tốt bài toán

Như vậy xem như hệ này cũng thành công trong việc thế bằng hằng số

Lời giải : Điều kiện :

Phân tích : Hệ phương trình đang xét là một hệ chứa căn thức và hình thức của nó

cũng chưa giúp chúng ta định hướng thế nào cho cách giải bằng phương pháp

này Từ định dạng của phương trình thứ hai trong hệ cho ta hướng biến đổiphương trình thứ nhất trong hệ.

Lời giải : Điều kiện : x2 4y2 0

Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ :

Bình luận : Hệ này có thể dùng ẩn phụ hoặc cách khác để giải Tuy nhiên, dưới

con mắt “thế hằng số” ta thấy bài toán vẫn được giải rất gọn

b) Kỷ thuật 2 : Thế hằng số để tạo sự đồng bậc trong hệ và bắt nhân tử chung.

Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta nhận thấy đối với cả hai phương trình

trong hệ thì vế trái đều có bậc 3, vế phải đều có bậc 0 Nên ta sẽ đưa ý tưởngđưa một trong hai hệ về phương trình đồng bậc để phân tích bắt nhân tử chungbằng phép thế hằng số

Ở hệ này ta sẽ tạo phương trình đồng bậc cho phương trình thứ hai trong hệbằng phép thế hằng số từ phương trình thứ nhất

 Với xy thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có : 0 x 3 (vô lí ).2

 Với y3x thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :

ta sẽ gặp lại trong các phần sau Tuy nhiên với lời giải trên chúng ta thấy

bài toán giải theo phép thế hằng số tạo sự đồng bậc có lời giải cũng khá đẹp mắt.

Phân tích : Hình thức của hệ đã cho chưa giúp chúng ta nhận biết điều gì Ta sẽ

biến đổi một chút hệ đã cho trở thành : 3 3  

vế phải có bậc 1 Mặt khác ở phương trình thứ hai trong hai vế trái có bậc 2, vếphải có bậc 0 Suy nghỉ tự nhiên thấy cả hai phương trình trong hệ đều chứahằng số 3 giống nhau nên ta liên tưởng đến phương án tạo sự đồng bậc cho mộtphương trình trong hệ Cụ thể ta sẽ ghép bậc 2 với bậc 1 để tạo bậc 3

Cụ thể ta có : 2x3 y33 2x y   2x3 y32x2 5y2 2x y 

Đây là một phương trình đẳng cấp nên ta có thể giải quyết Như vậy, xem như

hệ này cũng được giải quyết được bằng kỷ thuật thế tạo sự đồng bậc

Lời giải : Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ phương trình :

 Với x2y thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có :

Phân tích : Quan sát hệ ta thấy ngay rằng vế trái phương trình thứ nhất trong hệ có

bậc là 3, còn vế trái phương trình thứ hai trong hệ có bậc 4 và vế phải có bậc 1

Do đó ý tưởng là ta thế hằng số 1 x 33y3 xy2 vào vế phải của phương trình

thứ hai để tạo sự đồng bậc

Khi đó ta có: x46y4x33y3 xy2 x 2y 

Thu gọn phương trình này ta có: xy 2x 2 xy y 20

Tới đây ta xem như hệ đã được giải quyết

 Với x 0 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 31

y3

 Với y thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 0 x 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: x; y 0;31 ; 1;0 

Phân tích : Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình thứ hai trong hệ vế trái

có bậc 7, vế phải có bậc 4 Hệ số đi kèm vế phải là 1 nên từ phương trình thứnhất có vế trái là bậc 3 và vế phải chứa hệ số 1, ta thế 1 x 3y3 vào vế phảicủa phương trình thứ hai ta sẽ tạo được sự đồng bậc

Lời giải : Thế 1 x 3y3 vào vế phải phương trình thứ hai trong hệ ta có :

 Với x 0 thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có : y 1

 Với y thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có :0 x 1

 Với xythay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có : 0 y 3 ( vô lí ).1Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 0;1 ; 1;0   

Bình luận: Qua lời giải trên các bạn nhận thấy hệ được giải rất gọn nhẹ Tuy

nhiên, hình thức của rõ ràng cho ta thấy ngay tính đối xứng của hệ nên nhiều lúctrong chúng ta rất máy móc để giải quyết bằng phương pháp hệ đối xứng đãbiết, như thế sẽ rất khó khăn trong biến đổi đại số vì bậc trong hệ khá cao Vớicách nhìn thế hệ số để tạo sự đồng bậc, chúng ta đã làm nên sự khác biệt lời giảicho bài toán.

Phân tích : Quan sát hệ ta nhận thấy vế trái của phương trình thứ hai trong hệ có

chứa hai bậc 3 và một bậc nhất đó là 12y Tuy nhiên hệ số 12 lại xuất hiện ởphương trình thứ nhất trong hệ, lại có vế trái phương trình thứ nhất lại chứa bậc

2 nên ta sẽ tiến hành phép thế để tạo được sự đồng bậc

Cụ thể ta có: x32xy212y 0  x32xy2x28y y 02 

Phương trình cuối thu được là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta hoàn toàn cóthể giải quyết tốt.

Phân tích : Với hệ này ta nhận thấy rằng vế trái phương trình thứ hai là bậc 5, vế

phải phương trình thứ hai bậc 3 còn phương trình thứ nhất bậc là 2 Do đó ta có

ý tưởng thế hệ số để đưa phương trình thứ hai về dạng phương trình đồng bậc.Tuy nhiên quan sát hệ của phương trình thứ hai ta thấy không liên quan gì tới hệ

số 3 ở phương trình thứ nhất trong hệ Do đó việc đầu tiên ta sẽ tạo hệ số 3 chophương trình thứ hai trong hệ để tạo tiền đề cho phép thế của chúng ta thànhcông

Cụ thể ta biên đổi phương trình thứ hai trong hệ tương đương với phương trình :

 5 5  3 3

21 x y 31·3 x y  21 x 5y531 x 2xy y 2 x3y3 Tới đây ta xem hướng phân tích đã khả quan Vậy chúng ta sẽ tiến hành giảiquyết hệ

Thế 3 x 2xy y 2 vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phươngtrình : 21 x 5y531 x 2xy y 2 x3y3

5u2

Tới đây ta xem như hệ vẫn giải quyết xong.

Lời giải : Điều kiện : x 0; y 0 

Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ :

 Với x 0 ta thay vào phương trình thứ hai trong hệ  1 ta có y ( loại ).3

 Với xyta thay vào phương trình thứ hai trong hệ  1 ta có y (loại ).6

 Với x4yta thay vào phương trình thứ hai trong hệ  1 ta có y 3  x 12 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 12;3

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

   

2 2

Phân tích : Hệ đang xét có chứa căn thức và cấu trúc của hệ cũng không khó để

phán đoán Thật vậy, phương trình thứ nhất trong hệ nếu được viết lại thành :

x  3x y 3 y 3 2   

Phương trình vừa biến đổi là đẳng cấp với hai biến x, y 3

Tiếp tục biến đổi phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :

Lời giải : Điều kiện : y3

Đặt a y 3 , a 0 Ta có : a2 3 y Khi đó hệ phương trình đã cho trở

Với x4a thay vào phương trình thứ nhất trong hệ  1 ta được a 58

2929

Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình thứ hai trong hệ với cách

nhóm hạng tử như thế chưa giúp chúng ta định hướng được điều gì? Do đó tatiến hành biến đổi trước phương trình này

Mặt khác từ phương trình thứ nhất trong hệ ta cũng có đại lượng xy nên ta đưasuy nghỉ về việc làm giảm căn thức thông qua phép đặt a xy Khi đó ta sẽ

đa có thể giải quyết bằng phương pháp thế hằng số

Thật vậy ta có :

   

2a y 9y  9ay  a  6y a 3y  a3 5a y 3ay2  29y3 0

Phương trình cuối là phương trình đẳng cấp bậc 3

Lời giải : Điều kiện: xy 0

Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ :

Điếu chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ phương trình là x; y9 3; 3.

Ví dụ 1:

Lời giải : Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có : y 2x 1 

Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: y x 2 2x 6

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có phương trình :

Từ đây, ta có thể thay vào phương trình thứ hai trong hệ thu được phương trìnhbậc ba.

Vậy xem như hệ đã được giải quyết

Phân tích : Hệ phương trình đang xét có cấu trúc để nhận xét rút thế có khó khăn

một chút Tuy nhiên, nếu tinh ý nhận xét được ở cả phương trình thứ nhất vàphương trình thứ hai đều chứa đại lượng x2y2

Thật vậy, ta có khi khai triển vế trái phương trình thứ nhất trong hệ ta sẽ nhómđược đại lượng 4 x 2y2 Kết hợp với khai triển vế trái phương trình thứ haitrong hệ chúng ta sẽ thu được x2y2 4 2y

Như vậy khi ta thực hiện phép thế x2y2 vào phương trình thứ nhất trong hệ,

ta sẽ thu được một phương trình mà các biến x, y chỉ là bậc nhất nên ta tiếp tục

sử dụng rút thế giữa hai biến x, y cho nhau

Vậy xem như cơ bản là bài toán đã được giải quyết

Lời giải :

Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ phương trình:

Với kiểu phương trình bậc 6 nếu không dám chắc chắn nghiệm của hệ ở địnhmức “vắt kiệt” có thể nhất thì khả năng giải trực tiếp nó là không cao.

Tuy vậy, ta để ý được rằng ở phương trình thứ nhất trong hệ nếu ta thực hiệnphép biến đổi sau đây :

x x 27y 3x y x 9y 3x 13

Ở phương trình này nhận thấy ở vế trái các hệ số lần lượt là 1;3;27;27 là các hệ

số đứng trước các đại lượng có số mũ giảm dần theo biến x và tăng dần theobiến y nên ta liên tưởng tới hằng đẳng thức sau :

x23xy3x63x y 27x y5  4 227x y3 3

Mặt khác phương trình thứ hai trong hệ ta sắp xếp lại như sau : x23xy x 5 

Với các nhận xét này ta thấy hệ đã cho được viết lại :  2 3

Phân tích: Quan sát hệ này, ta chưa thấy được ta sẽ rút cái gì và thế cái gì Tuy

nhiên nếu ta tinh ý một chút ta để ý phương trình thứ hai trong hệ có các hệ sốquá đẹp mắt cộng hưởng với các biến tham gia với từng cặp hệ số cho ta đượcphép biến đổi sau đây

Ta có :

     

5x  4x y x y 4xy 5x y     5x x 1  4xy x 1  y x 1 0Mặt khác ta luôn có : x2  nên ta lại có : 1 0 5x y 1 4x   0

Tới đây mọi thứ đã được rõ ràng

Lời giải : Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ phương trình :

Phân tích : Quan sát hệ phương trình đã cho, ta để ý thấy phương trình thứ hai nếu

ta chuyển vế thì ta sẽ thu được một nhân tử chung hay nói cách khác nếu ta cho

x 1 thì phương trình thứ hai luôn thỏa

Thật vây, ta có : xy y x  21 0  x 1 y x 1     0

Tới đây mọi việc đã được sáng tỏ

Lời giải : Phương trình thứ hai trong hệ được biến đổi thành phương trình :

x; y 1; 3  17 ; 1   2;2 2 ; 1   2;2 2 ; 2   5;3 5 ; 2   5;3 5 

Phân tích : Với hệ này rõ ràng ta không thể tìm mối liên quan rút thế giữa hai biến

x, y từ phương trình thứ hai trong hệ

Vậy ta cần bắt đầu từ phương trình thứ nhất trong hệ vì hình thức đơn giản và

dễ biến đổi hơn

Cụ thể ta có :

x x y  6 x 2y  x  x 6 xy 2y 0     x 2 x 3      x 2 y 0  Tới đây ta thấy bài toán đã có thể giải quyết

Lời giải : Điều kiện : x24y 8 0 

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta biến đổi :

16x3

Ví dụ 11 : Giải hệ phương trình

2

2 2

có mặt trong phương trình thứ hai trong hệ Như vậy xem như việc tìm đạilượng rút thế của ta đã có

Cách 1: Sử dụng phương pháp bắt nhân tử chung nhờ phép liên hiệp

Ta có  1 tương đương với:

Phân tích : Quan sát hệ phương trình, ta thấy cả hai phương trình trong hệ đều

chứa căn thức Tuy nhiên, rõ ràng cấu trúc của phương trình thứ hai trong hệcho ta cái nhìn phức tạp còn phương trình thứ nhất nó có cấu trúc của dạngphương trình vô tỉ cơ bản

Mặt khác mối quan hệ giữa các biến ở phương trình thứ nhất cho ta cảm nhậnđược có thẻ rút biến y theo x

Thật vậy ta có: y 1 x 2    y x 2 4x 5

Với kết quả này, ta thay vào phương trình thứ hai ta được một phương trìnhtheo biến x nên hoàn toàn có thể giải quyết được

Vậy xem như đường lối để giải hệ ta đã có

Lời giải : Điều kiện :

Phân tích : Quan sát hệ phương trình ta nhận thấy cả hai phương trình đều chứa

y nên ta sẽ quan tâm đến đại lượng này Không khó để nhận thấy chúng ta sẽkhó khai thác được gì từ đại lượng y từ phương trình thứ hai trong hệ, nên tachuyển sang phương trình thứ nhất trong hệ

Quy đồng mẫu số biến đổi phương trình thứ nhất trong hệ ta thu được phươngtrình : x2 x 2  y3x 2

Ở phương trình vừa biến đổi dễ dàng phát hiện ra được :

Tới đây, ta đã tìm được mối liên hệ giữa các biến x, y trong hệ Vậy xem như

hệ đã cho đã được giải quyết tốt

Vì y 0  x 1 0   x1 Kết hợp với điều kiện ta có : 0 x 1.

 Với x thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :2

Giải hệ phương trình  

2

3 2

Phân tích : Quan sát hệ phương trình đang xét, không khó để nhận thấy lối đi

chính là chúng ta cần làm gọn lại phương trình thứ nhất trong hệ là ưu tiên hàngđầu

Cụ thể ta có phương trình thứ nhất trong hệ được làm gọn lại thành phươngtrình : x2 224 3x 10  x24x y 22  3

Tiếp theo không khó để chúng ta nhận thấy rằng ở phương trình thứ hai trong hệ

ta hoàn toàn có thể rút biến x theo y

Cụ thể ta có : x y 24y 6 Ta đem kết quả này thế vào phương trình thứnhất trong hệ thì bài toán dễ hoàn toàn được giải quyết

Nếu nhận định như vậy các bạn sẽ gặp khó khăn ngay tức khăn với phép biếnđổi đại số

Thậy vậy, vì khi rút x theo y thì ta có biến y được biễu diễn ở dạng tam thứcbậc 2 Như vậy khi thế vào phương trình thứ nhất trong hệ ta sẽ thu đượcphương trình có bậc là 8 , chưa kể rất khó khăn nếu tiếp tục khai triển hằngđẳng thức tiếp theo cho đại lượng sau :

Lời giải : Điều kiện : x 0

Hệ phương trình đã cho biến đổi thành hệ :

Phân tích : Với phương trình này ta dễ nhận thấy cả hai phương trình trong hệ đều

chứa 3y x nên ta nghỉ đến việc thế 3x y theo một đại lượng nào đó vàomột trong hai phương trình trong hệ Tuy nhiên phương trình thứ hai trong hệ

có cấu trúc phức tạp, còn phương trình thứ nhất ở dạng phương trình căn thức

cơ bản nên ta sẽ biến đổi phương trình thứ nhất trong hệ bằng kỉ năng nâng lũythừa để giải quyết

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi trở thành phương trình :

Và tới đây xem như hệ đã được giải quyết

Lời giải : Điều kiện: 7x 5y 0

9y 20y 4 0

2x9

25x26

338676x 1284x 601 0

321 8 23x

Bình luận : Trên quy tắc chung, thường những hệ căn thức có một đại lượng

chung và cho ta các phép biến đổi cơ bản thì có thể sử dụng nâng lũy thừa đưa

về phương pháp thế để giải vẫn cho lời giải tốt và tự nhiên hơn phép đặt ẩn phụ

II PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ.

Trong đề mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp giải hệ phương trình có dạng :

Đối với hệ giải bằng phương pháp này chúng ta có rất nhiều ứng dụng và các bài toán khai thác về nó cũng rất đa dạng Nó là sự kết hợp của hai kỷ năng chính sau đây :

 Kỷ năng phân tích nhân tử.

 Kỷ năng giải phương trình hữu tỉ, phân thức, căn thức.

Chính từ hai yếu tố này nên để giải tốt bài toán hệ phương trình chúng ta cần

xử lý các kỷ năng nhóm nhân tử một cách thuần thục và kỷ năng giải các phương trình từ cơ bản đến nâng cao một cách nhuần nhuyễn.

1) Các yếu tố và dấu hiệu nhận biết một phương trình trong hệ tách được nhân tử.

a.Phương trình trong hệ có dáng dấp là một phương bậc hai có Delta là một số

chính phương ( có thể gặp một phương trình trùng phương hoặc có một phép biến đổi thường dùng là sử dụng phép nâng lũy thừa, phương trình bậc

ba có thể đoán được nghiệm).

b.Phương trình trong hệ có dáng dấp đẳng cấp.

c Phương trình trong hệ có dáng dấp có thể sắp xếp các hạng tử đồng bậc để

nhóm nhân tử.

d.Phương trình có dáng dấp của hằng đẳng thức trực tiếp hoặc gián tiếp thông

qua phép nâng lũy thừa.

e Phương trình có yếu tố nhân tử chung qua việc khử liên hợp.

f Phương trình có tính đối xứng giữa hai biến (một điểm mạnh của dạng này là

giải hệ bằng phương pháp đánh giá sử dụng hàm đại diện cho những

phương trình có cấu trúc phức tạp sau này chúng ta sẽ đề cập kỹ hơn )

2) Các kỹ năng giải phương trình còn lại sau khi nhóm nhân tử.

a Một số kỹ năng giải phương trình hữu tỉ, phân thức cơ bản.

b Một số kỹ năng giải phương trình chứa căn thức như

 Sử dụng phép nâng lũy thừa.

 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

 Sử dụng phương pháp hằng đẳng thức.

 Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 Sử dụng phương pháp hàm số và một số đánh giá cơ bản.

Bởi vì đặc tính đa dạng của loại hệ này, chúng tôi không thể phân chia rõ ràng các định dạng hệ Do đó chúng tôi sẽ sắp xếp có tính tương đối cho mỗi kỹ thuật trong sự tính toán có chủ quan của chúng tôi.

 Hệ phương trình có chứa một phương trình mang dáng dấp của một phươngtrình bậc hai có Delta chính phương hoặc phương trình bậc ba đoán đượcnghiệm

 Cách xử lí : Có hai trường hợp chính để gặp.

Trường hợp 1 : Phương trình là dạng phương trình bậc hai theo một biến mà

ta xác định được nghiệm một cách cụ thể là các hệ số.

Trường hợp 2: Phương trình là dạng phương trình bậc 2 hai ẩn mà trong đó

ta cố định theo một biến còn biến còn lại được xem là tham số.

chúng ta cần lưu ý là để một phương trình bậc hai hai ẩn có thể tách nhân

tử ta cần ghi nhớ tính chất sau :

“F x, y  0 h x, y h x, y1  2 0 sẽ đúng với x, y  ”.

Tính chất này được hiểu nôm na là ta chỉ cần cho x một giá trị nào đó thỏa các

tiến hành tách nhân tử Tính chất này đặc biệt hiệu quả khi mà hệ cấu tạo bởi hai phương trình bậc hai hai ẩn mà hình thức tương tự nhau trong đó chỉ có một phương trình tách được nhân tử.

Tuy nhiên trên thực tế, là không phải đa thức nào đủ điều kiện tách nhân tử thì

sẽ có được delta chính phương nên để việc sử dụng được delta chính phương thì ngoài việc đa thức đó đủ điều kiện tách nhân tử thì chúng ta cần có thêm chữ “hy vọng” trong lúc tư duy.

Phân tích : Không quá khó để thấy hệ phương trình có phương trình thứ nhất là

bậc hai theo biến xy nên ta có thể biến đổi trực tiếp phương trình này ta có :

Phân tích : Quan sát hệ phương trình đang xét, ta cảm nhận được ngay chúng ta

không thể khai thác gì từ phương trình thứ hai trong hệ

Mặt khác đối với phương trình thứ nhất hãy để ý tới các đại lượng sau đây :